新高考卷03-备战2024年高考高频考点题型精讲 精练（新高考通用）-解析版

2023年高考全真模拟卷三（新高考卷）数学考试时间：120分钟；试卷满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：D2．已知复数满足，则的共轭复数（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由复数的除法运算求出，再根据共轭复数的概念可得.【详解】由，得，所以.故选：B3．已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意得，，两式整理得，即可求解.【详解】 由题意知：，，故，则，所以.故选：A.4．函数的图象关于直线对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（    ）A．函数图象关于对称B．函数图象关于对称C．在单调递减D．最小正周期为【答案】B【分析】先根据题干条件求出，结合平移变换得到，A选项，利用整体法求出对称轴，判断A选项；B选项，利用整体法求出对称中心为，判断B选项；C选项，求出单调递减区间为，来判断C选项；根据求出最小正周期判断D选项.【详解】关于对称，则，，解得：，，又，故只有当时，满足要求，所以，将的图象向左平移个单位长度得到.令，则对称轴为，显然不满足，故A错误；令，则，所以对称中心为，显然时，，故B正确；令，整理得，所以单调递减区间为，当时，单调递减区间为，显然，C不正确；最小正周期，故D不正确.故选：B.5．我国的航天事业取得了辉煌的成就,归功于中国共产党的坚强领导,这归功于几代航天人的不懈奋斗.中国工程院院士、中国探月工程总设计师、巴中老乡吴伟仁先生就是其中最杰出的代表人物之一,同学们应当好好学习航天人和航天精神.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点(离地面最近的点)A距地面 m千米,远地点(离地面最远的点)B距离地面n千米,并且F2、A、B在同一条直线上,地球的半径为R千米,则卫星运行的轨道的短轴长为（    ）千米.A．B．C．2D．【答案】A【分析】根据椭圆的对称性,找到与地球半径之间关系,解出即可.【详解】解:由题知,记椭圆的长半轴,短半轴,半焦距分别为,由题可知,①,②,①②可得:,故,即短轴长为故选:A6．若且，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先化简，得，得，将变形后分子、分母同除以，转化为关于的式子，利用基本不等式求得，即可得解．【详解】由，得，得，则，因为，因为，所以，故， 当且仅当，即时，等号成立，故，所以，所以的最小值是，故选：B7．设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为A．2B．1C．D．【答案】D【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【详解】先求曲线上切线斜率为的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为.故选D.8．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数 ，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，所以，错误.故说法正确的个数是2.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（    ） A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数【答案】AC【分析】根据折线统计图一一分析即可.【详解】解：对于A：从折线统计图可知年开始城镇居民的恩格尔系数均低于，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A正确；对于B：农村居民恩格尔系数只有、、这三年在之间，其余年份均大于，且、这两年大于（等于），故农村居民恩格尔系数的平均数高于，故B错误；对于C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前位分别为、、、、，因为，所以第百分位数为第位，即年的恩格尔系数，由图可知年的恩格尔系数高于，故C正确；对于D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于，故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D错误；故选：AC10．在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点O为△ABC内的一点，则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则 D．若点O为△ABC的外心，BC＝4，则【答案】AB【分析】由为中点，结合平行四边形法则判断A；由重心的性质判断B；由三角形法则和平行四边形法则判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D.【详解】选项A：因为，所以为中点，由题易知，故A正确．选项B：若，则点O为△ABC的重心，（三角形重心的性质）则，故B正确．选项C：若，则，故C错误．选项D：若点O为△ABC的外心，BC＝4，则，（三角形外心的性质）故，故D错误． 故选：AB11．已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ）A．当时，直线与圆相离B．若直线是圆的一条对称轴，则C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为【答案】ABD【分析】根据圆心到直线的距离，可判断A项；直线是圆的一条对称轴，则直线过圆心，可判断B项；当与圆相切时，取得最大值，转化为圆心到直线的距离，可判断C项；利用弦长公式及直角三角形的性质，结合三角函数求最值，即可判断D项.【详解】解：当时，直线：，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆心相离，故A正确；若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即，解得，故B正确；当与圆相切时，取得最大值，只需此时，即时，故圆心到直线的距离，解得，故C错误；设的中点为，，则，，故 ，当且仅当且点在点正上方时，等号成立，故D正确．故选：ABD．12．已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球的球心为O．点E满足，，过点E作平面平行于AC和BD，平面分别与该正四面体的棱BC，CD，AD相交于点M，G，H，则（    ）A．四边形EMGH的周长为是变化的B．四棱锥的体积的最大值为C．当时，平面截球O所得截面的周长为D．当时，将正四面体ABCD绕EF旋转后与原四面体的公共部分体积为【答案】BD【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算.对A：根据面面平行的性质定理结合平行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对C：根据球的性质分析运算；对D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.【详解】对于边长为2的正方体，则ABCD为棱长为的正四面体，则球心O即为正方体的中心，连接，设∵，，则为平行四边形∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，，平面，∴平面平面，对A：如图1，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，则，即，同理可得：，，，，∴四边形EMGH的周长（定值），A错误； 对B：如图1，由A可知：，，，，∵为正方形，则，∴为矩形，根据平行可得：点A到平面的距离，故四棱锥的体积，则，∵，则当时，则，在上单调递增，当时，则，在上单调递减，∴当时，取到最大值，故四棱锥的体积的最大值为，B正确；对C：正四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球，其半径，设平面截球O所得截面的圆心为，半径为，当时，则，∵，则，∴平面截球O所得截面的周长为，C错误；对D：如图2，将正四面体ABCD绕EF旋转后得到正四面体，设，∵，则分别为各面的中心，∴两个正四面体的公共部分为，为两个全等的正四棱锥组合而成，根据正方体可得：，正四棱锥的高为，故公共部分的体积，D正确；故选：BD. 第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分）13．已知函数是偶函数，则常数的值为__．【答案】【详解】易知函数定义域为函数是偶函数对定义域内每一个都成立，，对定义域内每一个都成立，即.14．若P（m，8）是焦点为F的抛物线上的一点，则______．【答案】10【分析】根据点在抛物线上求出，再根据抛物线的焦半径公式可求出结果.【详解】因为点在抛物线上，所以，得，所以，由得，准线方程为，所以.故答案为：.15．已知函数的定义域，对任意的，，都有，若在上单调递减，且对任意的，恒成立，则的取值范围是______．【答案】【分析】解法一：先求出的最大值为3，将原问题转化为恒成立，再根据已知条件推出且是偶函数，故原问题可转化为恒成立，最后根据的单调性脱去“”，解不等式求出的取值范围．解法二：先求出的最大值为3，将原问题转化为 恒成立，根据已知条件构造符合条件的一个函数，由解不等式即可．【详解】解法一：令，易知在上单调递减，所以，所以．在中，令，得，令，得，令，，得，又的定义域，所以是偶函数．因为在上单调递减，且，所以由，得，得，解得或，故的取值范围是．解法二：令，易知在上单调递减，所以，所以．根据的定义域，对任意的，，都有，且在上单调递减，可设，则由，得，得，解得或，故答案为：．16．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为_________万元．【答案】    16    1【解析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数； （2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,（1）由题意知，，化简得：，又，所以，解得：，共种；（2）由题意知，，，，，即的最大值为1万元，故答案为：16；1四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知数列满足．(1)证明：是等差数列；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)当时，；当时，【分析】（1）由已知递推公式，构造等式，根据等差数列的定义可证得结论；（2）由（1）中的结论可求数列的通项，得到数列的通项，根据通项的符号去绝对值求前n项和.【详解】（1）由，①当时，．②①-②，得，又，则．即，故数列是等差数列．（2）由，令得，由，可知等差数列的公差，所以． 设，则数列为递增数列，其前4项为负，从5项开始为正，设的前n项和为，若，．若，综上，当时，；当时，．18．2022年9月23日，以“庆丰收同心共富，迎盛会齐向未来”为主题的第五个中国农民丰收节开幕式在盐城市射阳县海河镇举行．射阳县政府同步开展以“湿地绿城庆丰收、向海图强迎盛会”为主题的农民丰收节系列活动，现从某活动现场的观众中随机抽取200名（其中男性120名），了解他们对该活动的满意情况，得到下表．不满意满意总计男性75女性50总计200(1)根据统计数据完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为性别与对活动的满意度有关？(2)该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满500元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得80元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得40元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费1000元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求X的分布列和数学期望．附：，其中．α0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格见解析，性别与对活动的满意度有关 (2)分布列见解析，期望为80【详解】（1）设为H0：性别与对活动的满意度无关．由题意，抽取的200名观众中男性有120名，女性有80名，补全的2×2列联表如下：不满意满意总计男性4575120女性503080总计95105200则根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别与对活动的满意度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，则，，，由题意，X可取160，120，80，40，0．，，，，，所以X的分布列为X16012080400P.19．如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.【详解】（1）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以.因为，所以，所以A，B，C，D四点共圆，则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.又，所以.（2）由（1）可知：，则.，则.在中，由正弦定理，，所以，，则 ，又，所以，所以，，所以.20．如图，在直三棱柱中，，，，点P，R分别是棱，CB的中点，点Q为棱上的点，且满足．(1)证明：平面AQR；(2)求平面PQR与平面AQR夹角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到向量，计算由，得到，，从而得证.（2）先求得平面PQR的法向量为，再由（1）得平面AQR的法向量为，由此根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，于是，，从而，，，由，，知，，又AQ，平面AQR，且，故平面AQR．（2）由，知，设平面PQR的法向量为，则有，令，则，，即；平面AQR的法向量为，设求平面PQR与平面AQR夹角的余弦值为，则，故，则，所以平面PQR与平面AQR夹角的正切值为． 21．已知双曲线C：的离心率为e，点在C上，，分别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为，过点F的直线l与C交于A，B两点（异于顶点），直线，分别与y轴交于点M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)当时，求以MN为直径的圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；(2)设设直线l的方程为，联立方程组结合设而不求法表示条件，求出点的坐标，再求以MN为直径的圆的方程.【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，∵点在双曲线C上，∴  ①，由已知右焦点到渐近线的距离  ②.  ③，由①②③得，，∴双曲线C的标准方程为.（2）由（1）知，过点的斜率为0的直线为，与双曲线的交点为，与已知矛盾，故可设直线l：，联立方程得，消去x并整理得，由已知，方程的判别式，设，，则，因此. 设，，易知直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，则    ，∴.∵，∴.当时，，以MN为直径的圆的方程为，即；当时，，以MN为直径的圆的方程为，即.故以MN为直径的圆的方程为.22．已知函数.(1)若，判断的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.【答案】(1)单调递增(2)【分析】（1）求解导函数，对进行分解变形得，结合余弦函数的取值范围确定的符号，即可得函单调性；（2）求解导函数，得，令，设，分类讨论判断的符号，从而确定函数的单调性，再满足，即可求得正实数a的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以，当时，，所以，，则，则恒成立，所以在上单调递增.（2）当时，，所以.因为恒成立，即，令，设，①若，即，当时，，当时，，记，则，，得，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，易知当时，，所以，又，所以，所以恒成立，即满足题意.；②若，即，则在上恒成立，即当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，即满足题意.③若，即，当时，，当时， ，记，则，得，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以当，即时，，所以恒成立，即满足题意；当，即时，，不满足题意，即不满足题意.④若，即，当时，；当时，，即当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，不满足题意，即不满足题意.综上，正实数a的取值范围为.