江苏省盐城市响水中学2023-2024学年高二数学上学期暑期检测试题（Word版附解析）

江苏省响水中学高二年级暑期检测试卷数学试题考生注意：1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.2、满分150分，考试试卷120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数，则是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可化简复数.【详解】.故选：A.2.已知一个圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，由 ，则，则圆锥的体积为 .故选：A3.为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ） A.5人B.6人C.7人D.8人【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解.【详解】依题意得：某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三的人数为：.故选：C.4.已知､两点，直线：与线段相交，则直线的斜率的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】直线恒过点，则直线的斜率为，直线的斜率为，如图，由图可知直线的斜率的取值范围是， 故选：D5.直线与直线平行，则为（）A.1或-3B.-3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】由两条直线平行的一般式方程判断方法求解即可【详解】若直线与直线平行，则，解得a=1或a=-3经检验a=-3舍去，故选:D.6.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（）A.与互斥B.与对立C.与相互独立D.与相互独立【答案】D【解析】【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.其中事件A包括：.事件B包括：.事件C包括：.事件D包括：.对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误； 对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误；对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.故选：D7.已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，结合图象求得直线的方程.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以，而，当直线PC⊥l时，最小，此时最小.结合图象可知，此时切点为，所以直线的方程为，即.故选：A 8.中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】在中，利用余弦定理求出，再在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算，解出和，可得出答案．【详解】中，，，，则，，，又，同理可得：，代入上式，，解得：，故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是B.若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为C.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或D.过两点的直线方程为【答案】AD【解析】【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断.【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；故选：AD.10.函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（） A.B.C.在区间上单调递增D.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数【答案】AC【解析】【分析】根据函数图象得到A=2，，再根据函数图象过点，求得，得到函数的解析式，然后再逐项判断即可.【详解】由函数图象得：A=2，,所以，又因为函数图象过点，所以，即，解得，即，因为，所以，所以，A.，故正确；B.，故错误；C.因为，所以，故正确；D.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，非奇非偶函数，故错误； 故选：AC.11.如图，正方体的棱长为分别为的中点，则（）A.点与点到平面的距离相等B.直线与平面所成角的正弦值为C.二面角的余弦值为D.平面截正方体所得的截面面积为【答案】ACD【解析】【分析】根据线面平行判断A选项,应用线面角判断B选项,根据二面角判断C选项,结合截面判断D选项.【详解】对于，如图1所示，取的中点，连接，则有平面,平面,平面..，,平面.平面平面,平面,平面,,所以平面平面又因为平面，所以平面，点与点到平面的距离相等，故正确； 对于，如图2所示，连接，又平面，所以为直线与平面所成角，由已知得：，所以中，，即B错误；对C，如图3所示，因为平面，作交延长线于，连接，则，故设二面角的平面角为，由得，所以，即C正确；对于D，如图4所示，连接，延长交于点，因为分别为的中点，所以，所以四点共面，所以截面即为等腰梯形.，梯形的高为，所以梯形的面积为，故D正确.故选：ACD. 12.已知直线与圆相交于两点，则（）A.直线恒过定点B.过点且与圆相切的直线为：C.圆心到直线的最大距离是D.的最大值为1【答案】ACD【解析】【分析】由直线系方程求得直线恒过定点判断A，利用直线与圆相切求出直线方程即可判断B，根据圆心到直线的最大距离的结论即可判断C，利用向量数量积的定义结合余弦定理即可判断D.【详解】对A，直线即直线，联立，解得，，所以直线过定点，故A正确；对B，，圆心，半径，当直线斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到到该直线的距离等于2，即等于半径，故该直线也与圆相切，故B错误；对C，根据结论得圆心到直线的最大距离即为到所过的定点的距离，则最大距离为，故C正确；对D，，要使取到最大值，只需取最大，在中，，所以取最大时，弦长AB最短，当直线AB与圆心和点直线垂直时，弦长AB最短，因为圆心到点的距离为， 此时，，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则tanβ=___________.【答案】【解析】分析】由得，根据倍角正切公式求得，而，利用差角正切公式即可求解.【详解】由得，所以，．故答案为：14.已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为________. 【答案】或【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系，分类讨论，可得其斜率之间的关系，求得斜率，可得答案.【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，当直线时，显然点，到直线的距离相等，如下图：则此时，由，且直线过，则直线的方程为，整理可得；当直线与直线相交时，作于，于，如下图：若，由，，则，可得，即为的中点，其坐标为，此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得.故答案为：或.15.已知圆，直线，若直线与圆交于，两点，且，则______．【答案】22 【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径r，利用半径大于0可得a的取值范围，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离d，根据题意有，列出方程，解方程即可.【详解】由题可得圆的标准方程为，圆心，半径，由，得或．圆心到直线的距离，因为直线与圆交于，两点，且，所以，得，解得或，又或，故．故答案为：2216.在中，所对的三边分别为，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先由余弦定理求出，再根据正弦定理，以及三角恒等变换对应的公式，化简，根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以， 因此，因为，且为三角形内角，所以，因此，所以，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及正弦函数的性质等即可，属于常考题型.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的最小正周期为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有相异两解，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合函数的最小正周期求出，即可得解；（2）依题意可得，则函数与的图象在区间上有两个交点，根据的取值范围求出，结合正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】 因为，又的最小正周期为，且，所以，解得，所以.【小问2详解】由，即，关于的方程在区间上有相异两解，，也即函数与的图象在区间上有两个交点，由，得，又在上单调递增，在上单调递减，且，，，要使函数与的图象在区间上有两个交点，则有，所以实数的取值范围为．18.已知直线l：y＝－x＋1，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．【答案】（1）（2）7x－y－14＝0（3）x＋2y－4＝0【解析】【分析】（1）设出对称点的坐标，利用中点在对称轴上以及斜率乘积等于列方程组，解方程组求得对称点的坐标.（2）设上一点的坐标，以及该点对称点的坐标，利用（1）的方法求得两个对称点的坐标的关系式，代入直线的方程，化简后求得的方程.（3）设出对称直线上任意一点的坐标，和对称点的坐标，利用中点坐标公式得到两者的的坐标关系，代入直线的方程求得对称直线的方程.【详解】解:(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.所以，解得，即.（2）直线l1：y＝x－2关于直线l对称直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．由得把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0.即直线l2的方程为7x－y－14＝0.(3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．由得，将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0. 【点睛】本小题主要考查点关于直线对称点的求法，考查直线关于点的对称直线的求法，考查直线关于直线对称的直线的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.解题关键点在于利用对称问题，中点和斜率的对应关系来列方程组求解.19.已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．（1）求圆C的方程；（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可【详解】（1）设圆心，半径，则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，所以，解得或．因为点在圆C外，经检验不符，舍去．所以圆C的方程为．（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．当k不存在时，直线方程，符合题意；当k存在时，设直线方程为，整理得所以圆心C到直线l的距离，即，解得，所以，所以直线l的方程为． ∴综上，直线方程为或．20.如图，四棱锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）过作垂线，垂足为，由得，．又，可得平面，即可证明．（Ⅱ）易得到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即可求解.【详解】(Ⅰ)过作垂线，垂足为，由得，．又，∴平面，∴平面平面；（Ⅱ）∵，∴到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求解、是中档题．21.已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且.（1）若为中线，且，求；（2）若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得；（2）设，在和中分别运用正弦定理，两式相除得到，结合为锐角三角形得到，进而求解答案.【小问1详解】如下图所示，在中，设，由余弦定理得即，得，所以， 在中，由余弦定理得，则，所以【小问2详解】设，则，如下图所示，在和中，由正弦定理得，，得，因为为锐角三角形，所以均为锐角，所以，则，所以，又因为，所以，所以的取值范围是22.如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆半径为1，圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.【详解】（1）由得圆心，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：，显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．∴，∴，∴或．∴所求圆的切线方程为或．（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，则圆的方程为．又∵，∴设为，则，整理得，设为圆． 所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，∴，由，得，由，得．综上所述，的取值范围为．考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.