四川省盐亭中学2022-2023学年高二数学（理）上学期期中试题（Word版附解析）

四川省盐亭中学高2021级2022年秋期中教学质量监测（理科）（数学）一、单选题（每题5分，共计60分）1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两点间的斜率公式代入计算可得斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系得出结果.【详解】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得，设直线的倾斜角为，可知，所以.故选：B2.点关于平面对称的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知，点关于平面对称的点的坐标是.故选：A3.两平行直线与之间的距离为（）A.B.C.0D.【答案】A【解析】 【分析】先将直线的方程变形，然后利用两平行线间的距离公式求解即可【详解】由，得，所以两直线间的距离为，故选：A4.已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，则由题意可知，，即，故，所以双曲线的标准方程为.故选：C．5.若直线：与直线：平行，则的值为（）A.或B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案.【详解】因为直线：与直线：平行 则，解得：或，当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足.故选:B.6.设第一象限的点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（）A.B.4C.D.32【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义或焦半径公式求得，代入抛物线方程可得．【详解】，则，．由题意，，所以，又，所以．故选：A．7.椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆半焦距为c，根据给定条件可得b=c，再确定a与c的关系即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c，因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则有b=c，而，于是得，所以椭圆的离心率是.故选：D8.已知双曲线的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的中点，则（） A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据右焦点为，得到，进而得到，再根据的周长为得到，然后利用三角形中位线求解.【详解】解：因右焦点为，所以，又因为，则，又因，则，所以为坐标原点，且为线段的中点，所以，故选：B9.若双曲线C：的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】结合圆的几何性质列方程，化简求得的值.【详解】圆即，圆心为，半径为，故焦点，双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为， 所以，解得.故选：A.10.从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，，应选答案B．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．11.已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（）A.B.3C.D.2【答案】C【解析】【分析】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得.【详解】如下图所示：易知，不妨设；设直线的方程为，与联立消去得， ,由韦达定理可知；由可得；联立解得，即；根据焦点弦公式可得；代入计算可得.故选：C12.已知，是椭圆：短轴的两个端点，点为坐标原点，点是椭圆上不同于，的动点，若直线，分别与直线交于点，，则面积的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设出点坐标，由直线的方程以及，求得两点的坐标，由此求得的表达式，求得的最小值，进而求得面积的最小值.【详解】设，则，即.依题意.则直线的方程分别为，令，得.则.而，表示点和点之间连线的斜率的倒数.设过的直线与椭圆相切，由消去并化简得 ，判别式，.所以，所以，所以.也即的最小值为，所以三角形面积的最小值为.故选：D【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查直线方程，考查三角形面积最值的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，共计20分）13.过点且垂直于的直线方程为_______【答案】【解析】【分析】根据题意，设直线方程为:，再将点代入求解.【详解】解：设过点且垂直于l:的直线方程为:，把点代入可得:，解得.要求的直线方程为:， 故答案为：14.若圆与圆相外切，则的值为________【答案】2【解析】【分析】利用圆与圆位置关系求解.【详解】圆的标准方程为：，则其圆心为，半径为，因为圆与圆相外切，所以，解得，所以的值为2，故答案为：215.已知方程表示双曲线，则的取值范围是_______________________．【答案】【解析】【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可.【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，即，所以的取值范围是，故答案为：.16.已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．【答案】【解析】【分析】 设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，由于点为弦的中点，则，得，由题意得，两式相减得，所以，直线的斜率为，所以，弦所在的直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（70分）17.求与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．【答案】【解析】【分析】根据题意设双曲线方程，可得关于a，b，c的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程.【详解】由椭圆方程可得长半轴，短半轴，则半焦距，即焦点坐标为∵焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，故双曲线的方程为.18.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程.【答案】或.【解析】【分析】分直线经过原点和直线不过原点两种情况讨论求解.【详解】解：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距都为零，满足条件，故直线的斜率为，故所求直线方程为:；当直线不过原点时，根据题意，设其方程为:，将代入有:，解得:，即.故所求直线的方程为:或.19.已知坐标平面上点与两个定点的距离之比等于2.（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形;（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.【答案】（1）点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆（2）或【解析】【分析】（1）根据题意直接列方程化简求解即可，（2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果.【小问1详解】 由题可知，整理得:，故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆.【小问2详解】由题可知:①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为:，满足弦长为.②当直线的斜率存在时，不妨设为，则直线方程为:，即:，则圆心到直线的距离为，因为直线被所截得的线段的长为，所以，得，解得，所以直线方程为.综上，满足条件直线的方程为或.20.已知长轴长为的椭圆的一个焦点为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为l的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆性质，运算可求出结果；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合弦长公式即可求出结果. 【小问1详解】由题意，，，∴，∴椭圆的方程为．【小问2详解】设直线的方程为，点，联立方程组化简，得，，即，且，，∴解得，符合题意，∴直线的方程为或.21.已知拋物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点.（1）求抛物线方程;（2）若直线与抛物线交于两点，且满足，求证:直线恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）（2）定点，证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出结果;（2）由题意直线方程可设为，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.【小问1详解】 由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为，因经过点，所以，解得所以，抛物线的标准方程为:.【小问2详解】如图，设直线的方程为:，联立方程消有：由于交于两点，设，则，即，，由.则.解得:，验证满足条件. 所以直线的方程为，即证直线恒过定点.22.已知圆，为圆上一动点，，若线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹方程;（2）如图，点在曲线上，是曲线上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得，再结合椭圆的定义求出方程作答.（2）设出直线的方程，与方程联立求出点A的横坐标，同理可得点B的横坐标，再利用斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】依题意，，因此，于是点的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，则长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以曲线的轨亦方程为.【小问2详解】直线的斜率为定值．设，由，得直线的斜率互为相反数，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，由消去得，，同理得，，依题意，，所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.