四川省盐亭中学2023届高三数学（理）第三次模拟试题（Word版附解析）

四川省盐亭中学2022年秋高2020级高三第三次模拟测试（理科）（数学）一、单选题1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式后由交集的概念求解【详解】由题意得，，则，故选：A2.下列命题中，真命题的是（）A.B.C.的充要条件是D.若，且，则中至少有一个大于1【答案】D【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义判断A，利用充要条件和必要条件的定义判断利用反证法证明D．【详解】解：A，根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误．B.当时，，所以B错误．C.若时，无意义0，即充分性不成立，所以C错误．D.假设x，y都小于1，则，，所以与矛盾，所以假设不成立，所以D正确．故选D．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 3.已知函数的定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以所以函数的定义域为，要使有意义，则需要，解得，所以的定义域是.故选：D.4.若，则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依据对和选项进行分析，在分析过程中涉及基本不等式时注意等号成立的条件.【详解】因为，所以，则.所以即，AB错误.因为，所以，则，C错误.因为，所以 则，D正确.故选：D5.如图，等腰梯形中，，点为线段中点，点为线段的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，根据中位线的性质，结合平面向量的基本运算求解即可.【详解】连接，，点为线段中点，点为线段的中点..又..故选：B6.已知等差数列的前n项和为，若，，则（） A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到首项和公差的关系，再由等差数列的通项公式和求和公式，直接求解，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，由得，则，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数． 8.已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，定义在上的函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，又由对数的运算性质可得，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的转化思想，以及熟练应用函数的单调性及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9.圆内接四边形中，，是圆的直径，则（）A.12B.C.20D.【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求.【详解】 由题知，，∴.故选：B.10.等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（）A.B.C.当时最小D.时的最小值为【答案】C【解析】【分析】利用数列的单调性结合等差数列的定义可判断A选项；利用可得出、的等量关系，可判断B选项；求出，利用二次函数的基本性质可判断C选项；解不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；对于B选项，因为，即，可得，B对；对于C选项，，所以，当或时，最小，C错；对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.故选：C.11.在中，三个内角所对的边为，若，，，则（）A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】由正余弦定理进行边化角可求得，再运用三角形的面积公式求得，利用余弦定理可求得答案． 【详解】解：因为，所以，又，所以．因为＝，所以．因为，所以＝，所以，故选：B．12.已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合导数与单调性的关系，通过构造函数进行求解即可.【详解】解：∵函数在上单调递增，∴当时，有；当时，恒成立，令，，则，∵，∴，即在上单调递增，∴，要使当时恒成立，则，解得.∵函数在上单调递增，∴还需要满足，即，综上，的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是除了考虑每段函数是单调递增，还要考虑不等式 成立这一条件.二、填空题13.已知向量，．若，则与的夹角余弦值为______．【答案】【解析】【分析】根据垂直关系得出，再结合数量积公式得出与的夹角余弦值.【详解】，故答案为：14.已知等比数列满足：，则______.【答案】5【解析】【分析】根据等比数列的性质计算即可.【详解】因为等比数列的性质可得,即得可得.故答案为:5.15.若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由题意可知“，使恒成立”是真命题，令，则函数在上的最小值大于等于零，解出即可.【详解】解：因为“，使成立”是假命题，所以“，使恒成立”是真命题， 令，，函数的对称轴为：，①当时，即，函数在的最小值为：，，解得，又，.②当时，即，函数在的最小值为：，，解得，又，无解.③当时，即，函数在的最小值为：，，解得，又，无解.综上所述：实数的取值范围是：.故答案为：.16.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有______. （1）（2）的图象关于直线对称（3）（4）在上的值域为【答案】（1）（3）【解析】【分析】依据图象解出函数中的各参数，然后一一判别.【详解】由图知，.所以，.则.因为，所以，解得.所以.故（1）对..则函数图象不关于直线对称，（2）错.，（3）对.当时，，令，则在上递减，在上递增， 因为，所以当时，；当时，所以当时，函数的值域为，（4）错.故答案为：（1）（3）【点睛】注意图象中蕴含的周期，从而解出，在求值域时，可采用换元法或整体思想来求解.三、解答题17.已知函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）设，若函数为奇函数，求的最大值.【答案】（1）最小正周期为，值域为（2）【解析】【分析】（1）借助诱导公式、二倍角公式对函数解析式进行化简变形，即可解周期与值域.（2）依据奇函数的性质求解即可.【小问1详解】 周期，因，所以.所以的最小正周期为，值域为.【小问2详解】，定义域为，因为为上的奇函数.所以即因为，所以当时，有最大值.18.已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出；（2）利用裂项相消的求和方法，求出，进而可以得出结论．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，，， 得到，所以，，即，．（2）由（1）知，，所以，即【点睛】裂项相消法求数列前项之和要注意：（1）定通项公式，根据已知条件求出所求数列的通项公式；（2）巧裂项，根据通项公式的特点准确裂项，将其表示成为两项之差的形式；（3）消项求和，把握消项的规律，准确求和．19.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若直线与曲线相切，求实数的值.【答案】（1）极大值为；极小值为；（2）.【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，由极值定义可求得结果；（2）设切点为，利用切线斜率和切点坐标可构造方程组，消元得到；令，利用导数可求得，则可确定的唯一解为，代回方程组可求得的值.【小问1详解】当时，，则定义域为，；当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减；的极大值为；极小值为.【小问2详解】假设与相切于点，，，即，又，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即有唯一解：，，解得：.20.在中，内角，，的对边分别为，，，请在①；②两个条件中，选择一个完成下列问题：（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)选择①，利用三角形面积定理、余弦定理结合已知条件经变形得即可；选择②，利用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换求出得解；(2)利用正弦定理结合(1)用角B表示边b，c，再借助三角恒等变换及三角函数的性质即可作答.【详解】（1）选择条件①：在中，，即 ，由余弦定理得，，即，而，所以；选择条件②：在中，由正弦定理得：.而，即，则，整理得，解得，而，所以；（2）由(1)及正弦定理得，于是得，，而，，从而得显然，，因此，，所以的周长的取值范围是.21.已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）在定义域内，根据函数求导判断函数单调性，找出定义域内最小值，当满足时即可求的取值范围. （2）根据（1）中求导结果得出零点的取值范围，根据零点性质可知，据此利用函数单调性定义得出和的大小关系，从而证明出.【小问1详解】由题意得，，令，则，在上单调递增，且，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最小值，，得.【小问2详解】证明：不妨设，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，，故，，设，则，故在上单调递增，，故，即， 又在上单调递减，，.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；(2)若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)已知直线的极坐标方程，运用互化公式，，即可求出直角坐标方程.将曲线的参数方程进行消去参数，即可得出曲线的普通方程.(2)利用曲线的参数方程表示出点坐标，再写出点的直角坐标，便得出中点坐标，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离的最大值.【详解】(1)∵直线的极坐标方程为，即.由，，可得直线的直角坐标方程为.将曲线参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.(2)设.点的极坐标化为直角坐标为.则.∴点到直线的距离. 当，即时，等号成立.∴点到直线距离的最大值为.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，以及点到直线距离公式的运用，还需要辅助角公式进行化简，意在考查学生的运算求解能力.23.已知函数，（1）求不等式的解集N；（2）设N的最小数为n，正数a，b满足，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）分类讨论取值范围去绝对值转化为一次不等式求解；（2）由题意得，将，代入化简后使用基本不等式求最小值.【小问1详解】，即，∴或或，解得或或，∴不等式的解集．【小问2详解】由（1），∴，则，， 则，当且仅当，即，时等号成立．