四川省南充高级中学2022-2023学年高二数学（理）上学期期末试题（Word版附解析）

2022-2023学年四川省南充高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1.圆心为，半径为5的圆的标准方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用圆的标准方程即可求得答案.【详解】∵所求圆的圆心为，半径为5，∴所求圆的标准方程为：，故选：D.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（）A.(－2，1，2)B.(－1，1，0)C.(－2，0，1)D.(－1，1，2)【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式直接求解．【详解】在空间直角坐标系中，点，1，，，1，，则线段的中点坐标是，，，1，．故选：B.3.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】 【分析】将特称命题的否定为全称命题即可【详解】命题“，”的否定为“，”．故选：C4.将二进制数化为十进制数，结果为（）A.11B.18C.20D.21【答案】D【解析】【分析】根据不同进制转化算法计算可得.【详解】解：.故选：D5.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得圆心坐标为，根据斜率公式求得，再根据圆的弦的性质，得到，结合直线点斜式方程，即可求解.【详解】因为圆，所以圆心坐标为，半径为，又由斜率公式，可得，根据圆的弦的性质，可得，所以，所以弦所在直线方程为，即，所以弦所在直线方程为.故选：D 6.设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.【详解】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.7.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A.20B.40C.70D.112【答案】C【解析】【分析】根据程序框图的步骤，进行计算，可得答案.【详解】第一次执行，由，则，又由，则进入循环；第一次循环，由，则，又由，则进入循环；第二次循环，由，则，又由，则进入循环；第三次循环，由，则，又由，则进入循环；第四次循环，由，则，又由，则输出故选：C.8.已知是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：12345 4911其回归直线过点的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由回归直线过可求，结合充分、必要条件即可求解.【详解】若回归直线过点，由题知，故为样本中心，所以，，所以的一个充分不必要条件可以是.故选：D9.在区域内随机取一点，则的概率为（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】利用几何概型的面积比求概率.【详解】区域为正方形ABCD及其内部（如图所示），表示圆及其内部在正方形ABCD内的部分，由几何概型面积比知：所求概率．故选：D． 10.已知曲线C：，直线l：.若对于点，存在曲线C上的点P和直线l上的点Q使得，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点的横坐标范围，再结合向量关系求解作答.【详解】曲线C：，是以原点为圆心，3为半径且在y轴及左侧的半圆，点的横坐标，对于点，存在C上的点P和l上的点Q使得，则A是PQ的中点，而Q的横坐标，所以.故选：A 11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（）A.四棱锥为“阳马”B.四面体为“鳖臑”C.四棱锥体积最大为D.过点分别作于点，于点，则【答案】ABD【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面，∴四棱锥为“阳马”，对；B选项，由，即，又且，∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形． ∴四面体为“鳖臑”，对；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，错；D选项，因为平面，则，且，则平面，∴，又且，则平面，所以则，对；故选：ABD．12.在平面直角坐标系xOy中，已知，圆O：，在直线AO上存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数），则Q的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设存在这样的Q，，通过特殊值法先求得，再验证其成立.【详解】直线AO：，假设存在这样的Q，设其坐标为.设，则.由P的任意性，令，和，代入得或（舍），所以，因为，所以.将，代入. 则恒成立.所以这样的Q是存在的，坐标为.故选：B.二、填空题（每小题5分，共20分）13.如果直线和互相平行，则实数值为___________.【答案】##【解析】【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.【详解】解：∵直线和互相平行∴两直线斜率相等，且在纵轴的截距不相等，故答案为：.14.某病毒实验室成功分离培养出奥密克戎BA.1病毒60株、奥密克戎BA.2病毒20株、奥密克戎BA.3病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎BA.3病毒应抽取______株.【答案】10【解析】【分析】计算该层所占的比例，再乘以总人数得出结果.【详解】由题意可知，奥密克戎BA.3病毒应抽取株.故答案为：10.15.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______【答案】【解析】【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为；故答案为．解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．16.在平面直角坐标系中，关于曲线，下列说法中正确的有________.①该曲线是有界的（即存在实数使得对于曲线上任意一点，都有，成立）；②该曲线不是中心对称图形；③该曲线是轴对称图形；④直线与该曲线至少有1个公共点.【答案】②③【解析】【分析】①分析中的取值范围并进行判断；②根据的取值范围进行分析；③将方程中变为进行分析；④根据的取值范围作出判断.【详解】①因为中，所以，解得：，所以不恒成立，故错误；②假设曲线是中心对称图形，因为，所以取一点，当，此时点的对称点的横坐标，不符合，所以假设错误，故正确；③将方程中的变为时，方程变为与原方程相同，所以曲线关于轴对称，故正确；④因，所以当时，直线与该曲线无交点，故错误，故答案为：②③. 【点睛】结论点睛：曲线的对称性有如下常见结论：（1）将方程中的换成，若方程不变，则曲线关于轴对称；（2）将方程中的换成，若方程不变，则曲线关于轴对称；（3）将方程中的的换成，换成，若方程不变，则曲线关于原点对称；（4）将方程中的的换成，换成，若方程不变，则曲线关于对称；（5）将方程中的的换成，换成，若方程不变，则曲线关于对称.三、解答题（共70分）17.已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）根据焦距可求，根据所过点可求，进而得到方程；（2）利用椭圆的定义可得的周长为，代入可得答案.【小问1详解】设焦距为，由，得，又椭圆过，∴，得，∴椭圆的标准方程为；【小问2详解】动直线l过与椭圆交于A、B两点，∴，，∴，∴的周长为20. 18.已知命题p:，不等式恒成立；：方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）若为假命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）或．（2）或【解析】【分析】（1）由为假命题，则为真命题，转化为恒成立，即可求解；（2）分别求得命题都为真命题时实数的取值范围，在根据为真命题，为假命题，分类讨论，即可求解．【详解】（1）若为假命题，则为真命题．若命题真，即对恒成立，则，所以（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，或．为真命题，且为假命题，、一真一假①如果真假，则有，得；②如果假真，则有，得．综上实数的取值范围为或．【点睛】本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中合理转化，以及正确求解命题为真命题时实数的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．19.已知方程.（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围； （2）若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值【解析】【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围；（2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.【小问1详解】若此方程表示圆，则，解得，即实数m的取值范围是；【小问2详解】由（1）可知，此时圆E：，圆心坐标为，半径为1，因为圆F和圆E关于y轴对称，所以圆F圆心坐标是，半径是1，故圆F方程为，则圆心到直线的距离，故到直线的距离的最大值为，最小值.20.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为，即可证明向量垂直；（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果.【小问1详解】证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，则，所以，即； 【小问2详解】由（1）可得，，设平面的法向量为则，解得，取，则所以平面的一个法向量为，又因为，设AB与平面所成角为，所以，所以直线AB与平面所成角的正弦值为.21.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中任取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求.【答案】（1）；（2）174.5；（3）.【解析】【分析】（1）求出第六组的频率后，根据频率和为1可求得结果；（2）根据前三组的频率和小于0.5，前四组的频率大于0.5 可知中位数位于第四，再根据中位数的概念列式可求得结果；（3）将事件转化为随机抽取的两名男生在同一组，根据列举法以及古典概型的概率公式可求得结果.【详解】（1）第六组的频率为，所以第七组的频率为；（2）身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，由于，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则由得所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.（3）第六组的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组的人数为2人，设为A，B，则有共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为共7种情况，故.【点睛】关键点点睛：将事件转化为随机抽取两名男生在同一组是解题关键.22.在平面直角坐标系中．已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．（1）若，求直线的方程；（2）若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设直线的方程，即，根据圆心到直线的距离建立方程求解即可；（2）设，由点在线段上，得，依题意，线段与圆至多有一个公共点，解得舍)或，由此求得，得出圆的方程．分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，分别求得的面积，运用关于斜率k的函数求最值，比较可得最小值.【小问1详解】解：由题意，圆心坐标为，半径为，则设直线的方程，即，圆心到直线的距离，舍)或，直线的方程为；【小问2详解】解：设，由点在线段上，得，即，由，得，即，依题意，线段与圆至多有一个公共点，故， 解得舍)或，是使恒成立的最小正整数，，圆的方程为．①当直线：时，直线的方程为，此时；②当直线的斜率存在时，设的方程为，，则的方程为，点，，又圆心到的距离为，，,，．