山东省济南市2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年下学期高二期中学情检测数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是（）A.4B.6C.12D.24【答案】A【解析】【分析】先排首尾两个位置，再排中间两个位置，即可得解.【详解】先排首尾两个位置，有种排法，再排中间两个位置，有种排法，所以这4个人的入园顺序的种数是种.故选：A.2.已知某物体的运动方程为（时间单位：s，位移单位：m），当时，该物体的瞬时速度为，则的值为（）A.2B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】对求导，再利用瞬时速度的意义求解即可. 【详解】因为，，当时，该物体的瞬时速度为，则，解得：.故答案为：D.3.已知函数的导函数为，且满足（e为自然对数的底数），则等于（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式对求导可得，将代入计算可得的值．【详解】根据题意，，其导数，令，可得，变形可得，故选：C．4.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中从左至右只有第5个数为该行中的最大值，则的值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】 【分析】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果．【详解】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数．因为只有第5项的二项式系数最大，所以为偶数，故，解得.故选：B．5.已知函数，若，则（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可．【详解】，，，，，故选：D．6.某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（）A.24B.36C.48D.96【答案】C【解析】【分析】由分步乘法计数原理求解即可.【详解】先种区域1有种选择，区域2有种选择，区域3有种选择，区域4有种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，则共有：种.故选：C. 7.已知点，点是抛物线上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，利用两点间距离公式可表示出，利用导数可求得最小值.【详解】设，则，令，则；恒成立，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，.故选：A.8.已知，，（为自然数对数的底数），则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指数与对数互化可得，构造函数，判断的单调性，由此可得大小关系；利用作差法可得大小关系，由此可得结论.【详解】由，得，；由，得；由，得；令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减， ，即，.，.综上所述，.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.二项式系数和为512B.不存在常数项C.含项的系数为45D.第6项的系数最大【答案】BC【解析】【分析】求出展开式的通项，根据二项式系数的定义即可判断A；令的指数等于即可判断B；令的指数等于即可判断C；根据系数性质即可判断D.【详解】的展开式通项为，，1，…，10，的二项式系数和为，故A不正确；令，解得，故展开式不存在常数，B正确；令，解得，故含项的系数为，C正确；当时，的展开式的第6项的系数为，当为奇数时系数小于0，当为偶数时，的展开式第5项与第7项的二项式系数分别为与相等且最大，D不正确；故选：BC. 10.已知函数，则（）A.在处的切线与直线平行B.是上的增函数C.为的极值点D.最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程判断项，利用导数求出单调区间、求出极值、最值对进行判断.【详解】对于项：因为，所以，且，所以在处切线方程为，与直线平行.所以项正确.对于项：时或，在和上，递增，在上，递减，所以项错误.对于项：根据对项分析，知项正确.对于项：根据对项分析，知在处取极小值，，在上函数递增，且时，，所以有最小值，所以项正确.故选：.11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（）A.若5人每人可任选一项工作，则有种不同选法B.若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案C.若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案D.若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同 的方案【答案】CD【解析】分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人可任选一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故A不正确；对于B，安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方法，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有种方法，则共有：种方法，则B错误；对于C，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有种不同的方案，故C正确；对于D，①从剩下的三人选一个人从事翻译工作，则有种方法，则甲、乙和三人中剩下的2人从事其余的三个工作共有：种方法，则共有种方法.②从剩下的三人选2个人从事翻译工作，则有种方法，则甲、乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工作共有：种方法，则共有种方法，所以若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有种不同的方案，故D正确.故选：CD.12.已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，且，，则()A.B.C.D.【答案】AD 【解析】【分析】利用导数研究f(x)和g(x)的单调性，画出图象，数形结合得出范围，利用和f(x)的单调性即可判断．【详解】f(x)的定义域为R，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；时，；；时，；的定义域为，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，；；时，；作出f(x)和g(x)图象，易知，，且，∵，∴，∵，f(x)在单调，∴，同理，∴，， 又，∴，故A正确，B错误；又，故D正确，C错误．故选：AD．【点睛】关键点点睛：利用导数研究f(x)和g(x)的性质，并作出其图象，数形结合，利用即可得到答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数在处取得极值，则实数a的值为_________．【答案】【解析】【分析】根据函数在处取得极值，可得，即可得解.【详解】，因为函数在处取得极值，所以，解得，经检验符合题意，所以.故答案为：.14.在的展开式中的系数是________．（用数字作答）【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得，所以展开式中为，所以展开式中的系数是．故答案为：-3. 15.现有五张卡片，分别写有数字0，1，2，3，6（数字6倒放也可当做数字9），则用这些卡片摆成的不同五位数的个数为_________．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】先确定首位，再确定其他位置，再结合数字6倒放也可当做数字9，即可得解.【详解】先确定首位有张卡牌可选，再确定其他位置，有种选法，又因数字6倒放也可当做数字9，所以不同五位数的个数共有个.故答案为：.16.已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数a的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】设,由题意可得函数在是减函数，原问题转化为恒成立，即恒成立，即求即可.【详解】若对任意两个不相等的正实数都有恒成立，不妨设，所以，即，令，则，所以函数在单调递减，则恒成立，则令，即即可，，因为在单调递减，存在零点，使得， 即，两边取对数可得，即，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，令，则，在上单调递增，且，要求，解得：，即，则，因为即，令，，，所以，在上单调递减，当时，.当趋近于0时，趋近于正无穷，所以，故.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是利用参变分离法，将其转化为；而是解转化为，，即图象与图象的交点问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值：； （2）已知，求x的值．【答案】（1）35；（2）或x=6【解析】【分析】（1）由性质直接计算可得，或直接计算；（2）根据上角标相等或和等于下角标计算可得.【详解】（1）；另解：；（2）因为，则，即且，所以或，解得或.18.已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在上的最值．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）先求导数得切线斜率，然后求出切点坐标，可得切线方程；（2）先求极值点，求出极值和区间端点值，比较可得最值.【小问1详解】，，；所以在点处的切线方程为，即；【小问2详解】，令得或；12 0002由表可知，最大值为，最小值为.19.为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念．（1）女生必须站在一起的站队方式有多少种？（2）男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？（3）现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列；（2）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可；（3）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可.【小问1详解】女生必须站在一起，利用捆绑法，先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列，则有种站队方式；【小问2详解】若甲站在两端，则甲有种站法，再选一名女生与甲相邻，有种选法，再将把其他人排列，有排法，则甲站在两端有种，若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法， 再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，则甲不站两端有种，所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种；【小问3详解】先选名女生分到三个年级，有种，再将个男生分到三个年级，有种，所以共有种.20.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出展开式的通项，进而可求得答案；（2）令，求得，再令，求得，即可得解；（3）根据通项结合组合数的运算性质即可得解.【小问1详解】展开式的通项为，则；【小问2详解】令，则，令，则，所以； 【小问3详解】.21.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数的图象始终在图象的上方，求实数a的取值范围．【答案】（1）若，在上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）求导函数，讨论当，时，导函数的符号即可得函数的单调性；（2）将函数的图象始终在图象的上方，转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导函数，对分类讨论，确定函数的单调性，即可确定的取值情况，从而可得符合的实数a的取值范围．【小问1详解】因为，所以若，则，所以，所以即，所以在上单调递增；若，令，则. 故当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在单调递增；综上，若，上单调递增；若，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】若函数的图象始终在图象的上方，只需在上恒成立即在上恒成立，设，则，当时，，所以在上单调递增，所以，符合题意；当时，在上单调递增，所以，符合题意；当时，因为在上单调递增，而，，所以存在使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，符合题意；当时，因为在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，符合题意；当时，因为在上单调递增，所以，所以在上单调递增，又，所以存在使得，所以在上单调递减，所以，不合题意；综上可知，当时，函数的图象始终在图象的上方.22.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：（1）求实数，的值；（2）求证：；（3）求不等式的解集，其中．【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求出，，，，依题意可得，，即可得到方程组，解得即可； （2）由（1）知，即证，令，即证时，记，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；（3）分析可得，即或，先考虑，该不等式等价于，结合（2）的结论即可，再考虑，该不等式等价于，利用导数证明，，即可得到，，再分类讨论即可判断.【小问1详解】因为，所以，，，则，，由题意知，，，所以，解得，.【小问2详解】由（1）知，即证，令，则且，即证时，记，，则， 所以在上单调递增，在上单调递增，当时，即，即成立，当时，即，即成立，综上可得时，所以成立，即成立.【小问3详解】由题意知，欲使得不等式成立，则至少有，即或，首先考虑，该不等式等价于，即，又由（2）知成立，所以使得成立的的取值范围是，再考虑，该不等式等价于，记，，则，所以当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，，所以，， 当时由，可知成立，当时由，可知不成立，所以使得成立的的取值范围是，综上可得不等式的解集为.【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定或，分别求、对应解集，进一步转化为求、的解集，构造中间函数研究不等式成立的x取值.