江苏省无锡市南菁高级中学2023-2024学年高一数学上学期新生开学检测试题（Word版附解析）

江苏省南菁高级中学2023级高一开学检测数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知x，y满足，则的平方根为（）A.2B.±2C.4D.±4【答案】B【解析】【分析】由平方和绝对值的性质得到方程组，求出的值，进而求出的值，得到平方根.【详解】由题意可知：，，联立可得：，解之得：，∴，∵4的平方根为，∴的平方根为．故选：B．2.若能用完全平方公式因式分解，则的值为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出，即可求得实数的值.【详解】由题意可知，关于的方程有两个相等的实根，则，解得或.故选：C.3.如图，下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有8个圆，第③个图形中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是（） A.100B.92C.90D.81【答案】B【解析】【分析】根据图形找出规律，得出第个图形为，第9个代入计算即可．【详解】第①个图形中一共有个圆，第②个图形中一共有个圆，第③个图形中一共有个圆，第④个图形中一共有个圆，，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是个圆．故选：B．4.若关于x的不等式组无解，且一次函数的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a的和是（       ）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】先解不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的图象不经过第一象限求出的取值范围，从而可得符合条件的所有整数，然后求和即可得．【详解】， 解不等式①得：，解不等式②得：，此不等式组无解，，解得，一次函数的图象不经过第一象限，，解得，，综上所以符合条件的所有整数的和是，故选：C．5.已知，则一定有，“”中应填的符号是（       ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质进行判断，即可得出答案．【详解】因为，不等式两边同时减去1，可得，不等式两边同时乘以，可得.故选：D.6.一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（）A.3050B.2250C.2050D.2890【答案】C【解析】 【分析】设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，由题可得小明跑(a+100)秒与小刚跑(a+100)秒，两人跑的距离相等，小明跑了a秒后还需要200秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要100秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．【详解】设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据题意，得，解得：，故这次越野跑的全程为：（米），即米．故选：C．7.若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（）A.2B.－20C.2或－20D.2或20【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理可求的值.【详解】因为，，故为方程的两个根，故.又，故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.8.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是（）A.B.且C.D.且【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程判别式列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，解得且.故选：B.【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的个数问题，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.如图，数轴上点表示的数为，化简__________．【答案】【解析】【分析】根据的范围以及绝对值、根式的运算求得正确答案.【详解】根据数轴可知，所以，所以.故答案为：10.已知，则代数式的值为_________.【答案】##【解析】【分析】化简所求代数式，结合已知条件求得正确答案.【详解】由得.所以. 故答案为：11.化简：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______.【答案】①.②.③.④.【解析】【分析】采用配方法、立方差公式、分母有理化等运算进行化简即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.12.将函数图象先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，可以得到函数______的图象.【答案】【解析】【分析】根据函数图象平移变换原则直接求解即可.【详解】的图象向左平移一个单位可得：；的图象向上平移两个单位可得：.故答案为：.三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.分解下列因式：（1）（2）（3）（4） （5）【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】利用十字相乘法、分组分解法、提公因式法、公式法等知识进行因式分解.【小问1详解】.【小问2详解】.【小问3详解】注意到，所以.【小问4详解】 .【小问5详解】14.解下列方程组：（1）（2）【答案】（1），，，（2）或【解析】【分析】（1）先因式分解，由此将原方程中转化为二元一次方程组的形式，从而求得方程组的解.（2）利用加减消元法和代入消元法求得方程组的解.【小问1详解】∵，，∴原方程组可以化为：，，，，解这些方程组可得：，，，，∴原方程组解为：，，，.【小问2详解】 两式相减得，则，，所以原方程组的解是或.15.先化简，再求值：，其中．【答案】，1【解析】【分析】利用通分，约分，合并同类项等化简后，再代入求值.【详解】原式．当时，原式16.解下列不等式：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）或（2）（3）（4）或【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求法直接求解即可.【小问1详解】由得：，解得：或，不等式的解集为或.【小问2详解】，，不等式的解集为.【小问3详解】由得：，解得：，不等式的解集为.【小问4详解】由得：，解得：或，不等式的解集为或.17.在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则. （1）请你直接写出，的“近距”______﹔（2）在条件（1）下，将线段向右平移个单位至线段，其中点分别对应点．若在坐标轴上存在点，使，请求出点的坐标.【答案】（1）（2）或或或【解析】【分析】（1）根据的定义直接求解即可；（2）分别假设或，由可求得的值，由此可得结果.【小问1详解】，，又，.【小问2详解】如图所示：，，当点在轴上时，设，，，或；当点在轴上时，设，，，或；或或或．18.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求取值范围；（2）若此方程两实数根满足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用判别式列不等式，由此求得的取值范围.（2）利用根与系数关系列方程，化简求得的值.【小问1详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得．【小问2详解】根据题意得，，．，，即，解得或，又，．19.求关于的二次函数在上的最小值．【答案】【解析】【分析】对进行分类讨论，由此求得函数在上的最小值.【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，当时，二次函数上单调递增， 所以.当时，.当时，二次函数在上单调递减，所以综上所述，.20.如图，已知在中，以为圆心，为半径的圆交斜边于，求.【答案】【解析】【分析】解法一：利用割线定理求解；解法二：利用垂径定理和直角三角形的性质求解.【详解】解法一:过作圆的切线，为切点，, 设根据切割线定理：，即，解得.解法二:过作于点，因为过圆心，所以，因为所以，因为所以，所以，在中，，