山东省菏泽市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（B)（Word版附解析）

2022－2023学年度第二学期期中考试高一数学试题（B）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算即可.【详解】由，得.故选：C.2.的内角、、的对边分别为、、，若，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可求得所求代数式的值.【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理可得，因此，.故选：C.3.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用共轭复数定义以及复数的减法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，所以，，因此，.故选：A.4.已知向量，满足，，，则（）A.B.C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律计算可得.【详解】因为，，，所以，即，即，所以，解得.故选：C5.在中，点D在边AB上，BD＝2DA.记，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量基本定理结合向量加减法运算求解即可.【详解】因为，所以，因为，，所以 ，故选：B6.已知向量，，，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出的坐标，依题意可得，则，即可得到方程，解之即可.【详解】因为，，，则，所以，，，，，因为，所以，所以，即，解得.故选：C7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，∴，则，由，得：，∴，解得，则故选：B.8.在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量数量积坐标表示建立函数关系，求出函数值域作答.【详解】在中，以直角顶点为原点，射线分别为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，令角的始边为射线，终边经过点，由，得，而，于是，因此，其中锐角由确定，显然，则，所以的取值范围是.故选：D二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知复数，，则（）A.B.C. D.在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AB【解析】【分析】根据复数的加减、乘法及共轭复数定义判断A、B、C，再由复数对应点判断所在象限判断D.【详解】A：，对；B：，对；C：，错；D：由C分析知：对应点为在第四象限，错.故选：AB10.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（）A.B.C.四边形ABCD面积有最小值D.四边形ABCD面积有最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦定理可求出角，进而求出，即可判断AB；先求出的关系，再在中，利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式结合三角函数即可判断CD.【详解】在中，因为，所以，即，又，所以，在中，因为，则，所以，则，故AB正确；在中，， 在中，，四边形ABCD面积，其中（为锐角），又，所以，因为函数在上递增，在上递减，所以四边形ABCD面积有最大值，无最小值，故C错误，D正确.故选：ABD.11.已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（）A.B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】先由已知条件求出向量，的坐标，然后逐个分析判断即可.【详解】因为，，所以，对于A，因为，所以，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以与不垂直，所以D错误，故选：BC12.在中，，BC＝10，AC＝2，则（）A.B.的面积为8C.外接圆半径是D.内切圆半径是【答案】ABD【解析】【分析】由二倍角公式解出，结合余弦定理、正弦定理和面积公式判断各个选项即可.【详解】由二倍角公式，可得，因为，所以.对A，由余弦定理有，解得，故A正确；对B，三角形的面积，故B正确； 对C，由正弦定理并结合A选项，有（为外接圆半径），即，解得，故C不正确；对D，设内切圆半径为，结合B选项，三角形面积，解得，故D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若，则______.【答案】－2【解析】【分析】根据题意求得，得到，即可求解.【详解】由复数，可得，可得，所以.故答案为：.14.设向量、的夹角的余弦值为，且，，则______.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的数量积的定义可计算出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为向量、的夹角的余弦值为，且，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.故答案为：. 15.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的模为______.【答案】##【解析】【分析】根据欧拉公式写出，再根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其模.【详解】因为，所以，所以表示的复数的模为.故答案为：16.在中，∠B＝45°，，M是BC的中点，，则AC＝______，______.【答案】①②.【解析】【分析】由题意结合可得，进而可得，再由余弦定理可得.【详解】由题意作出图形，如图，在中，因为且，所以为等腰直角三角形，则，所以， 在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，C为钝角，.（1）求C；（2）若b＝6，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求解；（2）根据三角形的面积为，求得a，再利用余弦定理求解.【小问1详解】因为C为钝角，所以，所以，因为，所以，所以；【小问2详解】因为三角形的面积为，所以a＝4.由余弦定理，可得，所以， 所以的周长为.18.（1）在①，②z为纯虚数，③z为非零实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知复数，（i为虚数单位），为z的共轭复数，若______.求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）（2）若是关于x的实系数一元二次方程：的一个根，求a，b的值及方程的另一个根.【答案】（1）答案见解析；（2），【解析】【分析】（1）不论选哪个条件，根据复数的概念或共轭复数的定义计算即可；（2）将代入方程计算可得a，b的值，再解方程即可.【详解】（1）选条件①：∵，，∴，解得；选条件②：∵z为纯虚数，∴，解得；选条件③：∵z为非零实数，∴，解得；（2）∵为实系数一元二次方程的一个根，∴，解得，∴原方程为，配方得，解得或，∴方程的另一个根为.19.在中，已知BC＝4，AC＝3，P在线段BC上，且，，设，.（1）用向量，表示； （2）若∠ACB＝60°，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算计算即可；（2）根据条件求出，再根据数量积的定义计算即可.【小问1详解】由题得；【小问2详解】，∴.20.已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设出，利用平行关系和模长列出方程组，求出，得到答案；（2）写出，根据与夹角为锐角，得到方程和不等式，求出实数的取值范围..【小问1详解】设，，因为，所以6x＝－y，因为，所以， 解得或，所以或；【小问2详解】，，因为与的夹角为锐角，所以，，解得且，即.21.设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.（1）求实数的值；（2）求的坐标；（3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可；（2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解；（3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解.【小问1详解】复数在复平面内对应的向量，复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量，，因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，所以，解得，；【小问2详解】；【小问3详解】因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，设，则，因为，所以，解得，即点A的坐标为.22.记是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点D在边AC上，.（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝DC，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再结合正弦定理和求解；（2）由题意知：BD＝b，，，在和，利用余弦定理结合化简，再利用余弦定理求解.【小问1详解】解：由题意得，由正弦定理知：，即，∴，又，∴BD＝b，得证.【小问2详解】由题意知：BD＝b，，，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，解得或，当时，； 当时，；