江西省九江市2023届高三数学（文）三模试题（Word版附解析）

九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求解一元二次不等式则得到集合，再利用集合交并补的运算即可.【详解】，，解得，则，.故选：A.2.已知复数z满足，则（）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】设，然后根据复数的四则运算求出，然后代入复数模的计算公式 即可求解.【详解】设，则，即，，解得，，.故选：.3.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】借助指数函数与对数函数的单调性将三个数，和中间量0与1来比较，即得大小关系.【详解】解析：，，，.故选：C.4.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是（）A.174，175B.175，175C.175，174D.174，174【答案】A【解析】【分析】根据中位数和平均数的定义进行计算即可.【详解】从小到大排列，第10个和第11个数的平均数为中位数，即，故中位数为174，先把每个数据减去174， 得到20个数据为，此时，从而求出平均数为.故选：A.5.已知，且，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据，，求出，，再利用两角差的余弦公式求【详解】解析：，，，，，，故选：A.6.执行如图所示的算法框图，则输出的C的值为（） A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意，由程序框图可得C是以3为周期的周期数列，即可得到结果.【详解】由题意，输入，，，执行程序框图，，，，，执行循环体；，，，，执行循环体；，，，，执行循环体；，，，，执行循环体；所以C是以3为周期周期数列，当时，执行循环体，，，，，结束循环体，所以输出的C的值为2.故选:C.7.若数列满足（q为常数，且），则称为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列中，，，且公差比为2，则（）A.1024B.1022C.2048D.2046【答案】D【解析】【分析】由题意证明数列是以4为首项，2为公比的等比数列，并求出的通项，再用累 加法求出的通项，从而得到.【详解】，，，，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，，当时，，.故选：D.8.已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则（）A.4B.C.8D.【答案】D【解析】【分析】连接，，依题意可得，分别是和的中位线，即可得到，，再根据椭圆的定义计算可得.【详解】如图所示，连接，，，，，分别为线段，的中点，为的中点，，分别是和的中位线，，，在上，，故选：D. 9.已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（）A.2B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】根据图象先求出，然后根据函数过点和在单调递减得到，代入函数解析式，利用两角和与差的正弦公式即可求解.【详解】由图可知，，，则，，又，且在单调递减，，，，，又，，，.故的最大值为.故选：D.10.已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（） A.在上单调递减B.在上单调递增C.在上单调递减D.在上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据是奇函数，得到的图象关于点对称，由图像关于直线对称可知为偶函数，结合函数在上单调递增，得到在上单调递减，再求出函数的周期性得到答案.【详解】是奇函数，，即的图象关于点对称，又在上单调递增，在上单调递增，即在上单调递增.由，可得，由图像关于直线对称可知为偶函数，∴在上单调递减，，，是周期函数，最小正周期为4，∵，，∴在上的单调性和在上的单调性相同，在上单调递减.故选：C.11.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.下图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开（如图1所示），已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由榫与卯为互补结构结合对应的视图，再由排除法即可得到结果.【详解】由题可知，榫与卯为互补结构，合并为一个正四棱柱，故卯需要有两个通透的长方形通道，由于四棱柱摆放角度为直角边正对我们，故主视图必须有一条居中的实线代表棱，故A错误；然后对榫的结构分析并与卯互补可得，卯的两边通道中间并不会连通，故不存在居中的虚线，故BD错误，综上所述，只有C满足要求.故选:C12.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线（）的左右焦点分别为，，从右焦点发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点A，B反射后，其中反射光线BC垂直于AB，反射光线AD满足，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，，在中，设，则，，由双曲线定义可知 ，，解出，在中用表示出，最后求出离心率.【详解】如图，连接，，由双曲线的光学性质可知，，，设，则，，由双曲线定义可知，，，，，，，，.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.中，，，D为BC的中点，则______.【答案】2【解析】【分析】利用平面向量的数量积和直角三角形中余弦的定义求解即可.【详解】解析：如图，. 故答案为：2.14.中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，再用余弦定理得，求出，最后使用面积公式即得.【详解】解析：由及正弦定理，得，，由余弦定理知，，，.故答案为：.15.已知函数有两个极值点，，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据函数有两个极值点得到是方程的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.【详解】，是的两个零点，即是方程的两个不相等的实数根，，是方程的两个不相等的实数根.令，则. 当或时，；当时，，在和上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，.，且.由，得，，，由，即.故答案为：.16.如图，棱长为2的正方体中，P，Q为四边形内的点（包括边界），且点P到AB的距离等于到平面的距离，点Q到的距离等于到平面ABCD的距离，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义得到P，Q的轨迹，结合图像，即可求解.【详解】当P，Q在线段上时，由P到AB的距离等于到平面的距离知，P到点B的距离等于到的距离，故点P在以B为焦点，为准线的抛物线上；同理，点Q在以为焦点，BC为准线的抛物线上.设这两条抛物线与的交点即分别为点，（如图1）.则P，Q的轨迹分别为四边形内过点，且平行于AB的线段（如图2）.则的最小值即为.如图3所示，建立平面直角坐标系，则的坐标为，，所在的抛物线方程为 ，，联立方程且，得，，，即的最小值为.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由与的关系证得是等差数列，求出，再求；（2）使用裂项求和即可.【小问1详解】当时，，当时，，，即，，，， 是首项为2，公差为1的等差数列，，，，综上，【小问2详解】，,（）,，记数列的前n项和为，.18.直三棱柱中，，D为的中点，.（1）求证：平面平面ABD；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）先证平面，得到①，再借助三角形相似证明②，最后证出平面平面；（2）等体积法求即可.【小问1详解】为直三棱柱，，又，，平面平面，①设，则，，，，，，故②由①②，，，且，知平面ABD又平面，平面平面ABD【小问2详解】由，得，解得的面积由（1）知平面，三棱锥的体积三棱锥的体积19.2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t1234 订单数量y（万件）5.25.35.75.8附：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.（1）试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.【答案】（1）0.96，订单数量y与月份t的线性相关性较强（2），6.05万件【解析】【分析】（1）根据公式求出，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.【小问1详解】，，，，，， 订单数量y与月份t的线性相关性较强；【小问2详解】，，线性回归方程为，令，（万件），即该企业5月份接到订单数量预计为6.05万件.20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵坐标为，F恰好是的重心.（1）求E的方程；（2）若，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且，求的最小值.【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）根据点A的坐标及重心F的坐标表示点B，将B的坐标代入抛物线方程可求出，可得抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为，，，联立直线PQ与抛物线方程，根据韦达定理和，求出，再根据抛物线的定义求出，结合二次函数知识可求出结果.【小问1详解】由已知可得，，设F恰好是的重心，，解得， 将代入，得，，解得，E的方程为；【小问2详解】设直线PQ的方程为，，，由方程组，得，即，且，，，，，，，即，，，或，若，直线PQ过N点，不合题意，舍去，，此时，，则，当时，有最小值为11. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数）在处的切线斜率为.（1）求a的值；（2）若，，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案;（2）由，变形为，从而令，求得其导数，结合端点处函数值以及导数值情况，判断出m的范围，并加以证明，即可得答案.【小问1详解】，， ，，，.【小问2详解】由（1）可知，，由，得，令，则，，且，存在，使得当时，，，即；下面证明当时，，，且，，设，，当时，；当时，；可知在上单调递减，在上单调递增，，，，；当时，令，则，设，则，且为单调递增函数，由于，故，仅在是取等号，故在上单调递增，，故，即，则在上单调递增，而，当时，递增的幅度远大于递增的幅度，，故必存在，使得，则时，，故在上单调递减，则，与题意不符； 综上，实数m的取值范围为.【点睛】关键点睛：根据不等式恒成立求解参数范围时，关键是要根据端点处函数值以及导数值的情况推出m的范围，再加以证明.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中α为倾斜角，且.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设l与曲线C相交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率为，，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）参数方程和普通方程的转化，极坐标方程和直角坐标方程的转化；（2）直线的参数方程应用，根与系数关系求得斜率和范围.【小问1详解】曲线C的普通方程为，由，得，即，，所以，又，故，即，,所以.【小问2详解】设，， 将代入直线l方程中，得，则，，，，，.选修4-5：不等式选讲23.设a，b，c均为正数，已知函数的最小值为4.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）应用绝对值三角不等式及基本不等式求目标式最小值，注意取值条件，（2）利用基本不等式证明不等式即可.【小问1详解】，，则，，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，， ，即，仅当时取等号，故的最小值为.【小问2详解】，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，又，仅当时等号成立，同理，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，即.