十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题23立体几何解答题（文科）（Word版附解析）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—立体几何解答题目录题型一：证明平行、垂直1题型二：求线线角26题型三：求线面角30题型四：求二面角42题型五：求几何体的表面积、体积44题型六：求距离的问题58题型七：根据条件确定点的问题65题型八：立体几何中求最值问题75题型九：立体几何中的综合应用77题型一：证明平行、垂直1．(2023年全国乙卷文科·第19题)如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)解析：【小问1详解】连接，设，则，，， 则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面．【小问2详解】过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以，在中，，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱锥的高为，因为，所以，所以，又，所以． 2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第18题)(12分)如图，在平行四边形中，，．以为折痕将折起，使点到达点D的位置，且．(1)证明：平面平面；(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】解：(1)由已知可得，，．又，，所以平面．又平面，所以平面平面．(2)由已知可得，，．又，所以．作，垂足为，则．由已知及(1)可得平面，所以平面，．因此，三棱锥的体积为．3．(2014高考数学重庆文科·第20题)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分)如题(20)图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且． (Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)若，求四棱锥的体积．【答案】解析：(Ⅰ)如答(20)图，因为菱形，为菱形中心，连结，则，因，故又因为，且，在中所以，故又底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，设，由底面知，为直角三角形，故 由也是直角三角形，故连结，在中,由已知，故为直角三角形，则即，得，(舍去)，即此时所以四棱锥的体积4．(2014高考数学陕西文科·第19题)四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱，，，于点，，，．(1)求四面体的体积；(2)证明：四边形是矩形．ABCDEFGH122主视图左视图俯视图【答案】(1)；(2)见解析．解析：(1)由该四面体的三视图可知所以平面,所以四面体的体积；(2)平面,平面平面,平面平面,同理 四边形为平行四边形，又因为平面,四边形为矩形．5．(2014高考数学福建文科·第19题)(本小题满分12分)如图，三棱锥中，，．．（1）求证：平面；（2）若，为中点，求三棱锥的体积．【答案】解析：(Ⅰ)因为,所以．又,,所以．(Ⅱ)由得,因为,所以．因为M是AD的中点,所以．由(Ⅰ)知,所以三棱锥C-ABM的高,所以三棱锥A-MBC的体积6．(2014高考数学北京文科·第17题)(本小题满分14分)如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求证：平面；(3)求三棱锥的体积．【答案】(1)(2)详见解析；(3)解析：(I)在三棱柱中，底面，所以，又因为，所以平面，所以平面平面．(II)取中点，连结，，因为，分别是、的中点，所以，且，因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．(III)因为，，，所以，所以三棱锥的体积为：．7．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第19题)(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．(Ⅰ)证明平面;(Ⅱ)求四面体的体积． 【答案】(I)见解析；(II)．【解析】(Ⅰ)由已知得取的中点，连接由为中点知，且．∴．又，故，四边形为平行四边形，于是．又平面，平面，所以平面．(Ⅱ)因为平面，为的中点，所以到平面的距离为．取的中点，连接．由得，．由得到的距离为，故．所以四面体的体积．8.(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第19题)(本小题满分12分)如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，，交于点．将沿折到的位置．(1)证明：；(2)若，求五棱锥体积． 【答案】(1)详见解析；(2)．【官方解答】(1)由已知得，．又由得，故．由此得，，所以．(2)由得．由，得．所以．于是，故由(1)知，又，，所以平面所以又由，，所以平面又由，得．五边形的面积为．所以五棱锥的体积．9．(2020江苏高考·第15题)在三棱柱中，，平面，分别是的中点． (1)求证：平面；(2)求证：平面平面．【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析．【解析】(1)由于分别是的中点，所以．由于平面,平面，所以平面．(2)由于平面，平面，所以．由于，所以平面,由于平面，所以平面平面．10．(2016高考数学山东文科·第18题)(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，是的中点，． (I)已知，．求证：；(II)已知分别是和的中点．求证：平面．【答案】解析：(Ⅰ)证明：因所以与确定一个平面BDEF连接，因为为的中点所以；同理可得又因为所以平面因为平面，．(Ⅱ)设的中点为，连在中，是的中点所以又，所以在中，是的中点所以又，所以平面平面因为平面，所以平面． 11．(2018年高考数学江苏卷·第15题)(本小题满分14分)在平行六面体中，．求证：(1)；(2)．【答案】证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC． 因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．12．(2018年高考数学北京(文)·第18题)如图在四棱锥中，底面为矩形，平面平面分别为的中点．(I)求证：；(II)求证：平面⊥平面；(III)求证：∥平面．【答案】(I)见解析；(II)见解析；(III)见解析解析：(Ⅰ)因为，且为的中点，所以．因为底面为矩形，所以，所以．(Ⅱ)因为底面为矩形，所以．因为平面平面，所以平面．所以．又,所以平面，所以平面平面．(Ⅲ)如图，取中点，连接．因为分别为和的中点，所以，且．因为四边形为矩形，且为的中点，所以， 所以，且，因为四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，∴平面．13．(2014高考数学山东文科·第18题)(本小题满分12分)AFCDBPE如图，四棱锥中，平面,,,分别为线段的中点．(Ｉ)求证：平面；(II)求证：平面．【答案】解析：(Ⅰ)设连接由于为的中点，//所以//因此四边形为菱形，所以为的中点．又为的中点，因此在中，可得//．又平面平面所以//平面(Ⅱ)由题意知，//所以四边形为平行四边形，因此//又平面，所以因此因为四边形为菱形，所以又平面所以平面14．(2014高考数学湖北文科·第20题)如图，在正方体中，，，，，，分别是棱，，，，，的中点．求证：(1)直线∥平面；(2)直线⊥平面． 【答案】证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1．因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1．从而BC1∥FP．而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ．(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD．由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1．而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1．因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1．同理可证PN⊥AC1．又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN．15．(2014高考数学江苏·第16题)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点．已知，(1)求证：直线平面；(2)求证：平面平面． 【答案】解析：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA．又因为PA⊄平面DEF，DEÌ平面DEF，所以直线PA∥平面DEF．(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4．又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE丄EF．又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC．因为AC∩EF＝E，ACÌ平面ABC，EFÌ平面ABC，所以DE⊥平面ABC．又DEÌ平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．16．(2015高考数学四川文科·第18题)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。(I)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(II)判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；(III)证明：平面【答案】解析：(I)如答图1所示 (II)如答图2所示，连接，易得四边形和四边形为，所以，，又∵平面，且平面，∴平面，平面，又∵平面，且，所以平面平面(III)如答图3所示，易得，∴平面,∵平面，∴，同理可得，，又，∴平面。17．(2015高考数学山东文科·第18题)如图，三棱台中，分别为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若求证：平面平面．【答案】证明见解析解析：(Ⅰ)证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以,又平面，平面，所以平面． 证法二：在三棱台中，由为的中点，可得所以为平行四边形，可得在中，分别为的中点，所以又，所以平面平面，因为平面，所以平面．(Ⅱ)证明：连接．因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以又，所以．又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面18．(2015高考数学江苏文理·第16题)如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，．求证：(1)；(2)． ABCDEA1B1C1【答案】(1)详见解析(2)详见解析分析(1)由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得(2)因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得解析：(1)由题意知，为的中点，又为的中点，因此．又因为平面，平面，所以平面．(2)因为棱柱是直三棱柱，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以．19．(2017年高考数学山东文科·第18题)由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示,四边形为正方形,为与的交点,为的中点,平面．(Ⅰ)证明:∥平面; (Ⅱ)设是的中点,证明:平面平面．【答案】(Ⅰ)证明见解析．(Ⅱ)证明见解析． 【解析】证明:(Ⅰ)取中点,记为F,连接 在四棱柱中, 所以四边形为平行四边形,即 (Ⅱ)E是AD的中点,M是OD的中点,所以 正方形ABCD中,,所以 又,所以 20．(2017年高考数学江苏文理科·第15题)如图,在三棱锥中,,,平面⊥平面,点(与不重合)分别在棱,上,且⊥． 求证:(1)∥平面; (2)⊥．(第15题)ADBCEF【答案】(1)见解析(2)见解析 解析:证明:(1)在平面内,因为,,所以． 又因为平面,平面,所以∥平面; (2)又因为平面平面,平面平面平面=,平面, ,所以平面． 因为平面,所以． 又因为,,平面,平面,所以平面, 又因为平面,所以⊥．48．(2017年高考数学北京文科·第18题)如图,在三棱锥中,为线段的中点,为线段上一点．(1)求证:;(2)求证:平面平面;(3)当平面时,求三棱锥的体积．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)． 【解析】(1), 平面,又平面, (2)为线段的中点,在中, 又由(1)题可知,,平面． 由为线段上一点,有平面． 过点作如图,是边上的一点．故为两平面夹角． 又由平面与平面知,． 因此,即平面平面． (3)平面时,由是边中点知,为边中点．故而: 平面． 由为边中点知, 又有,即 因此,．21．(2016高考数学江苏文理科·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．求证：(1)直线平面；(2)平面平面． 【答案】见解析；【官方解答】(1)在直三棱柱中，．在中，因为分别为的中点，所以，于是；又因为平面，且，所以直线平面．(2)在直三棱柱中，平面．因为平面，所以．又因为，平面，，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，平面，,所以平面．因为直线平面，所以平面⊥．民间解答：(1)为中点，为的中位线，又为棱柱， ，又平面，且平面；(2)为直棱柱，平面，，又且，平面平面，又，平面又平面，又，，且平面平面，又平面平面．22．(2021年高考全国甲卷文科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，．(1)求三棱锥的体积；(2)已知D为棱上的点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析．解析：(1)如图所示，连结AF， 由题意可得：，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，而平面，故，从而有，从而，则，为等腰直角三角形，，．(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面， 从而．23．(2019·全国Ⅲ·文·第18题)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．(1)证明：图2中的A，C，D，G四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．【答案】【解析】：(1)证明：由已知可得，，即有，则，确定一个平面，从而，，，四点共面；由四边形为矩形，可得，由为直角三角形，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面；(2)连接，，由平面，可得，在中，，，可得，可得，在中，，，，可得，即有，则平行四边形的面积为．24．(2019·江苏·文理·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，．求证：(1)平面；(2)． 【答案】见解析【解析】证明：(1)因为分别为，的中点，所以在直三棱柱中，，所以又因为平面，平面所以∥平面(2)因为，分别为的中点，所以因为三棱柱是直三棱柱，所以平面又因为平面，所以.因为平面，平面，所以平面因为平面，所以题型二：求线线角一、解答题1．(2018年高考数学上海·第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)；(2)．解析：(1)由条件得圆锥的高，所以圆锥的体积．(2)如图，取中点，则，所以或其补角为异面直线与所成角．因为，，，所以平面，所以平面．在中，，，所以．所以．2．(2018年高考数学天津(文)·第17题)(本小题满分13分)如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，．(1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】解析：(1)由平面平面，平面平面，平面，，可得平面，故．(2)取棱的中点，连接，．又因为为棱的中点，故．所以(或其补角)为异面直线与所成的角．在中，，故，因为平面，故．在中，，故．在等腰三角形中，，可得．所以，异面直线与所成角的余弦值为．(3)解：连接，因为为等边三角形，为边的中点，故，．又因为平面平面，而平面，故平面．所以为直线与平面所成的角．在中，，在中，．所以，直线与平面所成角的正弦值为． 3．(2014高考数学湖南文科·第18题)如图，已知二面角的大小为60°，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为．（1）证明：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)见解析(2)解析：(1)如图a，因为，，所以，连接由题设知，是正三角形，又是的中点同，所以．而，故平面．(2)因为，所以与所成的角等于与所成的角，即是与所成的角．由(1)知，平面，所以，又，于是是二面角的平面，从而．不妨设，则．易知．在中，．连接，在中，．故异面直线与所成角的余弦值为．4．(2015高考数学上海文科·第19题)(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点．已知，．求三棱锥的体积，并求异面直线与所成的角的大小．P 【答案】(1)；(2)异面直线与所成的角为．解析：(1)∵为半圆弧的中点，∴，∴，∴；(2)由题意可知，∴，P∴的大小即为异面直线与所成的角或其补角的大小，易知，，，在中，由余弦定理可得：，即异面直线与所成的角为．题型三：求线面角一、解答题1．(2015高考数学湖南文科·第18题)(本小题满分12分)如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。(Ⅰ)证明：平面平面；(Ⅱ)若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)如图，因为三棱柱是直三棱柱， 所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面。(Ⅱ)设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，所以，在中，，所以故三棱锥的体积。2．(2017年高考数学天津文科·第17题)如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．(I)求异面直线与所成角的余弦值；(II)求证：平面；(II)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(I)(2)证明见解析(3)【基本解法1】(传统法)(Ⅰ)解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角． ∵AD⊥平面PDC，PDÍ平面PDC，∴AD⊥PD．在Rt△PDA中，由勾股定理，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．(Ⅱ)证明：∵AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，∴AD⊥PD．又∵BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，且PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC．【基本解法1】(转移法)(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．∵PD⊥平面PBC，∴PF为DF在平面PBC上的射影，∴为直线DF和平面PBC所成的角．∵AD//BC，DF//AB，∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF=AD=1，由BC＝3，得CF=BC–BF=2．∵AD⊥平面PDC，DCÍ平面PDC，∴AD⊥DC，又∵AD//BC,∴BC⊥DC，在Rt△DCF中，由勾股定理得DF＝2，∴．∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【基本解法2】(求高法)(III)∵AD//BC,ADË平面PBC，BCÍ平面PBC，∴AD//平面PBC,∴A到平面PBC的距离h＝D到平面PBC的距离＝DP＝2，在平面ABCD内，过A作AH⊥BC于H，则四边形ADCH为矩形，∴BH＝BC－AD＝2，AH=DC=4,在△AHB中，由勾股定理得AB＝2，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为=． 【基本解法3】(定义法)(III)将直角三角形CPB补成矩形PMBC，易证AD//BC//PM,∴A、D、P、M四点共面，在平面ADPM内，过A作AN//PD,与PM交于N，则AN⊥平面BPC，连接BN，则∠NBA是直线AB与平面PBC所成角的平面角．仿解法2求得AB＝2，AN＝DP＝2，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为=．3．(2016高考数学天津文科·第17题)(本小题满分13分)如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面平面；(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)详见解析；(2)．解析：(Ⅰ)取中点,连接．在中，因为是中点， 所以且,又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以(Ⅱ)在中，，由余弦定理可得，进而即．又因为平面平面,平面，平面平面,所以平面．又因为平面，所以平面平面．(Ⅲ)因为,所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角．过点作于点，连接．又平面平面，由(Ⅱ)知平面,所以直线与平面所成的角即为在中，，由余弦定理得所以因此在中，所以，直线与平面所成角的正弦值为．4．(2020年浙江省高考数学试卷·第19题)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． (I)证明：EF⊥DB；(II)求DF与面DBC所成角的正弦值．【答案】(I)证明见解析；(II)解析：(Ⅰ)作交于，连接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱台的定义可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．(Ⅱ)因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．作于，连接，由(1)可知，平面，因为所以平面平面，而平面平面，平面，∴平面．即在平面内的射影为，即为所求角．在中，设，则，，∴．故与平面所成角的正弦值为． 5．(2018年高考数学浙江卷·第19题)(本题满分15分)如图，已知多面体，均垂直于平面，，，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)详见解析；(2)．【解析】方法一：(常规做法)(1)由，得，所以，故．由，，得，由，得，由，得，所以，故．又因为平面，所以平面． (2)如图，过点作，交直线于点，连结．由平面，平面，可得，又，，所以平面，所以就是与平面所成的角．由得：．所以，故．因此，直线与平面所成的角的正弦值是．6．(2014高考数学浙江文科·第20题)(本题满分15分)如图，在四棱锥A—BCDE中，平面平面；，，，．(Ⅰ)证明：平面；；(Ⅱ)求直线与平面ABC所成的角的正切值．【答案】解：(Ⅰ)连结，在直角梯形中，由，，得，由，，得，即．又平面平面，从而平面． (Ⅱ)在直角梯形中，由，，得，又平面平面，所以平面．作，与延长线交于，连结，则平面．所以是直线与平面所成的角．在中，由，，得，；在中，由，，得．在中，由，，得．所以，直线与平面所成的角的正切值是．7．(2015高考数学浙江文科·第18题)(本题满分15分)如图，在三棱锥中，在底面的射影为的中点，为的中点．(1)证明：平面；(2)求直线和平面所成的角的正弦值．【答案】(1)见解析；(2)解析：(1)设为中点，由题意得平面，所以．因为，所以．所以平面．由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以． 因为平面，所以平面．(2)作，垂足为，连结．因为平面，所以．因为，所以平面．所以平面．所以为直线与平面所成角的平面角．由，得．由平面，得．由，得．所以8．(2016高考数学浙江文科·第18题)(本题满分15分)如图，在三棱台中，平面⊥平面，，．(I)求证：⊥平面；(II)求直线与平面所成角的余弦值．【答案】(1)见解析；(2) 解析：(1)延长相交于一点，如图所示，因为平面⊥平面，且⊥，所以⊥平面，因此⊥，又因为∥，，所以△为等边三角形，且为的中点，则⊥，所以⊥平面．(2)因为⊥面，所以是直线与平面所成的角，在中，，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为．9．(2017年高考数学上海(文理科)·第17题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图,直三棱柱的底面为直角三角形,两直角边和的长分别为4和2,侧棱的长为5．(1)求三棱柱的体积;(2)设是中点,求直线与平面所成角的大小．【答案】【解析】(1);(2),线面角为．10．(2019·天津·文·第17题)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．(1)设，分别为，的中点，求证：平面；(2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】【解析】(1)连结，由题意得，，又由，得，因为平面，平面，所以平面．(2)取棱中点，连结，依题意得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面．(3)连结，由(2)中平面，知是直线与平面所成角，因为是等边三角形，，且为中点，所以，又，在中，．所以直线与平面所成角的正弦值为．题型四：求二面角一、解答题1．(2014高考数学大纲文科·第19题)(本小题满分12分)如图，三棱柱，点在平面内的射影在上，，，．(1)证明：；(2)设直线与平面的距离为，求二面角的大小． 【答案】(1)详见解析(2)解析:解法1：(Ⅰ)因为平面，平面，故平面平面．又，所以平面．连结，因为侧面为菱形，故，由三垂线定理得．ABCDFEA1B1C1(Ⅱ)平面，平面，故平面平面．作，为垂足，则平面．又直线平面，因而为直线与平面的距离，．因为为的平分线，故．作，为垂足，连结，由三垂线定理得．故为二面角的平面角．由得为中点，，．所以二面角的大小为． 题型五：求几何体的表面积、体积一、解答题1．(2014高考数学辽宁文科·第19题)如图，和所在平面互相垂直，且，，、、分别为、、的中点．(Ⅰ)求证：平面(Ⅱ)求三棱锥的体积．附：椎体的体积公式，其中为底面面积，为高．【答案】解析:(Ⅰ)证明:由已知得是AD的中点同理EF是的中位线，(Ⅱ)在平面内,如图，第19题图解析图作,交延长线于．由平面平面,知面．又为中点,因此到平面距离是长度的一半．在中,所以2．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第18题)如图，四面体中， ，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明详见解析(2)解析：【小问1详解】由于，是的中点，所以．由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面．【小问2详解】依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以．，所以，由于，平面，所以平面．由于，所以，由于，所以，所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小值．过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以．过作，垂足为，则，所以平面，且，所以,所以．3．(2014高考数学上海文科·第19题)底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图．求的各边长及此三棱锥的体积．【答案】解析：在△中，，，所以是中位线，故．……3分 同理，，．所以△是等边三角形，各边长均为4．……6分设是△中心，则平面，所以，．……9分从而，．……12分4．(2014高考数学广东文科·第18题)如图2，四边形为矩形，⊥平面，,作如图3折叠，折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且⊥．(1)证明：⊥平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】解：(1)证明：平面，平面平面,平面平面平面，平面，平面，又平面，平面．(2)平面,又易知从而即5．(2015高考数学重庆文科·第20题)如题(20)图，三棱锥中，平面平面， ，点在线段上，且，点在线段上，且．(Ⅰ)证明：平面．(Ⅱ)若四棱锥的体积为，求线段的长．【答案】(Ⅰ)祥见解析，(Ⅱ)或．解析：证明：如题(20)图．由知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，从而．因．从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面．(2)设,则在直角中，．从而由，知，得,故，即．由,, 从而四边形DFBC的面积为由(1)知，PE平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．在直角中，,体积,故得，解得，由于，可得．所以或．6．(2015高考数学新课标2文科·第19题)(本小题满分12分)如图,长方体中，点分别在上,过点的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由)；(Ⅱ)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．【答案】(Ⅰ)见试题解析(Ⅱ)或解析：(Ⅰ)交线围成的正方形如图：(Ⅱ)作垂足为M,则,,,因为是正方形,所以,于是因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为(也正确)．7．(2015高考数学新课标1文科·第18题)(本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形，为与交点，， (I)证明：平面平面；(II)若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)解析：(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED．又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED(Ⅱ)设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=．因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=．由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=．由已知得，三棱锥E-ACD的体积．故=2从而可得AE=EC=ED=．所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为．故三棱锥E-ACD的侧面积为．8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第18题)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,,(1)证明:直线∥平面;(2)若△面积为,求四棱锥的体积．【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ) 【解析】 (1)证明:在底面中,因为 所以．又BC平面．平面, 所以直线BC∥平面; (2)在等边三角形中,,过作, 又面PAD面ABCD,面PAD面ABCD,所以面ABCD． 在直角梯形ABCD中,连接,又则四边形为正方形 设,则,． 分别在,,中, ． 又,即． 底面的面积为:． 又,则．9．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第18题)如图,在四棱锥中,,且．(1)证明:平面平面;(2)若,且四棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明见解析;(2)．【解析】(1)又 又平面,平面, 又平面,所以平面平面 (2)在平面内作,垂足为, 由(1)知平面,平面,所以,又平面,所以平面． 设,则由已知可得,, 故,解得． ∴ ∴． 10．(2014高考数学安徽文科·第19题)(本小题满分13分)如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，四条侧棱的长均为．点分别是棱上共面的四点，平面⊥平面，平面．(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若，求四边形的面积． 【答案】解：(Ⅰ)证：因为，，且，所以．同理可证，因此．(Ⅱ)解：连接，交于点，交于点，连接，．因为，是的中点，所以，同理可得．又，且，都在底面内，所以，又因为，且，所以，因为，所以，且，从而，所以是梯形的高．由得从而，即为的中点，再由得，即是的中点，且． 由已知可得，，所以．故四边形的面积．11．(2016高考数学上海文科·第19题)(本题满分12分)将边长为1的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线与所成的角的大小．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由题意知，圆柱的母线长，底面半径圆柱的体积圆柱的侧面积．(2)设过点的母线与下底面将于点，则所以或其补角为与所成的角．由长为，可知由长为，可以知所以异面直线与所成的角的大小为．12．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． (1)证明：；(2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】解析：(1)因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF则为二面角E-BC-D的平面角,因为,为正三角形,所以为直角三角形因为,从而EF=FM=平面BCD,所以 13．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第19题)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=，圆锥侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】(1)连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；(2)设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为． 14．(2021年全国高考乙卷文科·第18题)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．(1)证明：平面平面；(2)若，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)．解析：(1)因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．(2)由(1)可知，平面，所以，从而，设，，则，即，解得，所以．因为底面，故四棱锥的体积为．15．(2019·全国Ⅱ·文·第17题)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，(1)证明：平面；(2)若，，求四棱锥的体积． 【答案】解：(1)由已知得平面，平面，故.又，所以平面.（2）由(1)知.由题设知，所以，故，.作，垂足为，则平面，且.所以，四棱锥的体积.题型六：求距离的问题一、解答题1．(2023年天津卷·第17题)三棱台中，若面，分别是中点．(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 解析：(1)连接．由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，又平面，平面，于是//平面．(2)过作，垂足为，过作，垂足为,连接．由面，面，故，又，，平面，则平面．由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故．于是平面与平面所成角即．又，，则，故，在中，，则，于是 (3)[方法一：几何法]过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为．由题干数据可得，，，根据勾股定理，，由平面，平面，则，又，，平面，于是平面．又平面，则，又，，平面，故平面．在中，，又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，即点到平面的距离是．[方法二：等体积法]辅助线同方法一． 设点到平面的距离为．，．由，即．2．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第19题)(12分)如图，在三棱锥中，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】解析：(1)因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，．由知，．由，知平面．(2)作，垂足为．又由(1)可得，所以平面．故的长为点到平面的距离．由题设可知，，． 所以，=．所以点到平面的距离为．3．(2014高考数学课标2文科·第18题)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；(Ⅱ)设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积，求A到平面PBC的距离．【答案】解：(Ⅰ)设BD与AC的交点为O，连接EO．因为ABCD是矩形，所以点O是BD的中点，又E是PD的中点，所以OE∥PB．因为OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC．(Ⅱ)．由，可得．作AH⊥PB交PB于H．由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，又，所以A到平面PBC的距离为．4．(2014高考数学课标1文科·第19题)如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．(1)证明： (2)若,求三棱柱的高．【答案】解析：(1)连接，则O为与的交点．因为侧面为菱形，所以又平面，所以，故平面ABO．由于平面ABO，故……6分(2)作，垂足为D，连接AD．作，垂足为H．由于，，故平面AOD，所以．又，所以平面ABC．因为，所以为等边三角形，又BC=1，可得．由于，所以由，且，得又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为故三棱柱的距离为．5．(2015高考数学广东文科·第18题)(本小题满分14分)如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．(1)证明：平面；(2)证明：；(3)求点到平面的距离．【答案】解析：(1)因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面(2)因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以(3)取的中点，连结和，因为，所以，在中， ，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由(2)知：平面，由(1)知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是6．(2019·全国Ⅰ·文·第19题)如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】【解析】(1)连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以平面.(2)过作的垂线，垂足为H.由已知可得，，所以平面，故.从而平面，故的长即为C到平面的距离，由已知可得，，所以，故.从而点到平面的距离为. 题型七：根据条件确定点的问题一、解答题1．(2015高考数学安徽文科·第19题)如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，．(Ⅰ)求三棱锥P-ABC的体积；(Ⅱ)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)解析：(Ⅰ)由题设＝1,可得．由面可知是三棱锥的高,又所以三棱锥的体积(Ⅱ)证：在平面内，过点B作，垂足为，过作交于，连接．由面知，所以．由于，故面，又面，所以．在直角中，，从而．由，得 ．2．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第19题)如图,四面体中,是正三角形,．(1)证明:;(2)已知是直角三角形,．若为棱上与不重合的点,且,求四面体与四面体的体积比．【答案】(1)略；(2)．【解析】(1)证明：取中点，连∵，为中点∴又∵是等边三角形，∴又∵，∴平面，平面∴．(2)连结由(1)知平面，则有，而为中点 所以为等腰三角形，且，又，所以不妨设，则易得，，，．设，则在中，由余弦定理可得即即所以在中，注意到即将代入可得整理可得，解得，故即点是的中点，则，所以．法二：不妨设则由是直角三角形，结合勾股定理可得，又，所以．所以，所以又，，所以在中，设，根据余弦定理，解得所以点是的中点，则，所以．3．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第18题)(本题满分12分)如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． (I)证明G是AB的中点；(II)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．【答案】(I)见解析(II)作图见解析，体积为【官方解答】(I)因为在平面内的正投影为，所以因为在平面内的正投影为，所以所以平面，故又由已知可得，，从而是的中点．(II)在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影．理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影．连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心．由(I)知，是的中点，所以在上，故由题设可得平面，平面，所以，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得所以四面体的体积4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第19题)(12分)如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直， 是上异于，的点．(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】【官方解析】(1)由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故．因为为上异于的点，且为直径，所以又，所以平面而平面，故平面平面．(2)当为的中点时，平面．证明如下：连结交于．因为为矩形，所以为的中点．连结，因为为的中点，所以．平面，平面，所以平面．5．(2014高考数学四川文科·第18题)如图所示的多面体中，四边形和都为矩形．(1)若，证明：直线(2)设分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线？请证明你的结论．【答案】(1)证明详见解析；(2)存在，为线段的中点时，直线平面．解析:解析：(Ⅰ)因为四边形和都是矩形，所以．因为，为平面内的两条相交直线，所以平面． 因为直线平面内，所以．又由已知，为平面内的两条相交直线，所以，平面．(2)取线段的中点，连接，设为的交点．由已知，为的中点．连接，，则，分别为的中位线．所以，，连接，从而四边形为平行四边形，则．因为直线平面，平面，所以直线平面．即线段上存在一点(线段的中点)，使得直线平面．6．(2016高考数学四川文科·第17题)如图，在四棱锥中，．(I)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；(II)证明：平面平面．【答案】(1)取棱AD的中点M，证明详见解析；(2)证明详见解析． 解析：(1)取棱的中点(平面)，点即为所求的一个点，理由如下：因为，所以且，所以四边形是平行四边形从而，又平面平面，所以平面(2)由已知，，因为，所以直线与相交，所以平面．又平面，从而．因为，所以且，所以四边形是平行四边形所以，所以．又，所以平面，又平面，所以平面平面7．(2016高考数学北京文科·第18题)如图，在四棱锥中，⊥平面，．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)存在．理由见解析．解析：(Ⅰ)因为平面， 所以．又因为，所以平面．(Ⅱ)因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．(Ⅲ)棱上存在点，使得平面．证明如下：取中点，连结，，．又因为为的中点，所以．又因为平面，所以平面．8．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第19题)如图，长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： (1)当时，；(2)点在平面内．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【解析】(1)因为长方体,所以平面,因为长方体,所以四边形为正方形因为平面,因此平面,因为平面,所以；(2)在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形，，所以四点共面，因此在平面内 题型八：立体几何中求最值问题一、解答题1．(2014高考数学江西文科·第19题)如图,三棱柱中,．ABA1CB1C1(1)求证:;(2)若,问为何值时,三棱柱体积最大,并求此最大值．【答案】(1)详见解析,(2)时,体积取到最大值 解析: (1)证明:由知,又,故平面即,又,所以(2)设在中同理在中,,所以从而三棱柱的体积为因故当时,即时,体积取到最大值2．(2015高考数学福建文科·第20题)(本题满分12分)如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且． (Ⅰ)若为线段的中点，求证:平面；(Ⅱ)求三棱锥体积的最大值；(Ⅲ)若，点在线段上，求的最小值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．解析：解法一：(Ⅰ)在中，因为，为的中点，所以．又垂直于圆所在的平面，所以．因为，所以平面．(Ⅱ)因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为．又，所以面积的最大值为．又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．(Ⅲ)在中，，，所以．同理，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而，亦即的最小值为．解法二：(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一．(Ⅲ)在中，，，所以，．同理．所以，所以． 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．所以在中，由余弦定理得：．从而．所以的最小值为．题型九：立体几何中的综合应用一、解答题1．(2015高考数学北京文科·第18题)(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面平面；(Ⅲ)求三棱锥的体积．【答案】(Ⅰ)证明详见解析；(Ⅱ)证明详见解析；(Ⅲ)．解析：(Ⅰ)因为分别为，的中点，所以．又因为平面，所以平面．(Ⅱ)因为，为的中点，所以．又因为平面平面，且平面，所以平面．所以平面平面．(Ⅲ)在等腰直角三角形中，，所以．所以等边三角形的面积． 又因为平面，所以三棱锥的体积等于．又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为．2．(2015高考数学陕西文科·第18题)如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥．(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析，详见解析；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)在图1中，因为，是的中点，所以，即在图2中，从而平面又所以平面．(Ⅱ)由已知，平面平面，且平面平面又由(Ⅰ)知，，所以平面，即是四棱锥的高，由图1可知，，平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得．3．(2015高考数学湖北文科·第20题)(本小题满分13分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接． (Ⅰ)证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(Ⅱ)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．【答案】(Ⅰ)因为底面，所以．由底面为长方形，有，而，所以平面．平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而，所以平面．四面体是一个鳖臑；(Ⅱ)解析：(Ⅰ)因为底面，所以．由底面为长方形，有，而，所以平面．平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而，所以平面．由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是(Ⅱ)由已知，是阳马的高，所以；由(Ⅰ)知，是鳖臑的高，，所以．在△中，因为，点是的中点，所以，于是4．(2016高考数学江苏文理科·第17题)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．(1)若，，则仓库的容积是多少；(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】(1)；(2)；【官方解答】(1)由知．因为，所以正四棱锥的体积()；正四棱柱的体积()；所以仓库的容积是()．(2)设()，()，则，．连结．因为在中，，所以，即．于是仓库的容积是，从而，．令，则或(舍)．当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．故时，取得极大值，也是最大值．因此，当时，仓库的容积最大．民间解答：(1)，则， ，，，故仓库的容积为；(2)设，仓库的容积为则，，，，，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此，当时，取到极大值，也是最大值，因此当时，仓库的容积最大．5．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第19题)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8(单位：)的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)． 【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】如图所示：，分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)如图所示：，分别取中点，由(1)知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ．6．(2014高考数学天津文科·第17题)如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．(I)证明：EF∥平面PAB；(II)若二面角P-AD-B为，(i)证明：平面PBC平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【答案】解析：(I)证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM，因为F为PC中点，故MF∥BC，且．由已知有BC∥AD，BC=AD．又由于E为AD中点，因而MF∥AE，且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．又AMÌ平面PAB，而EFË平面PAB，所以EF∥平面PAB．(II)(i)证明：连接PE，BE．因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD．所以∠PEB为二面角P－D－B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，可解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，可解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60°，由余弦定理，可解得PB=，从而∠PBE=90°，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．又BEÌ平面ABCD，所以，平面PBC⊥平面ABCD．(ii)解：连接BF．由(i)知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由，得∠ABP为直角．而，可得，故．又BE=1，故在直角三角形EBF中，．所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．7．(2015高考数学天津文科·第17题)(本小题满分13分)如图,已知平面,,,,点分别是和的中点． (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面平面．(Ⅲ)求直线与平面所成角的大小．【答案】(Ⅰ)见试题解析;(Ⅱ)见试题解析;(Ⅲ)．解析：(Ⅰ)要证明EF∥平面,只需证明且EF平面;(Ⅱ)要证明平面平面,可证明,;(Ⅲ)取中点N,连接,则就是直线与平面所成角,Rt△中,由得直线与平面所成角为．试题解析:(Ⅰ)证明:如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC,的中点,所以,又因为EF平面,所以EF∥平面．(Ⅱ)因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又,所以平面,又因为平面,所以平面平面．(Ⅲ)取中点M和中点N,连接,因为N和E分别为,BC中点,所以,,故,,所以,,又因为平面,所以平面,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为,所以又由,有,在Rt△中,可得,在Rt△中, 因此,所以,直线与平面所成角为．8．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第20题)如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】(1)分别为，的中点，又在等边中，为中点，则又侧面为矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面 又平面平面平面平面平面(2)过作垂线，交点为，画出图形，如图平面平面，平面平面又为的中心．故：，则，平面平面，平面平面，平面平面又在等边中即 由(1)知，四边形为梯形四边形的面积为：，为到的距离，．9．(2019·北京·文·第18题)如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若，求证：平面平面；(Ⅲ)棱上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)棱上是存在中点，使得平面．【解析】证明：(Ⅰ)四棱锥中，平面，底面为菱形所以，又因为，且平面，所以平面．(Ⅱ)证明：因为底面是菱形且所以为正三角形，所以因为，所以因为平面，平面所以因为，平面，平面所以平面，平面，所以平面平面.(Ⅲ)棱上是存在中点，使得平面．法一：理由如下：取中点，连结， 在中，由分别为，的中点可得因为平面，平面①在菱形中，因为为的中点，为中点所以，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面②因为，且平面③由①②③可得平面平面平面，平面．法二：分别取的中点，连接在三角形中，且；在菱形中，中点，所以且所以且，即四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.10．(2017年高考数学江苏文理科·第18题)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm．现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度; (2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度．(第18题)【答案】(1)16(2)20 解析:(1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面,． 记玻璃棒的另一端落在上点处． 因为,,所以,从而, 记AM与水面的交点为,过作⊥,为垂足,则⊥面ABCD, 故=12,从而=16． 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm． (如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为24cm) (2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心． 由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG． 同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1． 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处． 过G作GK⊥E1G,K为垂足,则GK=OO1=32． 因为EG=14,E1G1=62, 所以KG1=,从而． 设则． 因为,所以． 在中,由正弦定理可得,解得． 因为,所以．于是 ． 记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=． 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm． (如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为20cm) 11．(2023年全国甲卷文科·第18题)如图，在三棱柱中，平面．(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．【答案】(1)证明见解析．(2)解析：【小问1详解】证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面 【小问2详解】如图，过点作，垂足为．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为．因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以．设，则，所以为中点，,又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．