备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题13直线与圆（十三大题型）（Word版附解析）

专题13直线与圆求直线的方程1．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）A．x-y+1=0B．x+y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，故选：D.【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算. 在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.2．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）过点斜率为的直线在轴上的截距为．【答案】-2【分析】利用点斜式求直线方程，令x=0，即可得出直线在y轴上的截距．【详解】由题意可得直线方程为：，令x=0，解得y=-2所以直线在轴上的截距为-2，故答案为：-23．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知向量，，直线l经过点且与向量垂直，则直线l的方程为.【答案】【分析】设是直线上异于的任意一点，表示出、，由已知可得，，化简即可得到方程.【详解】设是直线上异于的任意一点，则为直线的一个方向向量，又，直线与向量垂直，所以，，即，整理可得，.故答案为：.4．（河北省石家庄市部分学校2023届高三上学期期中）设直线与圆相交于M，N两点，且为等腰直角三角形.(1)若直线m经过圆心，且与直线l垂直，求直线m的一般式方程；(2)求C的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直线所过点和斜率求得直线的方程，并转化为一般式方程.（2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值. 【详解】（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，圆的圆心为，即直线过，所以直线的方程为，即.（2）圆的半径为，由于为等腰直角三角形，所以到直线的距离为，即.5．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）过点且与点距离最大的直线方程是.【答案】【分析】根据直线的垂直关系得到斜率，得到直线方程.【详解】过点且与点距离最大的直线满足：.，，.直线的方程为：，化为.故答案为：.直线与坐标轴围成的三角形问题6．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）直线经过点,且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题可设直线与轴的交点坐标是，进而可得，即得.【详解】∵直线经过点，且通过第二、三、四象限，∴直线的斜率小于0，设直线与轴的交点坐标是，且，∵直线与坐标轴围成三角形面积为2∴， ∴，∴直线的方程为，即，故选：B.7．（山东省滨州市沾化区实验高级中学2022-2023学年高三上学期期中）在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设直线的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，故，所以，故.当时等号成立故故选：C8．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）直线与坐标轴围成的三角形面积等于.【答案】【分析】令和，求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式，求出结果.【详解】由直线知，令，；令，所以直线与轴交点为，与轴交点为，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为：.故答案为：.【点睛】本题考查直线在坐标轴上的截距，属于基础题.9．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中）已知直线（1）若直线的斜率等于2，求实数的值； （2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．【答案】（1）；（2）.，最大面积为2【详解】试题分析：（1）直线l过点（m,0）,（0,4-m）,则,则m=-4（2）由m>0,4-m<0,得0<m<4，,则则m=2时，S有最大值2,直线l的方程为x+y-2=0考点：本题考查直线方程以及斜率公式点评：解决本题的关键是注意m的取值范围，用m表示出S直线平行或垂直10．（江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中）已知直线与直线平行，则“m＝2”是“平行于”的（   ）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两直线的位置关系、充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】当时，，解得或，经检验可知或都符合.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B11．（安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期11月期中）已知的顶点，AC边上的高所在直线方程为，则AC所在直线的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由AC边与其上的高垂直的关系求得AC边的斜率，再结合A点坐标，即可由点斜式写出 AC所在直线的方程.【详解】设AC边上的高所在直线的斜率为，则设AC边所在直线的斜率为，因为AC边上的高与AC边垂直，所以，所以又所以AC所在直线的方程为，整理为一般式得.故选：D.12．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）已知角的终边与直线垂直，的值为.【答案】/-0.6【分析】由垂直得正切值，再利用诱导公式和商数关系得齐次式求解【详解】直线的斜率为，角的终边的斜率为2，∴，.故答案为：13．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）（多选）已知直线，，则（    ）A．恒过点B．若，则C．若，则D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据，时系数系数间的关系解决即可；对于D，分类讨论即可. 【详解】对于选项A：直线的方程可化为：，令得：，所以直线恒过点，故选项A错误，对于选项B：若时，显然不平行，若时，显然不平行，所以若，则，且，解得，故选项B正确，对于选项C：若，则，解得，故选项C错误，对于选项D：若直线不经过第三象限，当时，直线，符合题意，当时，则，解得，综上，，故选项D正确，故选：BD.距离公式的应用14．（2022秋·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ）A．B．C．D． 【答案】B【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.，则．故选：B．【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．15．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）点到直线的距离的最大值是．【答案】【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离的最大值为.【详解】因为直线恒过点，记，直线为直线， 则当时，此时点到直线的距离最大，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.  16．（湖北省高中名校联盟2023届高三上学期期中）已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为．【答案】【分析】分析可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线与直线平行，对函数求导得，令，可得，则，此时，点的坐标为，因此，到直线的最小距离为.故答案为：.17．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知点P、Q均在第一象限，且点P在曲线上，点Q在曲线，则的最小值为．【答案】4【分析】把曲线与曲线分别化为：和，知此两曲线关于直线对称，则的最小值转化为曲线上的Q点到直线 的距离的最小值的两倍即可.【详解】，，同理由得：.与互为反函数，两函数图象关于直线对称.的最小值为曲线上的Q点到直线的距离的最小值的两倍，设，则，点Q到直线的距离为：，当且仅当时等号成立，的最小值为：.故答案为：418．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则.【答案】0【分析】根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是求出m，即可得到.【详解】因为直线（）与直线互相平行，所以且.又两直线间的距离是，所以，因为，解得：.所以.故答案为：019．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为.【答案】【分析】利用导数求出与直线平行且与曲线相切的直线，切点到直线的距离即为最小距离.【详解】设，， 设直线与曲线相切，切点为，且直线与直线平行，则有，得，，即如图所示：此时到直线的距离最小，.故答案为：对称问题20．（2022秋·广东揭阳·高三普宁市华侨中学校考期中）折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，O点落在线段上，O点与上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解【详解】如图， 要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点，作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合，因为，所以，且.又当折叠后与重合时，，所以的取值范围是，故选：D21．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）点关于直线对称的点坐标是A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：由于直线的斜率为，所以点关于直线的对称点为，故选A.考点：点关于直线的对称.22．（黑龙江省大庆中学2022-2023学年高三上学期期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为．【答案】5【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点C的坐标，在直线上取点 ，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案.【详解】作出图示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点，由对称性可得，所以，当且仅当A、、三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为.故答案为：.23．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知直线的斜率为，纵截距为.（1）求点（2，4）关于直线的对称点坐标；   （2）求与直线平行且距离为的直线方程.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）设点为，则关于直线的对称点坐标为，利用点关于直线对称的性质，以及中垂线定理，列出关于的式子，结合的中点在直线上，即可求出和；（2）根据平行直线系方程，由已知直线写出与它平行的直线的方程为：，再利用两平行线间的距离公式，求出，即可得出直线方程.【详解】已知直线的斜率为，纵截距为，则方程为：，（1）设点为点，则关于直线的对称点坐标为， 则直线与直线垂直，则，即①，且的中点在直线上，所以②，联立①和②，解得，所以点关于直线的对称点坐标为.（2）设所求的直线为，因为直线与直线平行且距离为，又因为直线方程为：，即，所以可设直线的方程为：，则，解得或-11.所以直线的方程为：或.【点睛】本题考查点关于直线对称的点坐标，以及平行直线的方程，还利用中垂线的性质，中点坐标公式，两平行线间的距离公式等基础知识.24．（广东省梅州市大埔县虎山中学2022-2023学年高三上学期期中）（1）已知函数，解不等式；（2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程.（把最后结果写成直线的一般式方程）【答案】（1）{或}.（2）.【分析】（1）对去绝对值得到，然后分类讨论解不等式即可；（2）先求出与的交点M，然后取直线上一点P(－5，0)，求出P关于直线l的对称点，进而求出直线的方程即为所求．【详解】（1），当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴；当时，，∴，∴.综上，不等式的解集为{或}.(2)由得∴反射点M的坐标为(－1，2).又取直线上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点，由可知，.而的中点Q的坐标为，又Q点在上，∴.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了直线的方程，点关于直线的对称问题，属于中档题．求圆的方程25．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）设圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，若，则圆C的标准方程为（    ）A．B．C．D．或【答案】D【分析】由题意可得圆心为，半径为4，从而可求出圆的方程. 【详解】因为圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，，所以圆心坐标为，半径，所以圆C的方程为，故选：D.26．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为.【答案】【分析】根据半径求得圆心坐标，进而求得圆的标准方程.【详解】设圆心为，半径为，则，解得，所以圆的标准方程为.故答案为：27．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）请写出一个圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程：．【答案】(答案不唯一)【分析】根据题意得到圆心与半径之间的关系，再给圆心赋值即可得到一个满足题意的圆方程．【详解】解：设圆心为，当半径为时，与直线相切，令，则满足条件，∴圆的方程为．故答案为：．(答案不唯一)28．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知抛物线与坐标轴交于，，三点，则外接圆的标准方程为. 【答案】【分析】由题意分别计算，，三点的坐标，设圆：，代入三点的坐标计算，再写出标准方程即可.【详解】令，则，解得，即，；令，得，即，设圆：，所以，∴.所以圆的方程为.故答案为：29．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中联考）已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为．【答案】.【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.二元二次方程表示的曲线与圆的关系30．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）“方程表示的图形是圆”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据圆的一般式表示圆的条件判断即可．【详解】解：由方程表示的图形是圆，可得，即；由，得，显然Ü，所以“方程表示的图形是圆”是“”的必要不充分条件．故选：B．、31．（黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为，定点，动点满足，的轨迹与圆：有两个公共点，，若在上至多有个不同的点到直线距离为，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据动点满足，得到的轨迹方程为，由得公共弦所在直线方程，根据表示圆，再根据两圆有两个公共点，然后根据上至多有个不同点到直线距离为求解.【详解】因为动点满足，所以， 所以的轨迹方程为，由得公共弦所在直线方程为：，又：，圆心，半径，：，圆心，半径，，即①；因为两圆有两个公共点，所以，，②．又因为上至多有个不同点到直线距离为，所以到直线距离，，或③，由①②③得或．故选：D32．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知曲线（    ）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．若，，则C是直线D．若，，则C是抛物线【答案】BC【解析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.【详解】已知曲线. 对于A，当时，，若，则C是圆；若，则C是点；若，则C不存在.故A错误.对于B，当时，，且，则C是圆，故B正确.对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.对于D，当，时，，若，则表示一元二次方程，若，则表示抛物线，故D错误.故选：BC【点睛】结论点睛：二元二次方程表示圆的充要条件是，.33．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知圆：，下列说法正确的是（    ）A．的取值范围是B．若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为C．若，圆与圆相交D．若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立【答案】ACD【分析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；时很容易判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确；对于B，若，可得圆方程：， 过的直线与圆相交所得弦长为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，，满足条件，故B不正确；对于C，，，圆心，半径为，故C正确；对于D，直线恒过圆的圆心，可得，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.圆的对称的应用34．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中期中考试）若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是（    ）A．3B．4C．5D．8【答案】B【分析】利用圆的对称性与基本不等式中“1”的妙用解题.【详解】由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称，则说明直线过圆心，即，即，变形可得故当且仅当，即时取得等号，故最小值为4.故选：B35．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（    ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】圆关于直线对称即说明直线过圆心 ，即可求出，即可由中点弦求出弦长.【详解】依题意可知直线过圆心，即，．故．圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为．故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。36．（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）已知圆C过点A（，2），B（1，0），则圆心C到原点距离的最小值为【答案】【分析】求出线段的垂直平分线的方程，原点到线段的垂直平分线的距离即为所求最小值．【详解】由题意圆心在线段的垂直平分线上，，线段的垂直平分线的斜率为1，的中点为，所以线段的垂直平分线方程为，即，原点到这条直线的距离为，所以圆心C到原点距离的最小值为．故答案为：．直线与圆的位置关系37．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中）已知点为直线上的动点，若在圆上存在两点，，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】求得与圆相切且时的长，根据圆与直线的位置关系求得 点的横坐标的取值范围.【详解】圆的圆心为，半径，当与圆相切且时，，以为圆心，半径为的圆的标准方程为，由消去并化简得，解得或，所以点的横坐标的取值范围.故选：C38．（山东省济宁市泗水县2022-2023学年高三上学期期中）过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】可证明当时最小，故可求直线的方程.【详解】.取的中点为，连接，则且，而，当且仅当时等号成立，故最小时，，此时，故直线的斜率为，故直线的方程为：，即，故选：C.39．（2022秋·重庆长寿·高三重庆市长寿中学校校考期中）过点的直线与圆 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线的斜率不存在时求出直线的方程，即可判断出答案；直线的斜率存在时，由点斜式设出直线的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率的范围，可得倾斜角的范围．【详解】解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程是，此时直线与圆相离，没有公共点，不满足题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，直线和圆有公共点，圆心到直线的距离小于或等于半径，则，解得，直线的倾斜角的取值范围是，故选：D．40．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）写出一条与直线平行且与圆相切的直线方程.【答案】或【分析】根据题意设出所求直线方程为，且，利用圆心到直线的距离求出即可得直线方程.【详解】解：设与直线平行的直线为，且圆整理为，则圆心为，半径又直线与圆相切则圆心到直线的距离为，解得或则直线方程为：或.故答案为：或 41．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是．【答案】【分析】求出直线恒过的定点，结合曲线的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得的取值范围.【详解】因为，故可得，其表示圆心为，半径为的圆的上半部分；因为，即，其表示过点，且斜率为的直线.在同一坐标系下作图如下：不妨设点，直线斜率为，且过点与圆相切的直线斜率为数形结合可知：要使得曲线与直线有两个不同的交点，只需即可.容易知：；不妨设过点与相切的直线方程为，则由直线与圆相切可得：，解得，故.故答案为：. 圆与圆的位置关系42．（2022秋·辽宁丹东·高三统考期中）圆与圆的位置关系为（    ）A．外离B．内切C．相交D．外切【答案】D【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.【详解】因为圆的圆心为，圆的圆心为，所以两圆的圆心距为．因为圆的半径为，圆的半径为，所以圆心距等于两圆的半径和，故两圆外切．故选：D.43．（安徽省合肥市庐江第五中学2022-2023学年高三上学期期中）过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的外接圆方程是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】圆的圆心，半径，由此可得以为直径的圆就是的外接圆，利用两点间距离公式与中点坐标公式即可求出外接圆的方程．【详解】解：圆的圆心，半径，由圆的几何性质可知，且均为直角三角形，∴以为直径的圆就是的外接圆，∵，∴，且线段的中点坐标为，∴的外接圆方程是，故选：D．44．（广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期期中）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－ m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据题意把问题转化为以为直径的圆和圆C有交点，以为直径的圆的圆心为，半径为，由点在圆C外，所以若要两圆相交可得，求解即可.【详解】根据题意若要圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，可转化为以为直径的圆和圆C有交点，以为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，由点在圆C外，所以若要两圆相交可得，由可得，解得，m的最大值为，故选：D.45．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）若且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为．【答案】4【分析】首先根据题意得到圆与圆内切，从而得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为3.因为圆和圆只有一条公切线，所以圆与圆内切，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4．故答案为：446．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程；．【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】解：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，圆心距为，所以两圆外切，切点为坐标原点.如图，公切线有三条，分别记为，由图可知，切线斜率存在，故设切线方程为，所以，整理得，即或，所以，当时，，整理得，解得，即方程为；当时，，解得，即方程为；所以，所求切线方程为，，故答案为：或或圆的（公共）弦长问题47．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知圆与圆外切，直线与圆C相交于A，B两点，则（    ）A．4B．2C．D． 【答案】D【分析】由两圆外切列方程求，再求圆心到直线的距离，结合弦长公式求弦长.【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，圆的圆心的坐标为，半径为，因为圆O与圆C外切，所以所以.设圆心到直线l的距离为d，则，从而.故选：D.48．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（    ）A．1B．C．2D．【答案】B【分析】根据题意，求得直线的方程，根据圆的方程，可得圆心为（0,1），半径，根据点到直线距离公式，可得圆心（0,1）到直线的距离d，代入公式，即可求得答案.【详解】由题意得：直线的斜率，且直线过原点，所以直线的方程为，圆的方程化为：，即圆心为（0,1），半径，所以圆心（0,1）到直线的距离，所以直线被圆所截得弦长为.故选：B49．（江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高三上学期期中）已知直线：与圆交于两点，则使弦长为整数的直线共有（　　）A．6条B．7条C．8条D．9条【答案】C 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用圆的标准方程及垂径定理，结合两直线的垂直关系及直线的点斜式方程分析即可求解.【详解】由，得，所以直线恒过点，圆的圆心为，半径，则，当直线与垂直时，为中点，此时，符合题意，此时直线有一条，当直线过圆心C时，，满足题意，此时直线有一条，则当时，各对应两条直线，综上，共8条直线．故选：C．50．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆与直线相交于两点，则的最小值是.【答案】【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，将直线的方程变形为，恒过定点，分析可得在圆内部，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，求出此时的值，由勾股定理分析可得答案.【详解】根据题意，圆即，圆心的坐标为，半径，直线，即，恒过定点，又由圆的方程为，则点在圆内，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，此时，则的最小值为；故答案为：.51．（2022·浙江宁波·高三统考）圆与圆的公共弦的长为． 【答案】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆与圆的方程作差可得，所以，两圆相交弦所在直线的方程为，圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为.故答案为：.52．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）已知圆和圆相交于A，B两点，若，则（填一个答案即可）【答案】或（二选一即可）【分析】根据和圆的半径得到圆心到直线的距离，然后根据列方程，解方程即可得到.【详解】若，设圆心到直线的距离为d，则．两圆方程相减得直线的方程：，故圆心到直线的距离为，解得或．故答案为：或（二选一即可）.圆的（公）切线与切线长53．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（    ）A．B．C．D． 【答案】A【解析】作出图形，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，计算出圆的圆心到直线的距离为，可知圆内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为的圆的内部，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】如下图所示，过圆上一动点作圆的两条切线、，切点分别为、，则，，，则，且为锐角，所以，同理可得，所以，，则为等边三角形，连接交于点，为的角平分线，则为的中点，，且，，若圆内的点不在任何切点弦上，则该点到圆的圆心的距离应小于，即圆内的这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部，因此，圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为.故选：A.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于确定圆内不切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆的圆心到切点弦的距离，找出临界位置进行分析.54．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期中）圆与圆 的公切线有几条（    ）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可.【详解】圆，圆心，，圆，圆心，，圆心距,两圆外切，有3条公切线.故选:C.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.55．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为.【答案】【分析】由于过原点作圆的两条切线且切点分别为，可得,则可以为圆心，长为半径构建一个圆，而直线为圆与圆的公共弦所在的直线，两圆方程相减可得其公共弦所在的直线的方程【详解】圆配方可得，其圆心为，半径，过原点作圆的两条切线，切点分别为，则，又点在圆上，则直线为圆与圆的公共弦所在的直线，两圆方程相减可得，即直线的方程为. 故答案为：.56．（山东省济南市章丘区第四中学2022-2023学年高三上学期期中）过点与：相切的直线方程是.【答案】或【分析】分别设斜率存在的直线，以及斜率不存在的直线，利用圆心到直线的距离等于半径，求解切线方程.【详解】当过点斜率不存在时，直线方程是，此时与圆相切，当过点斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离，解得：，直线方程是，综上可知，满足条件的直线是或.故答案为：或57．（山东省临沂市2022-2023学年高三上学期期中）已知圆C:，直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件的直线l共有条.【答案】4【分析】画出圆的图像，根据图像观察可得答案.【详解】由已知圆C：，圆心，半径作出圆的图像如下：根据图像观察可得：存在4条直线与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等其中是过坐标原点的直线，是斜率为-1的直线 故答案为：4.58．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程.【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，易得切线的方程为，因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以，可知和关于对称，联立，解得在上，在上任取一点，设其关于的对称点为，则，解得，则，所以直线，即，综上，切线方程为或或.故答案为：或或. 最值问题59．（福建省厦门第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试）已知点P在圆上，点，，则错误的是（    ）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当最小时，D．当最大时，【答案】B【分析】求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断选项A与B；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断选项C与D．【详解】圆的圆心为，半径为4，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的最小值为，最大值为，所以点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故选项A正确，B错误；如图所示，当最大或最小时，与圆相切，点位于时最小，位于时最大），连接，，可知，，，由勾股定理可得，故选项CD正确．故选：B． 60．（山东省聊城市2022-2023学年高三上学期期中）过点的直线与圆：交于、两点，当最小时，直线的方程为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】当最小时，和垂直，求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程．【详解】解：圆：的圆心为，当最小时，圆心到直线的距离最长，此时，和垂直，∴直线的斜率等于，用点斜式写出直线的方程为，即，故选：C61．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三上学期期中）已知圆，圆，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值是A．B．3C．D．【答案】D【分析】两圆的圆心距为5，大于两圆的半径之和，可以知道两圆相离，结合下图（见解析）的最小值是的值，求出即可． 【详解】由题意，圆的圆心为（1，0），半径为1，圆的圆心（，），半径为2，所以，而，所以两圆相离．，要使取得最小值，需要和越小，且越大才能取到，设直线和圆交于两点（如下图）．则的最小值是.=，，则.所以.故选D.【点睛】本题考查圆的性质、平面向量的数量积等知识，也考查了学生数形结合能力、转化归纳能力和运算求解能力．62．（江苏省苏州市太仓市明德高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为.【答案】【分析】根据圆和圆的位置关系得到，再计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详解】圆：，圆：内切.故圆心距，故.点到直线：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即.故答案为：.【点睛】本题考查了圆和圆，圆和直线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.63．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）（多选）设动直线l：（）交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（） A．直线l过定点（2，3）B．当取得最大值时，C．当∠ACB最小时，其余弦值为D．的最大值为24【答案】ABD【分析】将直线方程变形为，即可求出直线l过的定点进而判断A；结合选项A可知定点在圆C的内部，进而当直线l过圆心时最大，即可判断B；根据点线之间的距离可知当时最小，结合余弦定理计算即可判断C；根据题意可知当为直径时取得最大值，即可判断D.【详解】选项A，由整理得，当即时，不论m为何值时，都成立，所以直线l过定点，故A正确；选项B，因为直线l过定点，将定点代入圆，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时，解得：，故B正确；选项C，设直线l过的定点，当时，圆心到直线的距离最大，即的余弦值最大，结合余弦在上单调递减，可得最小，而，所以，所以在中，，故C不正确；选项D，，所以当为直径时，取得最大值，此时，所以的最大值为24，故D正确.故选：ABD64．（山东省济南市章丘区第四中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）设m∈R，直线 与直线相交于点P（x，y），线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是（    ）A．点P在定圆B．点P在圆C外C．线段PQ长的最大值为D．的最小值为【答案】BCD【分析】根据直线与直线可求得两直线分别过定点和定点，且两直线垂直，从而可得交点的轨迹方程，即可判断A；判断点的轨迹圆与圆C的位置关系即可判断B；根据Q为弦AB的中点，，可得弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心的圆，则线段PQ长的最大值为圆心距加两圆的半径，从而可判断C；，求出线段PQ长的最小值，即可判断D.【详解】解：直线过定点，直线过定点，又，所以两直线垂直，所以两直线的交点的轨迹是以线段为直径的圆，，所以交点的轨迹方程为，故A错误；圆的圆心为，半径为，因为，所以圆与圆C：相离，即点P在圆C外，故B正确；因为Q为弦AB的中点，，所以，所以弦AB的中点Q的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为， 则圆与圆相离，所以线段PQ长的最大值为，故C正确；，因为线段PQ长的最小值为，所以的最小值为，即的最小值为，故D正确.故选：BCD.  1．（江苏省常州市横林高级中学2022-2023学年高三上学期期中）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段 上，即可求出的取值范围，即可得解．【详解】解：如图，为圆心，连接，则，因为点在线段上且，则圆心到直线CD的距离，所以，所以，则，即的取值范围是,．故选：D．2．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设，利用可得，再由在圆上可得，令，利用圆和直线总有公共点可得的取值范围，从而求出答案.【详解】圆的圆心为，半径为，设，因为，可得， 即①，而②，若，则，即，不合题意，所以，由①②可得，令，所以圆和直线总有公共点，可得即，解得，即，解得.故选：D.3．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点，圆（    ）A．过点的直线都可以用方程表示B．若直线l的一个方向向量为，则直线的方程为：C．若直线l的一个方向向量为且与圆C没有公共点，则m的取值范围为D．当m=-8时，直线与圆C相交的最短弦长为2【答案】BC【分析】举反例判断A，利用条件求斜率，由点斜式求直线方程，判断B，根据圆的方程的特征直线与圆的位置关系列不等式求m的取值范围，判断C，判断点与圆的位置关系，由此判断D.【详解】对于A，过点的斜率不存在的直线方程为，不能用方程表示，A错误；对于B，因为直线l的一个方向向量为，则直线的斜率为，直线l过点，所以直线的方程为即，B正确；对于C，因为圆的方程为可化为，所以，因为直线与圆C没有公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，所以，所以，C正确；对于D，当时，圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径为3 ，因为，点在圆外，所以直线与圆C相交的最短弦长不是2，D错误，故选：BC.4．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）（多选）已知圆C：，则下列命题是真命题的是（    ）A．若圆关于直线对称，则B．存在直线与所有的圆都相切C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，则最小值为4【答案】BCD【分析】根据圆关于直线对称，得得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D.【详解】解：圆C：，整理得：，所以圆心，半径，则对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，得，又时，，方程不能表示圆，故A是假命题；对于B，对于圆，圆心为，半径，则，当直线为时，圆心到直线的距离，故存在直线，使得与所有的圆相切，故B是真命题；对于C，当时，圆的方程为，圆心为，半径由于为圆上任意一点，设，则式子可表示直线，此时表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定的取值范围, 于是圆心到直线的距离，解得或，则，所以的最大值为，故C为真命题；对于D，圆的方程为，圆心为，半径，如图，连接，因为直线与圆相切，所以，且可得，又，所以，且平分，所以，则，则最小值即的最小值，即圆心到直线的距离，所以的最小值为，故D为真命题.故选：BCD.5．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是.【答案】【分析】两直线垂直说明它们的法向量互相垂直，得出的关系式，进而运用基本不等式求出的最小值.【详解】的法向量的法向量 两直线垂直得，即当且仅当时取等号.故答案为：.6已知，则的最小值为．【答案】【分析】根据已知条件，将代入，将问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题.【详解】因为，，所以=，如图所示，当三点共线时，距离最短.所以最小值为.故答案为：7．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）在平面直角坐标系中，(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(0,－3)，C(－2,1)，求：BC边上高线所在的直线的方程．(2)若直线的方程为（），且直线在轴上截距是轴上截距的，求该直线的方程．(3)过点作直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．求当取得最小值时直线 的方程．【答案】(1)；(2)或；(3).【分析】（1）求出BC边上高线所在直线的斜率，再根据点斜式即可得解；（2）分别求出坐标轴上的截距，再结合已知即可得解；（3）设不妨取，，，，则，根据数量积的坐标表示结合不等式中“1”的整体代换求出最小值时的值，即可得解.【详解】（1）解：∵，∴BC边上高线所在直线的斜率为，又高线过，∴高线所在直线方程为，即；（2）解：由题意直线在两轴上截距都存在，则，令得，令得，因为直线在轴上截距是轴上截距的，若轴上截距都为0，即直线过原点时，，此时直线为；若轴上截距不为0，则，解得，此时直线为；综上，直线方程为或；（3）解：设不妨取，，，，过点P，所以有，∴，当且仅当，即时等号成立，∴当取得最小值时，直线l的方程为，即． 8．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是．①点到原点的最大距离是4；②若是等腰三角形，则其周长为10；③点的轨迹是一个圆；④的最大值是．【答案】②③④【分析】利用求轨迹方程的方法求出点的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点到原点的最大距离，再根据几何关系确定的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到即可求出的最大值.【详解】设由中点坐标公式得,所以,因为在圆上,所以,即,即,所以点的轨迹是一个圆,方程为,是以为圆心,为半径的圆,所以点到原点的最大距离是,故①错误；因为，所以,若为等腰三角形，若,则, 此时三点共线，不满足题意，若,则,满足题意，所以的周长等于，故②正确；由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为,所以③正确；设，当时，，不是最大角，不为时，中，,当且仅当,即时取得等号，所以，故④正确.故答案为：②③④.9．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）已知是圆上两点，若，则的最大值为.【答案】4【分析】根据表示两点到直线的距离之和，结合两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线的距离的2倍，求出线段的中点到直线的距离的最大值即可.【详解】解：由，得为等腰直角三角形，设为的中点，则，且，则点在以为圆心，为半径的圆上，表示两点到直线的距离之和，两点到直线的距离之和等于中点到直线的距离的2倍，点到直线的距离为， 所以点直线的距离的最大值为，所以的最大值为，所以的最大值为.故答案为：4.10．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（4，0），点M满足.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设圆C1，若直线l交曲线C于P，Q两点，l交圆C1于R，S两点，且，证明：直线l过定点.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）设，根据列出方程，整理即可得解；（2）设直线的方程为，根据圆的弦长公式分别求得，再根据，得出之间的关系，从而可得出结论.【详解】（1）解：设，则，因为，所以，整理得：，所以C的方程为；（2）证明：由（1）知，曲线的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，由圆C1，得圆的圆心，半径为1，则，所以两圆外离， 则直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，则，圆心到直线的距离为，则，因为，所以，即，即，所以或，当时，直线的方程为，所以直线过定点，当时，直线的方程为，所以直线过定点，所以直线l过定点.11．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）已知圆C：.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；(2)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）先由配方法求得圆C的标准方程，得到圆心，半径为，再由题设条件设得直线l为，再利用相切得到关于的方程，从而求得直线l的一般式方程；（2）利用圆的切线长的性质及，得到，再利用两点距离公式代入化简，即可求得点P的轨迹方程.【详解】（1）由配方得，所以圆C的圆心，半径为，因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为，即， 则由直线l与圆C相切得，解得或，∴直线l的方程为或.（2）由圆上切点的性质知，又因为，所以，所以，整理得，故点P的轨迹方程为.12．（江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三上学期期中）平面内有两个定点，，设点到、的距离分别为、，且.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点且倾斜角为的直线与轨迹相交于、两点，求的面积（为坐标原点）.【答案】(1)(2)【分析】(1)设点为所求曲线上任意一点，由条件关系列方程化简可得轨迹C的方程；(2)利用弦长公式求，由点到直线距离公式求的底边上的高，由此可求其面积.【详解】（1）设点为所求曲线上任意一点，则，，则，化简得，即P点轨迹C的方程为.（2）由已知l的方程为，则原点到直线距离：，设，， 则代入轨迹C的方程得：，即，则，，则，则.13．（山东省德州市武城县第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知圆．(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标.【详解】（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为，又圆的标准方程为，所以，圆心到切线的距离等于圆的半径，则，解得或，因此，所求切线的方程为或.（2）解：，， 又，，所以，，则．所以，点在直线上．，的长度的最小值就是长度的最小值，而长度的最小值为到直线的距离，此时直线的方程为．由，解得，因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为．