备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题02复数与不等式（十一大题型）（Word版附解析）

专题02不等式与复数由不等式性质判断数（式）大小1．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）（多选）下列命题为真命题的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】根据不等式的性质判断A；作差法比较大小判断BD；幂函数的性质判断C.【详解】解：对于A，由于，，故，A选项正确；对于B，由于，，故，B选项正确；对于C，时，由幂函数在上单调递增，故，C选项正确； 对于D，若，则，，故，D选项错误.故选：ABC2．（山东省济宁市邹城市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）（多选）若，则下列不等式中恒成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】BD【分析】通过取特殊值的方法验证A、C选项的正误，通过指对函数的单调性验证B、D选项的正误即可得出答案.【详解】对于A选项，当，时，，故A选项错误；对于B选项，已知在上单调递增，，，故B选项正确；对于C选项，当时，，故C选项错误；对于D选项，，，即，故D选项正确.故选：BD一元二次不等式3．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）（多选）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）A．B．或C．D．或【答案】CD【分析】结合已知条件，利用充分不必要的概念即可求解.【详解】由于不等式的解为：或，设使不等式成立的一个充分不必要条件为集合， 则Ü或，结合选项，只有选项CD正确.答案：CD4．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知集合，集合，且，则；【答案】2【分析】解绝对值不等式化简集合A，由A∩B＝，说明﹣1是方程的根，把代入方程求解m，然后把解出的m值代入集合B中的不等式化简集合B，求出A∩B后可得n的值．【详解】，因为A∩B＝，所以是方程的根，把代入方程得，3(1+m)＝0，所以m＝，此时不等式的解集为{x|＜x＜2}，所以A∩B＝，即n＝2．所以所求m，n的值为，2．故答案为：．含参讨论的一元二次不等式5．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知集合，函数．(1)求关于的不等式的解集；(2)若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）将代入不等式可整理成，分，和 进行分类讨论，即可求得答案；（2）利用含量词的命题的否定得到命题“任意，使得”是真命题，则，令，则，利用基本不等式求解最值即可【详解】（1）因为，且，所以即，因为的实数根为或，当时，此时，所以不等式的解集为；当时，此时，所以不等式的解集为或；当时，此时，所以不等式的解集为或；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；（2）因为，所以命题“存在，使得”的否定为命题“任意，使得”是真命题，所以可整理成，令，则，因为，当且仅当即时，取等号，则，故实数的取值范围6．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知函数的图象过点，且满足.(1)求的解析式；(2)解关于的不等式. 【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用点在函数上与二次函数的对称性即可得解；（2）分类讨论与，结合二次函数的性质即可解得含参二次不等式.【详解】（1）∵的图象过点，即，∴，又，∴图象的对称轴为，∴，∴，∴.（2）不等式，可化为，①当，即时，不等式恒成立，所以不等式的解集为；②当，即或时，方程有两个根为，，此时不等式的解集为；综上：当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为.一元二次不等式的恒成立问题7．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为 、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，若，即或，当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；当时，则需要满足，即，解得，综上所述，的范围是，故选：B.8．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为为真命题，所以或，对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，故选：A 基本不等式的应用9．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）已知，，都是正实数，且，则当取得最小值时，的最大值为（    ）A．B．1C．2D．3【答案】A【分析】由题意可得，利用基本不等式的应用可知，再次利用基本不等式计算即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，“＝”成立．此时，所以，当且仅当时，“＝”成立．所以的最大值为．故选：A.10．（湖北省高中名校联盟2023届高三上学期第二次联合测评数学试题）设，且，则的最小值是.【答案】【分析】由，得，利用基本不等式可求得其最小值.【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故答案为：.不等式的实际问题11．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.【答案】(1)；(2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围；（2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.【详解】（1）解：由题意可知，当时，，解得：，由，即，解得：，因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，即，所以， 故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.（2）解：设该汽车行驶100千米的油耗为升，则，令，则，所以，，可得对称轴为，由，可得，当时，即时，则当时，；当，即时，则当时，；综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.12．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）2022年夏季各地均出现了极端高温天气，空调便成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律．如果物体的初始温度为，则经过一定时间t后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现将一杯80℃的茶水放在25℃的空调房间，1分钟后茶水降至75℃．（参考数据：，）(1)经研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃，为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟?（保留整数）(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大?并求出最大利润． 【答案】(1)6；(2)总产量为60千台时，获利最大，最大利润为3380万元.【分析】（1）根据题意，求得，再令，结合参考数据以及对数运算，求解即可；（2）根据的解析式，求得利润关于的函数，再结合导数和基本不等式求其最大值即可.【详解】（1）根据题意，，即，设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：，解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟.（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，当时，，，所以，单调递增，，单调递减，则；当时，，因为，当且仅当时，等号成立，则当时，取得最大值3380万元.因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为60千台时，获利最大，最大利润为3380万元.复数的有关概念13．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）（多选）若复数z满足：，则（    ）A．z的实部为3B．z的虚部为1C．D．z在复平面上对应的点位于第一象限 【答案】ABD【分析】根据待定系数法，将代入条件即可求解，，进而即可根据选项逐一求解.【详解】设，因为，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确；，故C不正确；z在复平面上对应的点位于第一象限，故D正确．故选:ABD．14．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知复数的实部与虚部的和为3，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用复数的运算得出：，根据题干条件求出，再利用共轭复数的概念即可求解.【详解】因为，又复数的实部与虚部的和为3，所以，解得：，所以，由共轭复数的概念可得：，故选：B.复数的分类15．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为.【答案】3【分析】根据复数的标准形式，结合题意，建立不等式以及方程，可得答案.【详解】解：复数（为虚数单位），， 则，解得.故答案为：3.16．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知复数，且是纯虚数，则（    ）A．B．0C．2D．【答案】A【分析】根据复数乘方运算法则得到，然后根据纯虚数的定义列方程得到，最后求复数的模即可.【详解】，因为为纯虚数，所以，解得，所以.故选：A.复数的四则运算17．（湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知复数满足（i是虚数单位），则（    ）A．B．C．2D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简得复数，再求解即可.【详解】因为，所以，则.故选：D.18．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）（多选）已知是虚数单位，若，且，则的值可以为（    ）A．B．C．D． 【答案】BD【分析】首先得到，再根据复数代数形式的乘法运算得到方程，解得即可.【详解】因为，所以，所以，，解得.故选：BD复数的模19．（广东省佛山市顺德区2023届高三上学期期中）复数（为虚数单位），若，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先根据复数代数形式的除法化简复数，设，根据复数模的计算公式得到，则可以看成圆上的点到原点的距离，从而求出距离最大值；【详解】解：，设，因为，所以，所以，即表示上的点，可以看成圆上的点到原点的距离，因为圆心到坐标原点的距离为，所以故选：D20．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）已知复数满足，则的共轭复数是（    ）A．B．C．D． 【答案】D【分析】计算出，利用复数除法法则计算出，得到共轭复数.【详解】，故，故的共轭复数是.故选：D复数的三角表示21．（广东省广州市白云中学2023届高三上学期期中）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是.【答案】【分析】根据复数的三角形式运算即可求解.【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数是.故答案为：22．（福建省厦门第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ）A．B．为实数C．D．复数对应的点位于第三象限【答案】C【分析】利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，为纯虚数，B错；对于C选项，因为，因此，，C对；对于D选项，，则，，所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.故选：C.一、单选题1．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ）A．6B．5C．4D．3【答案】D【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.【详解】因为x＋2y＋xy＝7，所以，所以．因为，则所以，当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，所以x＋y的最小值为3．故选：D2．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知关于x的不等式的解集为A，设 ，，则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】问题化为在上恒成立，列不等式组求参数范围即可.【详解】由题意，在上恒成立，所以，可得.故选：B3．（2022秋·山东潍坊·高三潍坊一中校考期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；若时，原不等式为，无解，不符合题意；②当时，即，若的解集是空集，则有，解得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选：C． 4．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）已知，且，其中是虚数单位，则等于（    ）A．5B．C．D．1【答案】B【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解.【详解】由得：，即，解得，从而.故选：B5．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知复数满足，且为纯虚数，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可．【详解】解：令，，，则，为纯虚数，则，解得，∴，故选：C．二、多选题6．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ） A．若，则B．的虚部为C．若，则D．【答案】BCD【分析】根据复数的模长公式以及复数虚部等概念即可根据选项逐一求解.【详解】对于A;若，则，但是复数不可以比较大小，故错误，对于B;,所以的虚部为，故正确，对于C;若，则,故，故，正确，对于D;而,进而，故，所以正确，故选：BCD7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ）A．B．若，则C．若，则D．若，则的最大值为【答案】AD【分析】根据复数的模的计算求得，判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;利用向量垂直的坐标表示可得，化简，根据其结果判断C;确定的几何意义是表示圆，利用的几何意义求得其最大值，判断D.【详解】因为，所以，A正确；由题意可知，若，若，则，B错误；若，则，即， 故，即仅当时，，时，，C错误；，故，即，则表示圆上的点到原点的距离，故的最大值为，D正确，故选:.8．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）下列说法正确的是（    ）A．若，则一定有B．若关于的不等式的解集为，则C．若，则的最小值为4D．若，且，则的最小值为0【答案】ACD【分析】对A：利用不等式的性质即可判断；对B：根据二次不等式和二次方程之间的关系，结合韦达定理即可判断；对C：利用基本不等式进行求解，即可判断；对D：利用消元法，结合函数单调性即可求得结果.【详解】对A：因为，则，，又，故，则，故A正确；对B：由题可知，是方程的两根，故，解得，则，故B错误；对C：因为，则，即，解得，当且仅当时取得等号；故的最小值为4，C正确；对D：，且，则，因为，故，即，又都是上的单调减函数， 故也是上的单调减函数，又时，，故，即的最小值为，D正确.故选：ACD.三、填空题9．（河北省张家口市第─中学2023届高三上学期期中数学）若，，则的最小值为.【答案】8【分析】，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：810．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为．【答案】9【分析】由已知，的最小值为0，可得到的关系.由的解集为，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得关系式，两式联立，即可求得的值.【详解】因为函数的值域为，所以的最小值为0，即，则，不等式的解集为，即解集为，则的两个根、分别为、，所以两根之差为， 由韦达定理得，，因为，将代入得，，解得．故答案为：9.11．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）设，且，则的最小值为.【答案】.【分析】设，根据等式化简即可得到,带入，化简即可得出答案.【详解】设.则即化简得：.所以所以当时.故答案为：.四、解答题12．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）已知集合，中.(1)若，求m的值；(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，结合交集的结果并讨论、求参数值，最后验证结果即可；（2）由题设有，列不等式组求参数范围即可.【详解】（1）由题设，，又， 当时，此时，则，显然不符题设；当时，此时，则，满足题设；所以.（2）由题设，当，，可得；当，，可得；所以.