备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题03函数性质的综合应用（十一大题型）（Word版附解析）

专题03函数性质的综合应用定义域问题1．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期11月期中）函数的定义域为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数有意义的条件，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数有意义，则有，解得：且，所以函数的解集为， 故选：B.2．（云南民族大学附属中学2023届高三上学期期中）函数的定义域为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】依题意，直接写不等式，即可求得定义域．【详解】依题意，，解得或，函数的定义域为．故选：．值域问题3．（2022秋·山东·高三山东师范大学附中校考期中）已知函数的值域为，则的定义域可以是．(写出一个符合条件的即可)【答案】（答案不唯一）【分析】利用导数求出函数的单调性，再求出时所对应的自变量，即可求解.【详解】，令可得，所以当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，且，由此可知定义域可以是，故答案为：（答案不唯一）4．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中）已知是奇函数. (1)求a的值；(2)求的值域.【答案】(1)0(2)【分析】（1）根据奇函数的性质，建立方程，可得答案；（2）利用基本不等式，结合奇函数性质，可得答案.【详解】（1）因为，所以又是奇函数，所以，即，则（2）由（1）可知，，，当时，，当且仅当时，等号成立.又是奇函数，所以的值域为单调性问题5．（山西省运城市2023届高三上学期期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A选项：函数的定义域为，且在上单调递增，A选项错误；B选项：函数的定义域为，且在上单调递减，B选项正确；C选项：函数的定义域为，且在上单调递增，C选项错误；D选项：函数的定义域为，且在上单调递增，D选项错误；故选：B. 6．（山西大学附属中学校2022-2023学年高三上学期11月期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据的解析式判断出在上为减函数，从而得，求解即可．【详解】解：因为当时，为减函数，又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数，当时，一次函数单调递减，当时，指数函数，所以将代入得：，又因为在上为单调递减函数，所以，解得：，故选：D．奇偶性问题7．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）已知函数是奇函数，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，由奇函数的定义可得，变形分析可得 ，结合函数的定义域，可得实数a的取值范围.【详解】因为，所以且，由，得，因为函数是奇函数，所以，即，即，得恒成立，①当时，，符合题意；②当时，，不合题意；③当时，，不合题意.所以.所以，即.故答案为：.8．（湖南省常德市桃源县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）若，则的解集是.【答案】【分析】根据题意求得为偶函数，且在上单调递增，结合，把不等式转化为，得到，即可求解.【详解】由函数，可得，所以为偶函数，当时，可得，所以函数在上单调递增，又由，所以不等式等价于，则满足，解得，即不等式的解集为.故答案为：.周期性问题9．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知是定义在R上的偶函数且， 是奇函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合的奇偶性、周期性确定正确答案.【详解】由于是奇函数，图象关于原点对称，所以关于对称，所以，由于是偶函数，所以，所以，所以，所以是周期为的周期函数.，，，所以，所以.故选：B10．（江苏省宿迁市北大附属宿迁实验学校2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列结论正确的有（    ）A．函数的图象关于直线对称B．函数是周期函数C．函数在上单调递增D．函数有最小值【答案】ABD 【分析】根据奇函数和可得，结合函数的对称性即可判断A；根据周期函数的定义即可判断B；利用函数的周期性与单调性即可判断C；根据函数的奇偶性和周期性即可判断D.【详解】A.由题意知，，则，有，所以函数图象关于直线对称，故A正确；B.由，得，所以4是函数的周期，故B正确；C.由选项B可知，为的周期函数，所以函数在上单调递增，即为函数在上单调递增.又函数在上单调递增，由选项A可知函数图象关于直线对称，则函数在上单调递减，所以函数在上不单调，故C错误；D.由选项C的分析可知，在一个周期中，函数在上单调递增，在上单调递减，又为奇函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故D正确.故选：ABD对称性问题11．（安徽省滁州市定远县民族中学2022-2023学年高三上学期11月期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确个数为（    ）①的一个周期为2       ② ③     ④图象关于直线对称A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】由条件证明，由此判断①，④，根据已知条件结合奇函数的性质求，判断②，根据函数的单调性判断③，由此确定正确命题的个数.【详解】因为当时，，所以，因为，所以，所以，因为，所以2不是的周期，①错，因为，所以函数图象不关于直线对称，④错，因为，所以，即，因为函数的定义域为，且为奇函数，所以，所以，所以，②对，因为，所以，又，所以，因为在上的单调递增，又，所以，因为在上单调递增，又，所以，所以，因为当时，，函数在上单调递增，所以，又，所以，③错，所以正确的命题只有②，故选：A.12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）（多选）设函数的定义域为 为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）A．B．为奇函数C．在上为减函数D．方程仅有6个实数解【答案】ABD【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.【详解】A：为偶函数，故，令，得，为奇函数，故，令，得，其中，所以，故A正确；B：因为为奇函数，则,得，又为偶函数，则，得，所以，令得，即，则，即，所以8为函数的一个周期.故，所以，从而为奇函数，故B正确；C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称，所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误；D：作出与的大致图象，如图所示， 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确.故选：ABD.函数图象的识别13．（河北省保定市重点高中2022-2023学年高三上学期11月期中）函数的图像大致为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D；当时，，排除选项A，可得正确结论．【详解】函数定义域为，且，是奇函数，排除选项C和D；当时，，排除选项A；故选：B 14．（2022秋·河南安阳·高三统考期中）函数的图象大致是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.故选：C指对数运算15．（河北省沧衡八校联盟2022-2023学年高三上学期11月期中）设函数若，则.【答案】3【分析】分段讨论求解即可【详解】当时，，所以不满足题意；当时，满足题意； 所以；故答案为：3.16．（2022秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校期中）若，且，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】对等式，取10为底的对数，得，则得到的值，再利用化简得到的值，即可得到答案.【详解】，∴，又，∴，，∴，即.故选：A.定点问题17．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知函数（，且）的图象过定点，若且，，则的最小值为.【答案】9【分析】由恒过定点得出的值，再根据乘1法结合基本不等式求解.【详解】由已知定点坐标为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，故答案为9.18．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）函数过定点． 【答案】【分析】由对数的性质求解即可.【详解】令，则，所以函数过定点.故答案为：.零点问题19．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，不等式化为；当时，不等式化为；求并集即可；（2）画出的图象，方程有三个不同实数根等价于与有三个不同的交点，解不等式即可求解.【详解】（1）当时，由得，，当时，由得或，，综上所述，不等式的解集为；（2）方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象： 由图可知：，得：或所以，实数的取值范围.20．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.【详解】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，；当时，在上单调递增，；由与的图象有三个交点，结合函数图象可得， 故选：A.函数模型的应用21．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（    ）A．B．8C．32D．64【答案】D【分析】根据和的值，求出的值，作比即可得出答案.【详解】因为，所以当鲑鱼静止时，，即，化简得，所以；当，即，化简得，所以，所以..故选:D.22．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（    ）（参考数据）A．20个月B．40个月C．28个月D．32个月【答案】D【分析】根据题意先确定的值，令，求得时间t. 【详解】依题意，解得，故.令，得，即，则.即这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过32个月.故选：D.一、单选题1．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中上学期期中）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A选项：，不是奇函数，故A选项错误；B选项：，不是奇函数，故B选项错误；C选项：因为的定义域为，且，∴是奇函数．设，因为在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性知，在上单调递减，故C选项正确； D选项：，因为在上都单调递增，所以在上单调递增，故D选项错误，故选：C．2．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中上学期期中）设函数的定义域为R，则“是R上的减函数”是“任意，无零点”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分，必要条件的定义，结合函数单调性的性质和零点的定义，即可判断选项.【详解】若是R上的减函数，则a＞0时，成立，即恒成立，所以无零点，充分性成立；若任意，无零点，则函数不一定为减函数，必要性不成立．故选：A．3．（广东省汕头市2023届高三上学期期中）已知，函数，若对，恒有，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据函数图像求出恒成立，再根据函数的最值求得即可.【详解】令，因为，则，由的图像可知或（舍），则等价于在恒成立，由题意在时，，因为，当且仅当时，取等号，所以；因为， 所以的最大值为，的最小值为，所以可得，得.故选：D.    4．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意可得在上单调递增，从而在上恒成立，结合函数的最值即可求解.【详解】不妨设，则等价于，即在上单调递增，也即在上恒成立.由函数的定义域知，，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递减函数，故，∴，∴.故选：A． 5．（山东省济宁市泗水县2022-2023学年高三上学期期中）设函数，若，则的最小值为（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知结合对数的运算性质可得，然后结合乘1法，利用基本不等式可求.【详解】因为数，若所以，即，所以，当且仅当时取等号.故选：A6．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）《中华人民共和国国家综合排放标准》中的一级标准规定企业生产废水中氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L.某企业生产废水中的氨氮含量为225ml/L.现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，为安全起见，要使废水中的氨氮含量不高于国家排放标准值的一半，至少要进行循环的次数为（    ）（参考数据，）A．3B．4C．8D．9【答案】D【分析】根据题意可知过滤次数与废水中的氨氮的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即可．【详解】过滤第一次废水中的氨氮的含量减少，则为；过滤第两次废水中的氨氮的含量减少，则为；过滤第三次废水中的氨氮的含量减少，则为； 过滤第n次废水中的氨氮的含量减少，则为；要求废气中该废水中的氨氮的含量不能超过7.5ml/L，则，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，，所以，所以，又，所以，故排放前需要过滤的次数至少为9次．故选：D．二、多选题7．（2022秋·河北沧州·高三统考期末）已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（    ）A．若，则为奇函数B．若，则为偶函数C．若具备奇偶性，则或D．若在上单调递增，则a的取值范围为【答案】BCD【分析】根据奇偶函数的性质依次判断ABC选项，根据，结合复合函数单调性得在上单调递增，再根据导数求解即可.【详解】若，，则，解得，故的定义域为，不关于原点对称，即A错误；若，，定义域为，满足 ，故为偶函数，即B正确；当时，由B可知为偶函数，当时，易知为奇函数，即C正确；由题知，，若在上单调递增，则函数在上单调递增，则在恒成立，即在恒成立，解得，即D正确.故选：BCD8．（山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高三上学期期中）已知函数的定义域均为R，，且当时，，则（    ）A．B．C．函数在上单调递减D．方程有且只有1个实根【答案】ACD【分析】由题设中的三个关系式可得、、、，再利用赋值法可判断AB的正确，最后再结合时可得的图象，从而可判断CD的正误.【详解】对AB，由可得，故，所以，所以，故B错误.故，故，故为周期函数，且周期为， 而可得，故，令可得，所以，故A正确；对C，由可得故，即，由可得，即，故为奇函数且为周期函数且周期为.根据上述性质可得的图象如下，故在上单调递减，所以C正确；对D，又即为，此方程即为的解.结合的图象可得该方程只有1个解即为，所以D正确．故选：ACD．9．（2022·浙江宁波·高三统考）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式进行逐一判断即可.【详解】令、，则、，在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像， 因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，解方程组，因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，则，，所以，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC【点睛】关键点睛：对于零点关系问题，往往把函数零点转化方程的根，再转化为新函数的交点横坐标关系问题，另外本题要注意函数与函数是反函数，故两个交点A、B关于点中心对称.三、填空题10．（福建省石狮市永宁中学2023届高三上学期期中）若定义在上的函数，对任意，都有，则称为“函数”．现给出下列函数，其中是“函数”的有．（填出所有正确答案的序号）①；②；③；④． 【答案】②④【分析】先利用“函数”的定义分析得“函数”的性质，再对所给函数一一分析即可.【详解】根据题意，对任意，都有恒成立，则有，即，当时，，则，即，所以若函数为“函数”，则函数在上为增函数或常数函数；①，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在单调递增，故其不是“函数”，①错误；②，易得在上单调递增，满足“函数”定义，故②正确；③，的定义域为，不满足“函数”的定义，故③错误；④，因为，当时，为常数函数；当时，单调递增；显然满足“函数”的定义，故④正确；故答案为：②④.11．（河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校2023届高三上学期期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】先根据奇函数求得，令，参变分离整理得，根据恒成立问题结合函数单调性运算求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，当，则，可得，所以符合题意. 当时，恒成立，设，则，，可得，整理得，因为函数在上单调递增，当时，函数取到最大值0，则，所以实数的取值范围为.故答案为：.12．（河北省石家庄市第十七中学2023届高三上学期期中）已知，函数，若存在不相等的三个实数，使得，则实数的取值范围是.【答案】【分析】对分别讨论，的情况，则原命题等价为方程在上有两个不等根，参变分离后等价与在上有两个不同交点，由数形结合结合基本不等式讨论的值域即可.【详解】当时，令，解得，所以只需方程在上有两个不等根即可，整理得，有两个根．只需与在上有两个不同交点即可．所以且，所以实数的取值范围是．故答案为：. 四、解答题13．（广东省梅州市东山中学2023届高三上学期期中）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上．(1)若，求的值(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得出后解方程；（2）题意为不等式恒成立，转化为最值，讨论二次函数对称轴和区间的位置关系求解．【详解】（1），当时，，则函数图像恒过定点，又在函数图像上，则，得由，则，令，则，即，，，，即，得；（2），则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，函数的对称轴为， ，即，在区间上单调递增，，则，又，；，即，函数在上单调递减，在区间上单调递增，则，则，又，所以无解；，即，在区间上单调递减，，即，又，无解综上所述，实数的取值范围为．