备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题06函数与导数压轴大题（十大题型）（Word版附解析）

专题06函数与导数压轴大题含参讨论单调性1．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）已知函数R.(1)讨论的单调性；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，分为和两种情况分别研究导函数的正负，即可求得的单调性；（2）构造函数，利用二次求导判断的单调性,求出m的取值范围，然后利用零点存在定理证明时，不等式恒不成立.【详解】（1）函数的定义域为R, ，当时，由，在R上单调递增，当时，令，可得，令，可得，∴单调递减区间为，单调递增区间为，∴当时，在R上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）设，则，（i）当时，，令，则，令，则，∴在区间上单调递增，则，∴在区间上单调递增，则，∴，∴在区间上单调递增，则恒成立，（ii）若时，则，，∴，使得，∴在区间上单调递减，则，与条件矛盾，综上所述，实数m的取值范围为.2．（重庆市第一中学校2023届高三上学期期中）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：函数在上有两个零点．【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求导令，得或，分三种情况：当时，当时，当时，分析的符号，单调性，即可得出答案；（2）根据题意可得当时，，求导分析单调性，极值，即可得出答案.【详解】（1）的定义域为，令，得或，当时，在上恒成立，单调递增，当时，在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，当时，在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2），当时，，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又时，，，所以存在，使得，即所以在上，单调递减，在上 单调递增，所以，当且仅当，即时，取等号，因为，所以，由，，所以在上存在的两个零点，得证.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.3．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三上学期期中）已知函数.(1)若函数，讨论函数的单调性；(2)证明：当时，.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.（2）转化要证明的不等式，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.【详解】（1），，当时，在区间上，，单调递增，当时，若，即时， 在区间上，，单调递增，若，即时，函数的开口向上，对称轴，令，即，解得，而，所以是两个正根，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减.综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）要证明：当时，，即证明：当时，，即证明：当时，，构造函数，，函数在上为减函数，，所以存在，使，所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，， 即，所以当时，，所以当时，.【点睛】利用导数研究含参数的函数的单调性，在求得导函数后，要对参数进行分类讨论，在分类讨论的时候，要注意做到不重不漏，分类讨论的标准可根据导函数的形式，考虑定义域、一元二次方程的根、判别式等方面来制定.二次导4．（湖北省七市(州)教研协作体2023届高三上学期期中）已知函数.(1)当时，证明：；(2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)函数在定义域内不是单调函数，理由见解析【分析】（1）首先不等式变形为，再构造函数，利用导数判断函数的最小值，即可证明不等式；（2）首先求函数的导数，并设，利用导数判断判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，即可判断.【详解】（1）证明：函数的定义域是，当时，，欲证，即证，即证.令，则，当变化时，，的变化情况如下表：1+0- ↗极大值↘∴函数的最大值为，故.∴（2）函数在定义域内不是单调函数理由如下：，令，则，∴在上单调递减.注意到，且，∴存在，使得，当时，，从而，∴函数在上单调递增；当时，，从而，∴函数在上单调递减.故函数在定义域内不是单调函数5．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，证明：对任意的，；(3)讨论函数在上零点的个数.【答案】(1)的增区间是，减区间是(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）代入，求出导函数，根据导函数，即可得出函数的单调区间；（2）代入，求出导函数.构造函数二次求导，即可推得在单调递增，根据，即可得出的单调性，进而得出证明；（3）易知，当时，，所以没有零点；当时，求出导函数，构造函数，二次求导可得出的单调性.进而结合特殊点的导数值，结合零点存在定理，即可得出的单调性.然后根据端点处的函数值，即可得出函数零点的个数. 【详解】（1）当时，，.当，，所以在上单调递增；当，，所以在上单调递减.所以的增区间是，减区间是.（2）当时，，则.设，则.由（1）知时，所以，所以，，即在单调递增，所以，所以在单调递增，所以.（3）当时，，，所以.由（2）知，此时，所以没有零点.若时，的导函数.令，则.令，则.①当时，在上恒成立，所以，即在上单调递增.又，，所以在上存在唯一零点，记作. 则当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.②当时，，所以在上恒成立，所以在上单调递增.综合①②，可得当时，单调递减；当时，单调递增.又因为，所以，当时，，；又，所以存在唯一实数，使得.所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.又因为，所以时，，所以在上没有零点.由（1）知时，，则.又，在上单调递增，所以在上存在唯一零点.所以，在上存在唯一零点.综上，当时，在上无零点；当时，在上存在唯一零点.【点睛】关键点睛：构造函数，结合零点存在定理得出导函数的单调性，进而得出函数的单调性.6．（2022秋·辽宁大连·高三期中统考）已知函数．(1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)函数在区间上只有一个极值点和一个零点，证明见解析(2)实数的取值范围是【分析】（1）首先求函数的导数，并利用二阶导数判断导数的单调性，并结合零点存在性定理证明极值点个数，并结合函数单调性，以及端点值判断函数零点个数； （2）首先由不等式构造函数，，并求函数的导数，根据，以及，分，，三种情况讨论不等式恒成立的条件.【详解】（1）函数在区间上只有一个极值点和一个零点，证明如下，，设，，当时，，所以单调递减，又，，所以存在唯一的，使得，所以当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以是的一个极大值点，因为，，，所以在无零点，在上有唯一零点，所以函数在区间上只有一个极值点和一个零点；（2）由，得，令，，则，，，①若，则，当时，，令，则，当时，，所以在上单调递减，又，所以，所以，即 又，所以，即当时，恒成立，②若，因为当时，单调递减，且，，所以存在唯一的，使得，当时，，在上单调递增，不满足恒成立，③若，因为不满足恒成立，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数零点，不等式恒成立问题，本题第一问需要求函数的二阶导数，利用二阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，第二问的关键是这个条件，再根据，讨论的取值.已知零点个数问题7．（重庆市第八中学2023届高三上学期期中）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的零点个数．【答案】(1)极小值，无极大值.(2)当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.【分析】（1）根据题意得出，然后分别令以及，通过计算即可得出函数的单调性，进而求出结果； （2）可将转化为，记，求出函数的单调性以及最值，最后根据函数的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果.【详解】（1）当时，，，令，则；令，则；故函数的单调递增区间是，单调递减区间为；当时，函数取极小值，无极大值.（2）令，因为，所以，记，有，令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减，从而，因此当时，直线与的图像没有交点；当或时，直线与的图像有1个交点；当时，直线与的图像有2个交点.综上：当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.8．（江苏省扬州大学附中2023届高三上学期期中）已知函数.(1)求函数的最值；(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)最大值，无最小值(2)当时，函数没有零点，当或时，函数只有1个零点，当时，函数有两个零点. 【分析】（1）求出导函数，令，得到函数的函数值符号区间即可得到的单调区间，从而求解最值；（2）把函数零点问题转化为方程解的个数问题，构造函数，求导得单调区间，数形结合即可求解.【详解】（1）由函数，，得，令，则恒成立，所以在上单调递减，且，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即当时，取得最大值，无最小值；（2）函数的零点个数就是方程的解的个数，整理得，令，，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，恒大于0且趋近于0，作出函数图象如图：  由图知，当时，函数没有零点，当或时，函数只有1个零点，当时，函数有两个零点. 讨论零点个数9．（2022秋·山东枣庄·高三枣庄市第三中学期中考试）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点（其中），求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解；（2）根据题意分析可得原题意等价于有两个不等的实根，构建，利用导数判断的单调性与最值，进而可得结果.【详解】（1）由，则，所以，即切点坐标为，切线斜率，故切线方程为，即.（2）由题意有两个不等的正根，等价于有两个不等的实根，设，则，设，则在为增函数，且，所以存在唯一的，使，得①，当时，，即，所以在内单调递减；当时，，即，所以在内单调递增；所以，代入①式得，当趋向于0或时，趋向，   若函数有两个零点，即函数有两个零点，可得，所以实数的取值范围.10．（2022秋·山东济宁·高三期中统考）已知函数．(1)若是函数的极值点，求的值；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性、极值.（2）利用导数研究函数的单调性、图象，根据函数有两个零点求解.【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以，若是函数的极值点，则，所以．当时，若则，函数在上单调递增，若则，函数在上单调递减，所以是函数的极小值点，此时.（2）由（1）知，若，则，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减， 所以是函数的极小值点，，当时，，当时，，所以若函数有两个零点，则仅需，所以．隐零点问题11．（江苏省南通市如皋市2023届高三上学期期中）已知函数，，其中a，b，c为非零实数.(1)判断函数是否存在极值点；(2)若恒成立，证明：，且.（其中为自然对数的底数）【答案】(1)存在(2)证明见解析【分析】(1)先求函数的导数，再根据导函数的单调性得到一个“隐零点”，从而可以求解问题；(2)由（1）可以得到函数变化趋势及零点，再根据恒成立，可知函数的图象是开口向上的抛物线，且1，e也是函数的两个零点，从而可求解.【详解】（1）的定义域为，且，易知在区间上单调递减，且，，所以存在，使得，当时，，所以在区间上单调递增；当时，，所以在区间上单调递减. 所以函数存在一个极值点，且为极大值点.（2）证明：由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为，即，得，所以.又，，，，所以有两个零点，分别为1，e，且当时，；当时，；当时，.因为恒成立，所以的图象是开口向上的抛物线，且1，e也是函数的两个零点，即1，e是方程的两根.所以，且，即.【关键点点睛】求解本题的关键一是“隐零点”的运用，二是对函数单调性及零点的运用.12．（山东省桓台第二中学2023届高三上学期期中）已知．(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求整数a的最小值．【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)2【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论.（2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解.【详解】（1）的定义域为，（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；（ⅱ）当时，令，令， ∴当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由，可得：，∵，∴原命题等价于对恒成立．令，∴，令，∴，∴在上单调递增．又，故存在唯一的，使得．当时，，∴，∴在上单调递增，当时，，∴，∴在上单调递减．∴，∴时，恒成立．∴，又，∴a的最小整数值为2．【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决.第一步设出隐零点，然后代入得到等式，第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值第三步极值分离出代入，化简成新的表达式第四步求的最值.不等式恒成立问题 13．（山东省济南市实验中学2022-2023学年高三上学期期中）已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；(2)当时，对任意的，恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据斜率相等，求导即可得切点处导数值，解出a；（2）求导，利用导数求解单调性，结合零点存在性定理，即可求解最值得解.【详解】（1）由题意可得，  则，解得.    故.（2）当时，.设，则，故在上单调递增.     因为，，所以存在唯一的，使得，即，    当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故.     设，则，     所以在上单调递减，所以，即，即.    因为对任意的，恒成立，且k为整数，所以，则.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．14．（山东省济南市市中区实验中学西校区2022-2023年高三上学期期中）已知函数，.(1)当时，求在处的切线方程；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得，得出函数的单调区间和最小值为，结合题意，，即可求解.【详解】（1）解：当时，，可得，则且，所以在处的切线方程为，即.（2）解：因为，可得，令，可得或，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为当时，恒成立，所以，解得，又因为，所以，所以实数的取值范围为.15．（湖北省华中师范大学第一附属中学2023届高三上学期期中）已知函数在处的切线与直线：垂直．(1)求的单调区间；(2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为．(2)1【分析】（1）利用导数的几何意义得出，再利用导数判断单调区间即可；（2）分离参数将问题转化为恒成立，利用导数求最值结合隐零点计算即可.【详解】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．所以，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）对任意实数，恒成立，即对任意实数恒成立．设，即．，令，所以恒成立，所以在上单调递增．又，，所以存在，使得，即，所以． 当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，当时，，所以，由题意知且所以，即整数的最大值为1．不等式能成立问题16．（2022秋·山东烟台·高三统考期中）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，，使得．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与两种情况即可得解；（2）结合（1）中结论，将问题转化为恒成立，从而构造函数，利用导数求得即可得证.【详解】（1）因为，则，当时，，函数在上单调递减；当时，当时，单调递减，时，单调递增；综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，若，使得，只需，即恒成立即可，令，则，当时，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，所以，使得.17．（湖北省孝感高级中学2023届高三上学期期中）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.（2）变形不等式，构造函数，利用导数探讨恒成立的k的范围作答.【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2），因为存在，使得当时，恒有成立，则存在，使得当时，，令，即有，恒成立，求导得，令，，因此函数，即函数在上单调递增，而，当，即时，，函数在上单调递增， ，成立，从而，当时，，，则存在，使得，当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，所以的取值范围是.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.双变量问题18．（湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，且这两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导，然后分，，，讨论研究单调性；（2）由（1）两个极值点分别是1和，不妨设，，代入，然后转化为最值问题求解即可.【详解】（1）由题意可知的定义域为，.当时，由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增.当时，由，得或；由，得.则在和上单调递增，在上单调递减.当时，恒成立，则在上单调递增.当时，由，得或；由，得. 则在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知或，且两个极值点分别是1和，不妨设，，则，，故恒成立，即恒成立.当时，，则，因为，所以，则；当时，，则，因为，所以，则.综上，.19．（2022秋·福建福州·高三福建省福州高级中学上学期期中考试）已知函数.且函数有两个零点，(1)求实数a的取值范围；(2)设的两个零点，且，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)先利用导数分析函数单调性，分，两种情况，结合边界、极值正负分析即得解；(2)利用零点的意义建立关系式，再对所证不等式等价变形，然后构造函数，利用导数探讨函数单调性推理作答.【详解】（1）函数的定义域为，对函数求导得，当时，，函数在上单调递增，至多有一个零点，不成立； 当时，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，故若函数有两个零点，则极大值，解得：.故实数a的取值范围是.（2）由(1)可知，因是函数的两个零点，则，即，，要证，两边同时取自然对数，只需证明，只需证明，即证，只需证，即证，令，而，则，只需证明，令函数，，求导得：令函数，，求导得，则函数在上单调递增，于是有，因此，函数在上单调递减，则，即成立，所以原不等式得证.【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理. 极值点偏移问题20．（湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期期中）已知函数(1)求函数单调区间；(2)设函数，若是函数的两个零点，①求的取值范围；②求证：．【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为(2)①；②证明见解析【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间；（2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果；②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论.【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；由（1）知：，又，在的图象如下图所示， 由图象可知：，，即的取值范围为.②不妨设，由①知：，，，在上单调递增，在上单调递减；设，则，在上单调递减，，，又，，又，；，，在上单调递增，，则.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.21．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知，其极小值为-4.(1)求的值； (2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】（1）求导，分、和三种情况求的极小值，列方程求解即可；（2）构造函数，根据的单调性和得到，再结合和的单调性即可得到；设，通过比较和的大小关系得到，，再结合即可得到.【详解】（1）因为，所以.当时，，所以单调递增，没有极值，舍去.当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为，舍去当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为.所以.（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增， 所以不妨设.下面先证.即证，因为，所以，又因为区间上，单调递减，只要证，又因为，只要证，只要证.设，则，所以单调递增，所以，所以.下面证.设，因为，在区间上，；在区间上，.设，，因为，所以，所以.设，，因为，所以，所以.因为，所以，所以.【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：①构造，②确定的单调性， ③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，④利用的单调性即可得到或.22．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学上学期期中）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.【答案】(1)(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可；（2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】（1），该方程有两个不等实根，由，所以直线与函数的图象有两个不同交点，由，当时，单调递减，当时，单调递增，因此，当时，，当，，如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，，因此函数单调递减，所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.不等式的证明23．（辽宁省大连育明高级中学2023届高三上学期期中）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.【答案】(1)0；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的最小值作答.（2）等价变形不等式，构造函数，并求出其最大值，再结合（1）推理作答.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，显然函数在上单调递增，且，由，得，由，得，即在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为0.（2）不等式，由（1）知，当时，恒成立，即恒成立，令，求导得，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减，即，当且仅当时取等号，于是，所以.24．（辽宁省沈阳市四校2023届高三上学期期中）已知函数有两个极值点，.(1)求的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导，将问题转化为在上有两个实数根，，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合，代入化简式子，将问题转化为，利用导数即可求解.【详解】（1）,有两个极值点，，则在上有两个实数根，，所以在上有两个实数根，，则解得，故的取值范围为， （2）由（1）知，且，，令，，令在上恒成立，所以在单调递减，故，因此在单调递减，故，故，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.1．（重庆市杨家坪中学2023届高三上学期期中）已知函数.(1)证明：.(2)若函数，若存在使，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）构造，求导后判断函数最大值，得到，即得证； （2）根据题意判断，，将原题转化为证明，构造函数后求导证明即可.【详解】（1）令，，，令，解得：；令，解得：，∴在递增，在递减，则，∴恒成立，即.（2）∵，，∴，令，解得：；令，解得：；∴在递增，在递减.又∵，，，，且，.要证，即证.∵，∴，又∵，∴只证即可.令，，恒成立，∴在单调递增.又∵，∴，∴，即，∴.【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断，，再转化为证明，根据的单调性可以将其转化为证明 ，构造函数后利用导数证明不等式即可.2．（湖北省鄂西北四校联考2022-2023学年高三上学期期中）已知.(1)讨论函数在上的单调性；(2)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求得，令可得，分和，两种情况讨论，即可求解；（2）把不等式的恒成立转化为在恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合，即可求解.【详解】（1）解：因为，则，令，可得，①当时，对任意的，，此时函数的减区间为；②当时，令可得，令可得，此时函数的减区间为，增区间为，综上所述，当时，函数的减区间为；当时，函数的减区间为，增区间为.（2）解：因为，可得，由对一切实数，不等式恒成立，即恒成立，可得，即在恒成立，令，其中，则， 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，则，解得，所以a的取值范围为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．3．（湖北省十堰市竹溪县第一高级中学2023届高三上学期期中）已知函数．(1)求在点处的切线方程；(2)求证：；(3)若函数无零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用导数的几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）利用导数法求函数的最大值的步骤即可求解；（3）根据（2）的结论及利用导数法求函数的最值，结合函数的零点的定义即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以在点处的切线的斜率为，故在点处的切线方程为，即. （2）依题意知，函数的定义域为，，令，则，解得；令，则，解得或；所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，所以.（3）依题意得，，当时，，在定义域上无零点；满足题意.当时，，所以，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，因为无零点,所以，解得；当时，因为，所以，即，所以在定义域上无零点；满足题意.综上所述，实数a的取值范围4．（湖北省随州市广水市实验高级中学等2023届高三上学期期中）设函数，． (1)曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；(2)讨论函数的单调性；(3)证明：若，则对任意，，，有．【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，求得切线斜率，令斜率等于，解方程可得的值；（2）根据对数函数定义域为大于的数，求出讨论与的大小关系，分别求得函数的单调区间；（3）构造函数，求出导数，根据的取值范围得到导函数一定大于零，则可判断函数为单调递增函数，利用当时有即可得证.【详解】（1）函数的导数为，在点处的切线斜率为，解得；（2）的定义域为，，若即，则，故在单调递增．若，而，故，则当时，；当及时，故在单调递减，在和单调递增．若，即，同理可得在单调递减，在和单调递增．（3）欲证成立，即证明，设函数则， 由于，故，即在单调增加，从而当时有，即，故成立．5．（山东省日照市2022-2023学年高三上学期期中）已知函数，（其中）.(1)若，求函数的单调区间；(2)若对于任意，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)的递增区间为，递减区间为(2)【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间；（2）由，得，则于，则转化为，构造函数，利用导数求出其最大值即可.【详解】（1）当时，，定义域为，，当时，，当时，，所以的递增区间为，递减区间为（2）由，得，当时，，所以，令，则，所以在上递增，所以，所以，得，即的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2 ）问解题的关键是分离参数，再构造函数，然后利用导数求函数的最值即可，考查数学转化思想，属于中档题.6．（2022秋·湖南长沙·高三宁乡一中期中）已知函数．(1)证明函数有唯一极小值点；(2)若，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，利用求根公式，判断函数的单调区间，再证明函数存在极小值点；（2）首先不等式整理为，再构造函数，，利用导数求函数的最值，即和，即可证明不等式.【详解】（1）函数的定义域为，．对于方程，．解方程，可得，，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以函数有唯一极小值点．（2）要证明，即证，即证，即证．令，其中，则，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增． 所以．构造函数，其中，，则．当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．所以，则，所以．故原不等式得证．7．（河北省沧州市沧县中学2023届高三上学期期中）已知函数在处有极值0.(1)讨论函数在上的单调性；(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0，则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.【详解】（1）由可得，因为在处有极值0，所以，即，解得或，当时，，函数在上单调递增，不满足在时有极值，故舍去所以常数的值分别为， 所以，，令，解得，当或时，当时，，所以，函数的在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）可知，，的单调递增区间是和，单调递减区间为，当时，有极大值，当时，有极小值，要使函数有三个零点，则须满足，解得.8．（河北省安平中学2023届高三上学期期中）已知函数．(1)若存在使得成立，求a的取值范围；(2)设函数有两个极值点，且，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.【详解】（1）由于，故转化为． 设，则.设，则.由于，解，解得.解可得，，所以在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.故在处有极小值，也是最小值.所以故在上总成立，所以为单调增函数.又存在使得成立，只需即可，所以，即a的取值范围是．（2）由已知可得，定义域为，且.由已知有两个极值点，所以方程有两个相异根，则，且，，，所以，.所以，，所以.令，则，设.则，所以在为减函数，所以. 即．【点睛】方法点睛：小问1中，根据，分离参数得到.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围.9．（河北省衡水市深州长江中学2023届高三上学期期中）已知函数，.(1)若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)当时，求在上的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得：即可求解.（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.【详解】（1）由已知可得：恒成立，即恒成立，又的最小值为-2，所以，则有.（2）当时，，所以，令，在上单调递减，又因为，，所以存在使得，即，从而则有x正负 递增递减则有最大值为：，所以，则在上单调递减，所以最小值为.10．（2022秋·河北邢台·高三河北南宫中学校期中考试）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)单调性见解析(2)【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到单调性；（2）当时，可知恒成立，知不合题意；当时，取，，通过放缩可得，符合题意；当时，将不等式转化为，根据单调性可分别求得和，由此可构造不等式求得结果；综合三种情况可得的取值范围.【详解】（1）由题意知：的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令有，故当，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，；，；恒成立，不合题意；当时，取，，则，符合题意；当时，若，，使得，则；由（1）知：；，，在上单调递增，，，即，，解得：；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．11．（广东省江门市新会区新会陈经纶中学2022-2023学年高三上学期期中）已知函数（，且）.(1)讨论的值，求函数的单调区间； (2)求证：当时，.【答案】(1)见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数导数，分分类讨论即可得解；（2）当时利用函数单调性可得，放缩可得，根据裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）由知函数定义域为，，①当时，若，则，若，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；②当时，若，则，若，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）令，则，所以，由（1）可知在上单调递减，故，（当时取等号)，所以，即，当时，，即，即令，则，所以，故当时，.【点睛】关键点点睛：时，利用函数单调性得出，当时，放缩得出，变形得出是解题的关键，再由裂项相消法及不等式的性质即可得解.12．（广东省广州市协和中学2023届高三上学期期中）已知函数，.(1)若，讨论函数的单调性； (2)证明：当时，函数的图象在函数的图象的下方.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，分，，确定导数的符号，从而确定单调区间；（2）令，求导后，借助隐零点，从而求得最小值即可证明.【详解】（1），定义域为，所以，当单调递增，当，令，其对称轴为，最小值为，若，即时，单调递增，若令，可得，由于，故与均大于0，所以或时，，单调递增，时，，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）令，其定义域为，，由于与均为递增函数，所以在上单调递增，且，， 所以令，即，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增,最小值为，，，因为，所以，当且仅当时，等号成立.，.函数的图象在图象的下方.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．13．（山东省菏泽市一中系列学校2022-2023学年高三上学期期中）已知函数．(1)讨论函数的极值情况；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到函数单调性和极值情况；（2）转化为证明，构造，二次求导，结合隐零点和基本不等式证明出结论.【详解】（1）函数，定义域为，①当时，，单调递增，没有极值； ②当时，由，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，无极大值综上讨论得：①当时，无极值；②当时，有极小值，无极大值．（2）当时，要证，即证，只需证；令，则，令，则，∴在单调递增，而，，故方程有唯一解，即，∴，则，∴，且时，，在单调递减；时，，在单调递增；∴，∴，故当时，.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.