备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题07三角函数与解三角形（十四大题型）（Word版附解析）

专题07三角函数与解三角形给值求值型问题1．（江苏省常州市横林高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知，则tan＝（    ）A．－7B．－C．D．【答案】B【分析】由，解出与，得，再求.【详解】由，切化弦得，∴，由且，解得，，∴， ∴.故选：B2．（江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高三上学期期中）若，则的值（　　）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用诱导公式将，转化为，再利用余弦的二倍角公式可求得结果.【详解】由，得，即，所以，故选：A给值求角型问题3．（山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知，，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.【详解】因为，则，因为，则，可得，因为，则，，所以，，， 所以，，所以，.故选：A.4．（福建省莆田第一中学2023届高三上学期期中）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知，___________，.（1）求；（2）求.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）由可得，，若选①，则结合可求出的值，若选②，则利用二倍角公式化简计算可得的值，从而可求得的值，若选③，则利用正切的二倍角公式可求出，再结合可求出的值，然后利用两角和的正弦公式可求得结果，（2）先由已知条件求出，再由求出的值，而，利用两角差的正弦公式可求得结果【详解】（1）∵，∴，，若选①，由得，；若选②，则，∵，∴，则； 若选③，则，则由得，则，；∴（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴.三角函数的性质5．（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用余弦函数图象的对称性求解.【详解】由已知得，Z,  解得，Z,所以当时，的最小值为，故选：.6．（2022秋·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中）（多选）如图所示，B､D为函数的图象与正六边形的两个公共点（点在轴上），正六边形与轴的一个交点为的图象与轴的交点为 ，其中正六边形关于坐标轴对称，且边长为，则下列结论中正确的是（    ）  A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数的单调增区间为D．【答案】CD【分析】求出点的坐标，可求出函数的最小正周期，可判断A的正误；利用图中信息求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断B的正误，利用正弦型函数的单调性可判断C的正误；求出点、、的坐标，可判断D的正误.【详解】由于正六边形的边长为，易知点，所以，函数的最小正周期为，故A错误；由题意可知，，由A可知，，则，且函数在附近单调递增，所以，，可得，，所以，，故，，故B错误； 由，解得，因此，函数的单调增区间为，，故C正确；，设点，因为点为函数在轴右侧第一个最高点，可知，可得.易知点、、，所以，，故D正确.故选：CD7．（海南省琼海市嘉积中学2023届高三上学期期中）若，且，，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解，，再求解交集即可.【详解】由，可得或；由，可得．综上，的取值范围是．故选：B.8．（湖北省荆州中学20183届高三上学期期中）（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（    ）A．的最小正周期为B．在上单调递增C．的图象关于直线对称D．的值域为【答案】BD【分析】通过周期函数的定义求出的最小正周期即可判断A，对B选项设，利用复合 函数单调性的判定方法即可判断，对C举一组反例即可判断，对D，通过换元法，分类讨论并结合二次函数值域即可得到函数的值域.【详解】因为,故A错误，当时,令,，即而函数在上单调递减,在上单调递减,因此,在上单调递增,故B正确，因为,即图象上的点关于直线对称点不在的图象上,故C不正确，当时，令,则，此时，即，当时，令,，则，则，即，综上，的值城为.故选：BD. 由图象确定三角函数解析式9．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A．B．C．在区间上单调递增D．图象的对称中心为【答案】C【分析】确定，根据周期得到，代入点计算，得到，A错误，通过平移法则得到，B错误，确定，C正确，对称中心为，D错误，得到答案.【详解】由函数图象可知，，设的最小正周期为，则，故，所以，，所以，故，所以，又，所以，故， 对选项A：，错误；对选项B：，B错误；对选项C：当时，，由于在上递增，故在区间上单调递增，正确；对选项D：令，所以，即图象的对称中心为，错误.故选：C.10．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第四十中学校联考期中）（多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（    ）A．该函数的解析式为B．该函数图像的对称中心为，C．该函数的增区间是，D．把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像【答案】ACD【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.【详解】由题图可知，，周期，所以，则， 因为当时，，即，所以，，即，，又，故，从而，故A正确；令，，得，，故B错误；令，，得，，故C正确；函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到，故D正确．故选:ACD三角函数的图象变换11．（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】，周期，函数的图像向右平移个周期后，得函数的图像， 而，由题意，，令，得，故A错误；令，得，故B错误；令，得，故C正确；令，得，故D错误.故选：C.12．（福建省诏安县桥东中学2023届高三上学期期中）已知函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式及对称中心；(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间.【答案】(1)，对称中心为，(2)【分析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.(2)由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论. 【详解】（1）根据函数的部分图像，可得，，．再根据五点法作图，，，故有．根据图像可得，是的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为，.（2）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，再向右平移个单位，得到的图像，即，令，，解得，，可得的减区间为，，结合，可得在上的单调递减区间为．利用正弦余弦定理进行解三角形13．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知的内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，，，则外接圆半径为．【答案】/2.5【分析】利用二倍角的余弦公式化简已知，结合，可求的值，然后利用正弦定理即可求出外接圆的半径【详解】由得，又所以，.则由正弦定理可得外接圆半径. 故答案为：.14．（湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2023届高三上学期期中）在△ABC中，c＝2，C＝30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：(1)a的值；(2)△ABC的面积．条件①：；条件②：A＝45°；条件③：．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】选择条件①，（1）由已知结合余弦定理求解a值；（2）由（1）可知，判断三角形为直角三角形，再由三角形面积公式求解；选择条件②，（1）由已知利用正弦定理求a值；（2）在△ABC中，求出sinB，再由三角形面积公式求解；选择条件③，由正弦定理判断三角形不唯一，不合题意．【详解】（1）选择条件①：．在△ABC中，c＝2，C＝30°．∵，，根据余弦定理：，得，整理得a2＝16，由于a＞0，∴a＝4．选择条件②：A＝45°．在△ABC中，∵A＝45°，c＝2，C＝30°，根据正弦定理：， 得；选择条件③：，由，得，此时B＝60°或B＝120°，三角形不唯一，不合题意．（2）若选择条件①，由（1）可知，∵a＝4，c＝2，∴a2＝b2+c2，∴A＝90°．因此，△ABC是直角三角形．∴；若选择条件②，在△ABC中，∵．∴，∴；判断三角形的形状15．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中）在中，若，则的形状为（    ）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据二倍角公式以及正余弦定理边角互化即可求解.【详解】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，由余弦定理边角互化可得：，化简得，因此或，故为直角三角形， 故选：B16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）（多选）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（    ）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】CD【分析】由已知及余弦定理可得，又，可解得，又，由正弦定理，余弦定理解得，整理解得，可得的形状.【详解】由余弦定理可得：，.又，由正弦定理可得：，根据余弦定理，整理可得：，即有，结合，从而可知三角形为钝角等腰三角形.故选：CD.利用正余弦定理进行边角互化17．（湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2022-2023学年高三上学期期中）在锐角中，角所对的边分别为.已知(1)求角的大小；(2)若，求的面积.【答案】(1) (2)【分析】（1）根据正弦定理可得，即，即可求解；（2）利用正弦定理可得，根据两角和的正弦公式可得结合三角形面积计算公式即可求解．【详解】（1），由正弦定理，得，又A为锐角，则，所以.又B为锐角，则.（2），由(1)知，则，得，又，所以，所以的面积.18．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足.(1)证明：a，b，c成等比数列；(2)若且，的面积为，求的周长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角函数的恒等变换展开整理，再用正弦定理的边角互化得出等比中项的关系式即可证明；（2）根据（1）结论结合余弦定理解出角B余弦值和正弦值，再根据三角形的面积公式算出边b，代入题中式子用完全平方公式得出，最后求出的周长.【详解】（1） 根据等比数列中等比中项定义可知a，b，c成等比数列，证毕（2）根据余弦定理可知则，根据三角形面积公式：得得，故的周长为：19．（湖北省荆门市龙泉中学2023届高三上学期期中）已知①，②，③，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：(1)求角A的大小；(2)已知_________，_________，且存在，求的面积．【答案】(1)A=(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理将已知式子中的正弦转化为相应的边，后利用余弦定理可得答案.（2）若选择①②，可求出C，后可发现，则相应三角形不存在.若选择①③，利用余弦定理结合，可得到b和c.后利用可得答案.若选择②③，利用正弦定理结合，可得到b.后利用余弦定理得到c，最后利用得到答案.【详解】（1）由正弦定理，，即，得，又A在三角形中，则A= （2）若选择①②，因，A=，则.由正弦定理，则，故符合条件的三角形不存在.若选择①③，由余弦定理有，又，A=，则，解得，则.则，即面积为.若选择②③，由正弦定理有，则，又，，A=.则，得.又，A=，则.则，即面积为.解三角形的实际应用20．（福建省宁德市高级中学2023届高三上学期期中）如图，礼堂外立面装修，设A，B两点在礼堂外立面的上下两端，测量者在A的同侧底沿边选定一点C,测出AC的距离为10m，，，就可以计算出BC两点的距离为（    ）A．B．C．D． 【答案】B【分析】分析：先根据三角形的内角和求出，再根据正弦定理即可求解.【详解】解：∵中，，，∴，又∵中，，∴由正弦定理可得：，则.故选：B.21．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则.【答案】/【分析】首先得到，然后在中，由余弦定理得求出，可求出，即可求出.【详解】  如图，O为楼脚，OP为楼高，则，，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以又因为，所以在中，，所以，故.，所以，所以. 故答案为：.利用基本不等式求最值（范围）22．（江苏省镇江中学2022-2023学年高三上学期期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且内切圆面积为，则周长的最小值是．【答案】【分析】由，利用三角形内角和定理、诱导公式、倍角公式即可得出．设内切圆的半径为．由内切圆面积为，可得．利用三角形面积计算公式、基本不等式、余弦定理即可得出．【详解】解：，，即，由正弦定理可得，又，所以，，因为，所以，所以，所以，，．设内切圆的半径为，内切圆面积为，，解得，，即，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，，，解得，当且仅当取等号，所以周长的最小值.故答案为：．23．（福建省宁德市高级中学2023届高三上学期期中）的内角，，的对边分别为， ，，.(1)求；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)；(2)9.【分析】（1）首先利用诱导公式化简，再结合同角的三角函数关系式的求出关于的方程，即可求解.（2）首先利用余弦定理得到，再利用基本不等式即可求解周长的最大值.【详解】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）由余弦定理得：.即.∵（当且仅当时取等号），∴，解得：（当且仅当时取等号），∴周长，∴周长的最大值为9.利用三角函数值域求范围24．（山东省潍坊市临朐县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为.【答案】【分析】运用正弦定理，余弦定理和面积公式可得， ，运用二次函数可求得面积的取值范围.【详解】因为，所以，所以，所以.，，且满足，解得，由余弦定理得，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式与函数的值域的综合应用，综合性较强，属于较难题.25．（福建省龙岩市一级校联盟（九校）联考2023届高三上学期期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．(1)证明：；(2)若是钝角，，求面积的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（2）依题意求出的取值范围，再由正弦定理得到，由面积公式及同角三角函数的基本关系得到，再根据函数的性质计算可得.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，由，得．所以，， 或（舍去），．（2）解：由条件得，解得，，，，．的面积＝＝，，．又因为函数在上单调递减，所以，所以，所以，，则面积的取值范围为．26．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.(1)求角A；(2)若为锐角三角形，边，求面积的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)法一：由正弦定理将边化角，再化简即可得到角A；法二：由余弦定理将角化边，再化简即可得到角A；(2)由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围.【详解】（1）法一：因为.由正弦定理得，又，所以.所以.因为，所以，所以.因为，所以，.法二：因为，由余弦定理得，整理得，所以.又，所以.（2）由（1）得，根据题意得解得.在中，由正弦定理得，所以.因为，所以，所以，所以. 所以所以的取值范围是.图形切割27．（湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高三上学期期中）如图，在四边形中，(1)求角的值；(2)若，，求四边形的面积【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.【详解】（1），因为，得， 或，解得或，因为，得，（2）在中，，在中，，，，，得，，所以四边形的面积为28．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．(1)求的大小；(2)若点在直线同侧，，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设，利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.【详解】（1）设，则，因，，， 则，而，，则有，即，又，，因此，，所以.（2）由（1）知，，连AC，有，则，而，中，由正弦定理有，，，，又，令，则，，因此，因，则，有，即，，所以的取值范围为．角平分线、中线的处理29．（湖南省岳阳市华容县2023届高三上学期期中）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（I）求△ABC的面积；（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）首先根据正弦定理，将原等式中的边化为角，再利用两角和的正弦公式化简，求出,再根据，得到，最后代入面积公式（Ⅱ）由,得，根据上一问的结果可求，再根据中线表示向量为，两边平方后得到结果.【详解】（Ⅰ）,由正弦定理可化为：,,即,,,又,得,,即，的面积（Ⅱ）由,得，，又，解得：，又,,,即边上的中线的长为. 30．（2022秋·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得，即可得解析式.（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求，进而可得的长．【详解】（1）因为，设函数的周期为，由题意，即，解得，所以.（2）由得：，即，解得，因为，所以，因为的平分线交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.解三角形的结构不良 31．（湖南省长沙市弘益高级中学2022-2023学年高三上学期期中）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角的所对的边分别为，__________.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）分别选择①②③条件，运用正弦定理和余弦定理求解；（2）先用面积公式求出bc，再用余弦定理求解.【详解】（1）若选①：，由正弦定理得，，即，，，又；若选②：，由正弦定理得，，，，；若选③：，，由正弦定理得，；（2）的面积为，，又， 由余弦定理得，解得的周长为；综上，，的周长为.32．（湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中）在中，A，B，C所对应的边分别为a，b，c.从下面三个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面问题.①；②；③.(1)求角A；(2)若，，求的面积.【答案】(1)选择条件，答案见解析；(2)选择条件，答案见解析.【分析】（1）选①，选②，选③，由正弦定理和三角恒等变换化简计算作答.（2）由余弦定理求出c，再由三角形的面积公式即可求得．【详解】（1）选①，在中，由，得，即，而，则，于是或，解得或，所以或.选②，在中，由及正弦定理得，则，而，所以.选③，在中，由及正弦定理得，则，整理得，而，，则，所以.（2）选①，由（1）知或，当时，由余弦定理得，即， 整理得，而，解得，，当时，，，所以当时，的面积是，当时，的面积是.选②③，由（1）知，由余弦定理得，即，整理得，而，解得，，所以的面积是.一、单选题1．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数，则下列结论中正确的是（    ）A．的最小正周期为B．点是图象的一个对称中心C．的值域为D．不等式的解集为【答案】C【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答. 【详解】，作出的图象，如图，观察图象，的最小正周期为，A错误；的图象没有对称中心，B错误；的值域为，C正确；不等式，即时，，得，解得，所以的解集为，故D错误.故选：C2．（福建省南平市浦城县第三中学2023届高三上学期期中）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】结合正弦定理边化角可解得，即可求角，结合正弦定理边化角之后再消元，可得，再结合的范围即可得证【详解】由正弦定理可知，，， 又在中，，即，为锐角，，，所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即，故选：A3．（2022秋·江苏苏州·高三统考期中）古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为，梯脚落在巷中的点，当梯子的顶端放到右边墙上的点时，距地面的高度是，梯子的倾斜角正好是，当梯子顶端放到左边墙上的点时，距地面的高度为6尺（1米=3尺），此时梯子的倾斜角是．则小巷的宽度等于（    ）A．6尺B．尺C．（）尺D．尺【答案】A【分析】连接,过作于，则且.证明出≌，得到,即可求出. 【详解】连接,过作于，则且.由题意可得：，所以.因为且，所以为等边三角形,即.因为，所以.而,所以.因为，所以.又,所以≌(ASA),所以,即.故选：A.4．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答.【详解】在中，，，则，因，则， 在中，由余弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，所以.故选：D二、多选题5．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是和图象的连续相邻的三个交点，若为钝角三角形，则的值可能为（    ）A．B．C．D．1【答案】ABC【分析】先由平移变换的得到，然后将和联立求出两图像相邻交点的坐标，根据为钝角三角形即可求解.【详解】由题意可知：，令，解得：，故，因为点是和图象的连续相邻的三个交点，不妨令可得：，，所以，令可得：，，所以，令可得：，，所以，，，，因为为钝角三角形，由余弦定理可得： ，所以，因为，所以，故选：.6．（2022秋·河北张家口·高三校联考期中）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A．B．C．D．【答案】BC【分析】对于A，直接判断即可；对于B，，结合即可判断；对于C，，结合即可判断；对于D，，结合即可判断.【详解】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；对于B，因为，所以由正弦定理得，因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；对于C，因为，所以由正弦定理得，即，因为，所以有两解（，或，），故C正确；对于D，因为， 所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D错误；故选：BC三、填空题7．（2022秋·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知，则的值为.【答案】1【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得，然后根据降幂公式可得，进而即得.【详解】由，得，再由，得，可得，．故答案为：1.8．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知函数的部分图象如图所示，若，则的最小值为．【答案】【分析】根据“五点法”求出函数解析式，再由解出，即可得出最小值.【详解】依题意，，解得，故，故，而，解得．因为，所以， 故．令，则，故或，解得或，故的最小值为．故答案为：9．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下命题：①若，则为锐角三角形；②若，则为等腰三角形；③若，则为等腰三角形；④若，则为等边三角形.以上命题中，所有真命题的序号为．【答案】①③④【分析】①利用切弦关系及三角恒等变换、三角形内角性质可得，即可判断；②③④利用正弦边角关系、三角恒等变换得到三角形内角的关系，即可判断正误.【详解】①，而，所以都为锐角，正确；②由正弦边角关系：，则，，所以或（），故为等腰或直角三角形，错误；③由正弦边角关系：，，所以，故为等腰三角形，正确；④由，而，故，且，故，则为等边三角形，正确.故答案为：①③④ 四、解答题10．（湖南省怀化市2022-2023学年高三上学期期中）已知函数（，）的图象关于直线对称，且的相邻两个零点间的距离为．(1)求的值；(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求函数的单调递减区间．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得的最小正周期，由公式求出.根据三角函数的对称轴求出，进而得出函数的解析式；（2）根据三角函数图象的平移变换可得，利用整体代换法即可求解.【详解】（1）因为的相邻两个零点间的距离为，所以的最小正周期，从而．又的图象关于直线对称，所以．因为，所以，即，得，所以，则；（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，所以，令，解得，所以的单调递减区间为．11．（2022秋·山东菏泽·高三统考期中）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，． (1)求A；(2)D为BC边上一点，，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理角化边，化简求出，即可得到；（2）在和中，利用正弦定理构造等量关系，得到，再将a表示出来，即可求得结果.【详解】（1）由得，有正弦定理得，即，由余弦定理，得，由于，所以．（2）由（1）可知，所以，根据正弦定理，在中，，在中，，又，所以，又，所以，所以由余弦定理可得，则，所以．12．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期）在中，角的对边分别为，已知．(1)当时，求的面积；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，并求的值．条件①：； 条件②：；条件③：.【答案】(1)(2)选①，三角形不存在；选②，三角形存在且唯一确定，；选③，三角形存在且唯一确定，【分析】（1）先利用余弦定理求出，然后由求出，再由三角形的面积公式可求得答案，（2）若选①，则由正弦定理得到与为钝角矛盾，若选②，则由二倍角公式化简后可求出，再利用两角和的正弦公式可求出，然后利用正弦定理可求得结果，若选③，由正弦定理统一成角的形式后，化简可求出角，然后利用正弦定理可求得结果.【详解】（1）在中，，，∴由余弦定理得，，，解得：（舍），，，，，（2）选条件①，，即，∴，或，与为钝角矛盾，∴三角形不存在选条件②：由，得，所以，即，， ，由正弦定理得，，选条件③：，，，得，，，，，，.13．（湖南省岳阳市第五中学2022-2023学年高三上学期期中）三角形的内角的对边分别为，(1)求；(2)已知，求周长的最大值．【答案】(1)(2)18【分析】（1）利用正弦定理将角化为边，整理等式，根据余弦定理，可得答案；（2）利用换元，整理周长的函数表示，根据基本不等式，求得变量的范围，可得答案.【详解】（1）由，根据正弦定理，可得，整理可得，由余弦定理，，由，则.（2）由（1）可知，，，由，当且仅当时，等号成立，则，即， 故周长.当时等号成立14．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄二中校考期中）如图，在中，，，点在线段上．(1)若，求的长；(2)若，的面积为，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，利用同角三角函数的平方关系可求得的值，然后在中，利用正弦定理可求得边的长；（2）设，则，利用三角形的面积公式可求得的值，然后在、中利用正弦定理，再结合，可求得结果.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，，则，故，则为锐角，所以，，，则，在中，由正弦定理得，，解得．（2）解：设，则，，则，即，可得，故，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可得，故， 在中，由正弦定理可得，故，因为，所以，.15．（河北省大名县第一中学2023届高三上学期期中）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；（2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.【详解】（1）根据正弦定理有即展开化简得,，，，，,,，.（2）由题意可知,设,,又，在中,由正弦定理可得:. 即:，，,，所以三角形面积的取值范围为.16．（2023春·浙江宁波·高三统考期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若点D是满足，且，求的面积的最大值.（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C；（2）利用向量法或余弦定理，结合基本不等式求的面积的最大值.【详解】（1）若选①：由正弦定理得，在中，，所以，即，所以，又，有，所以，由，得.若选②：由正弦定理得， 在中，，所以即，所以，又，有，所以，由，得.（2）方法一：由，可得，两边平方可得，即，所以，当且仅当时取“＝”，所以，所以.方法二：由角C余弦定理可得③，由结合余弦定理可得，整理得④，由③可得，当且仅当时取“＝”，所以，所以即.