第二十八章锐角三角函数章末复习导学案（人教版九下）

章末复习一、诱导复习1.导入课题通过本章的学习，你收获了哪些知识和方法？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识和方法解决问题呢？本节课对本章所学进行小结与复习(板书课题).2.复习目标（1）理解熟悉正弦、余弦、正切的概念，能熟练地运用它们进行相关计算.（2）会解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题.3.学习重、难点重点：正弦、余弦、正切的概念，解直角三角形及其应用.难点：实际问题.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：教材P61~P85.（2）复习时间：10分钟.（3）复习方法：翻看课本，整理知识要点.（4）复习参考提纲：知识点搜集与整理：①正弦、余弦、正切的定义.②特殊角的三角函数值.③用计算器求锐角三角函数值.④解直角三角形的依据.⑤构造直角三角形常用的辅助线.⑥利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤.根据上述知识点，试画出本章知识结构框图：2.自主复习：学生可结合复习指导进行复习整理.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：明了学生知识点搜集与整理是否完整、厄要.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨、纠正.5 4.强化复习：围绕知识结构图强化知识要点.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析，考点跟踪.（2）复习时间：10分钟.（3）复习方法：独立解决复习参考提纲中的问题，有困难的学生可以相互交流、研讨.（4）复习参考提纲：①在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA·cosA的值是（A）②如图，已知锐角α的一边在x轴上，另一边经过第一象限内的点P(x，2)，且点P到坐标原点的距离为,则sinα=，cosα=.③计算④如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，求△ABC的面积.过A作AD⊥BC于D.在Rt△ACD中，AD=AC·sinC=3,DC=4.在Rt△ABD中，cosB=,∴∠B=45°,∴BD=AD=3.∴BC=7,∴S△ABC=BC·AD=.⑤如图，为测量某岛东西两端A，B的距离，飞机在距海平面垂直高度为1km的点C处测得西端A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2km到点D处，并测得东端B的俯角为37°，求该岛两端A，B的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）解：如图，过C作CE⊥AM于E,过B作BF⊥DN于F.5 则CE=BF=1,AE=CE=1，DF=≈1.33.∴AB=BE-AE=CF-AE=CD+DF-AE≈3.2+1.33-1≈3.5(km).2.自主复习：结合复习提纲进行复习.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：明了学生复习提纲的答题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流研讨、纠正.4.强化复习：在利用解直角三角形解决实际问题时，常常需要添加辅助线构造合适的直角三角形.一般地，已知120°、135°角时，往往利用它的补角60°或45°；三角形中若含有45°和60°角或45°和30°角时，常过第三个角（即75°角和105°角）的顶点作高.三、评价1.学生的自我评价：在这节课的学习中，你有哪些新的认知和收获？对本章内容掌握情况如何？2.教师对学生的评价：①表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作情况、学习效果和存在的问题等.②纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时为复习课，首先让学生了解本章的知识体系，教学的展开以问题的解决为中心，指导学生自主理清由实际问题转化为锐角三角函数模型的思路，增强学生对数学问题的转化意识.在教学过程中，还要强化学生“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的思想，加强数形结合思想，加深对锐角三角函数本质的认识.一、基础巩固（70分）1.(10分)在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（C）A.B.C.D.2.(10分)若a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则（A）A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a3.(10分)已知ABCD中，AB=a,BC=b，锐角B=α，则用a,b，α表示ABCD的面积为absinα．5 4.(20分)如图，两建筑物的水平距离BC为32.6m,从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为45°，求这两个建筑物的高度（结果保留根号）.解：如图，作DE⊥AE于点E，则AE=BC=32.6.在Rt△ADE中，∠DAE=30°,∴ED=AE·tan30°=.在Rt△ACE中，∠CAE=45°,∴CE=AE=32.6.∴AB=CE=32.6(m),CD=CE-DE=(m).5.(20分)如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处.已知折痕AE=5cm,且tan∠EFC=34.(1)△AFB与△FEC有什么关系？(2)求矩形ABCD的周长.解：(1)△AFB∽△FEC.(2)∵tan∠EFC=,不妨设EC=3x,FC=4x.则EF=5x.∴DE=EF=5x,AB=DE+EC=8x.又∵,∴BF=6x.∴AD=BF+FC=10x.在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2,即（10x）2+(5x)2=52.∴x=,∴AD=,CD=.∴矩形ABCD周长为2（AD+CD）=(cm).二、综合应用（20分）6.(20分)如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北25°的PQ方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时的速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到100千米；当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到（60+10t）千米；（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭到5 这座海滨城市？请说明理由（参考数据2≈1.41，3≈1.73）．解：过O作OH⊥PQ于H.∠OPH=70°-25°=45°,OP=200.∴PH=OH=OP·sin45°=200×=100≈141（千米）.台风从P到H用的时间约为=7.05(小时).此时受台风侵袭的圆形区域半径约为60+10×7.05=130.5＜141.∴这股台风不侵袭这座海滨城市.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，在锐角△ABC中，求证：.(提示：分别作AB和BC边上的高)证明：过A作AD⊥BC于D，过C作CE⊥AB于E.在Rt△ABD中，AD=AB·sinB=c·sinB.在Rt△ACE中，CE=AC·sinA=b·sinA.又∵S△ABC=BC·AD=AB·CE，∴a·c·sinB=c·b·sinA.∴.同理.∴.5