第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用问题导学案（人教版九下）

28.2.2应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用问题一、新课导入1.课题导入情景：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？问题：你能运用解直角三角形和圆的知识解决这个问题吗？（板书课题）2.学习目标（1）会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题.（2）知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问题.3.学习重、难点重点：解直角三角形.难点：将实际问题转化为数学问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P74例3.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：仔细体会直角三角形的直角是怎样得到的.（4）自学参考提纲：①实际问题转化成数学模型，画出如图所示的图形，用⊙O表示地球，点F是组合体的位置，则视线FQ与⊙O相切，切点Q是观测地球时看到的最远点，要求的最远点与P点的距离就是求的长.②∵FQ是⊙O的切线，∴∠FQO=90°，∴△FOQ是直角三角形.③选择关系式求α的度数.∵cosα=≈0.9491,∴α≈18.36°.5 ④求的长..⑤想一想：怎样得到∠FQO是直角的？为什么的长是最远点与P点的距离？⑥如图是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过2min后，小明离地面的高度是多少米？过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE=×360°=120°,∴∠GOE=60°.∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）,∴小明离地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66(m).2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生是否理解Rt△FQO中相关元素的实际意义.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化圆中获得直角的主要途径有：(1)过圆心作弦的垂线段.(2)构造直径所对的圆周角.(3)连接切点和圆心.1.自学指导（1）自学内容：教材P75例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：先自主探索，再同桌之间互相讨论、纠错.（4）自学参考提纲：①仰角和俯角的概念：5 如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.图中的∠1是仰角，∠2是俯角.②教材P75例4中，过点A作AD⊥BC于D，则在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=120，故选择关系式可求BD的长；在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AD=120，故选择关系式可求CD的长.所以这栋楼的高BC=BD+CD≈277m.③热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？120×tan45°+120×tan60°≈328(m)④热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？120×tan60°-120×tan30°≈139(m)⑤在斜三角形、梯形、矩形、菱形和正方形中，怎样添加辅助线构造直角三角形？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生自学提纲的解答情况，特别是第④、第⑤题.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨、纠正.4.强化（1）仰角、俯角的定义.（2）当问题涉及到的三角形不是直角三角形时，添加辅助线构造直角三角形的图例.三、评价1.学生学习的自我评价：在这节课学习中，你有哪些收获？还有哪些困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度，小组交流合作状况，回答问题情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.5 本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，让学生明白俯角、仰角的含义.引导学生将实际问题转化为简单的数学模型。其中画出几何图形是解题关键，通过几何图形的分析来得到边、角的关系，再应用计算、推理手法解决问题.还要注意从实际生活出发，努力体现数学与生活的联系.此外，还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能力，注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=303m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长等于20πm.第1题图第2题图第3题图2.(10分)如图，在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，C为优弧上任意一点，则∠ACB=（B）A.30°B.60°C.90°D.120°3.(10分)如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为5.1m(结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高).4.(20分)如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=，PB=1，求sin∠APC的值.解：连接OA.∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP=90°.在Rt△OAP中，设OA=x,则OP=OB+PB=x+1.又有PA=,∴x2+（）2=(x+1)2，∴x=1.即OA=1，OP=2.∴sin∠APC==.5.(20分)如图，一枚运载火箭从地面L处发射.当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后，火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A到B的平均速度是多少？（结果保留小数点后两位，参考数据：sin43°≈0.682,cos43°≈0.731,tan43°≈0.933;sin45.54°≈0.714,cos45.54°≈0.700,tan45.54°≈1.019）解：LR=AR·cos43°≈6×0.731=4.386.AL=AR·sin43°≈6×0.682=4.092.BL=LR·tan45.54°≈4.386×1.019=4.469334.AB=BL-AL≈0.377334.∴这枚火箭从A到B的平均速度为0.377334÷≈1358.40（km/h）.5 二、综合应用（20分）6.(20分)某校课外活动小组在距离湖面7m高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖面的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈解：设过点A的水平线交PP′于点D，则DC=AB=7，设AD=x.则PD=AD·tan37°≈34x.P′D=AD·tan53°≈43x.∵P′、P关于直线BC对称，∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.∴x+7=x-7.∴x=24,∴PC≈25米.因此，这个热气球P距湖面的高度PC约为25米.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα=．（1）求点M离地面AC的高度BM；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度.解：（1）过点M作MD⊥OA于D.易证四边形ABMD是矩形.∴BM=AD,AB=DM.又MD=OM·sinα=5×5×=15（cm）.∴OD==20,∴AD=OA-OD=5,∴BM=5cm.(2)延长DM交FC于点E.ME=BC=AC-AB=11×5-15=40（cm）.又∵∠FME=∠MOD=α,cosα=,∴MF==50(cm).5