第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时与方向角坡角有关的应用问题课件（人教版九下）

第2课时与方向角、坡角有关的应用问题R·九年级下册 前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知道方位角的概念吗？从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。提问今天我们要学习的内容就与方位角有关.新课导入 例1一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？方向角类型的解直角三角形问题知识点1思考：根据题意，你能画出示意图吗？推进新课 提问结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？PA=80，∠A=65°，∠B=34°.要求的问题是什么？你能写出解答过程吗？PB之间的距离. 解：如图在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈72.505．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=，∴PB==≈130（nmile）． a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.你能小结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？问 练习1.海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 60°北南西东BDA30° E解：过A点作AE⊥BD于E点.易证∠DAE=∠ABD=30°，∴AD=BD=12nmile.∴AE=AD·sin60°=12×没有触礁危险. 坡度类型的解直角三角形问题知识点2Lhα问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？提问你能根据图示给出坡度的定义吗？ 坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为.坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则tanα=.12 练习2.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE=6m，斜面坡度i=1:1.5是指坡面的垂直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1:3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：（1）坡角α和β的度数；（2）斜坡AB的长(结果保留小数点后一位)． 解：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3，利用计算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°；（2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m，∴BF＝9m，由勾股定理得AB≈10.8m. 1.已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°D基础巩固随堂演练 2.如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5m，则这两棵树在坡面上的距离AB为m.（结果保留根号） 3.为方便行人横过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数). 解：，AC=5，∴BC=1.5×5=7.5. 在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，∴AF=CF=5.00，∴AC=CF=5≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=+3.40-5.00≈1.29(m). 方向角坡度从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为.课堂小结 拓展延伸海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁，一艘轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为32nmile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始至少沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域? 解：如图，∠PAB=30°，AP=32.∴PB=AP=16（nmile）.∴PB＜16nmile，轮船有触礁危险. 又∵AP=32，PC=16，∴∠PAC=45°,∴α=15°.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.∴轮船自A处开始至少沿南偏东75°方向航行,才能安全通过这一海域. 习题28.2复习巩固1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）c=8，；（2）b=7，;（3）a=5，b=12.习题28.2 2.如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m，∠B＝36°，求中柱AD（D为底边中点）和上弦AB的长？（结果保留小数点后两位） 解：∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=5×tan36°≈3.6(m). 3.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝16°31′。求飞机A到指挥台B的距离？（结果保留整数） 解：由题意可知，在Rt△ABC中，因此飞机A到指挥台B的距离约为4221m. 4.从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，帆船距灯塔有多远？（结果保留整数） 解：如图所示，由题意可得∠B=21°，AC=55m.因此帆船距灯塔约143m. 5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角为24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。 解：由题意可得：答：斜坡上相邻两树间的距离约为6.0m. 综合运用6.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知∠A，c，写出解Rt△ABC的过程；（2）已知∠A，a，写出解Rt△ABC的过程；（3）已知a，c，写出解Rt△ABC的过程； (1)∠B=180°-90°-∠A=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA；由sinA=，求出∠A，∠B=90°－∠A. 7.如图，一座金字塔被发现时，顶部已荡然无存，但底部未曾受损.已知金字塔的下底面是一个边长为130m的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这座金字塔原来有多高（结果取整数）？ 解：设这座金字塔原来高xm，由题意得∴x=65×tan65°≈139.答：这座金字塔原来高约139m. 8.如图，一枚运载火箭从地面L处发射.当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°，这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果取小数点后两位）？ 解：在Rt△ALR中，AL=AR·sin∠ARL=6×sin43°≈4.092(km),LR=AR·cos∠ARL=6×cos43°≈4.388(km).在Rt△BRL中，BL=RL·tan∠BRL≈4.388×tan45.54°≈4.472(km)， 9.为方便行人横过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数). 解：，AC=5，∴BC=1.5×5=7.5. 10.海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁.一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为32nmile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始至少沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域?综合运用 解：如图，∠PAB=30°，AP=32.∴PB=AP=16（nmile）.∴PB＜16nmile，轮船有触礁危险. 又∵AP=32，PC=16，∴∠PAC=45°,∴α=15°.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.∴轮船自A处开始至少沿南偏东75°方向航行,才能安全通过这一海域. 11.根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（结果取整数）. 解：如图，过B作直线分别垂直AD于D，CE于E，在Rt△ABD中，∠BAD=62°，AB=1700km.∴BD=AB·sin∠BAD=1700×sin62°，AD=AB·cos∠BAD=1700×cos62°. 在Rt△BCE中，∠BCE=54°，BC=2720km,∴BE=BC·sin∠BCE=2720×sin54°.CE=BC·cos∠BCE=2720×cos54°.S△ABC=S梯形ADEC-S△ABD-S△BCE