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四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学下学期三诊复习(文科)试题八(Word版附答案)
四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学下学期三诊复习(文科)试题八(Word版附答案)
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成都石室中学高2023届三诊复习题八(文科)1.若复数z满足,则复数z的虚部为( )A.iB.C.1D.2.已知集合,,,则实数的值为( )A.B.C.D.3.记数列的前项和为,则“”是“为等差数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在中,内角的对边分别为,且,,则满足条件的三角形有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个5.设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,下列说法正确的是( )A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,,则6.已知,则的值为( )A.B.C.D.7.某程序框图如图所示,则输出的S的值为( )A.B.C.D.8.如图,正方体的棱长为为的中点,为的中点,过点的平面截正方体所得的截面的面积( )A.B.C.D.9.伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶,该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品,若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C:上支的一部分,点F是C的下焦点,若点P为C上支上的动点,则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为( )A.7B.6C.5D.410.已知四棱锥的底面是矩形,高为,则四棱锥的外接球的体积为( )A.B.C.D.11.已知直线与相交于点,线段是圆的一条动弦,且,则的最小值为( )A.B.C.D.12.已知函数有两个零点,且存在唯一的整数,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.13.已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,.若为的导函数,则______.14.已知向量,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是__________.15.88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列.若中音A(左起第49个键)的频率为,钢琴上最低音的频率为,则左起第61个键的音的频率为___________.16.已知曲线:,抛物线:,为曲线上一动点,为抛物线 上一动点,与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线,则以下说法正确的有___________①直线l:是曲线和的公切线:②曲线和的公切线有且仅有一条;③最小值为;④当轴时,最小值为.17.为改善学生的就餐环境,提升学生的就餐质量,保证学生的营养摄入,某校每学期都会对全校3000名学生进行食堂满意度测试.已知该校的男女比例为1∶2,本学期测试评价结果的等高条形图如下:男女合计满意不满意合计3000(1)填写上面的列联表,并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”情况与性别有关;(2)按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人,再从这5人中随机选出3人交流食堂的问题,求选出的3人中恰好没有男生的概率.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828附:,.18.已知向量,,且函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)若在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,,求的取值范围. 19.如图①所示,已知正三角形与正方形,将沿翻折至所在的位置,连接,,得到如图②所示的四棱锥.已知,,为上一点,且满足.(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在一点,使得平面.若存在,指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.20.已知圆,直线过点且与圆交于点B,C,BC中点为D,过中点E且平行于的直线交于点P,记P的轨迹为Γ(1)求Γ的方程;(2)坐标原点O关于,的对称点分别为,,点,关于直线的对称点分别为,,过的直线与Γ交于点M,N,直线,相交于点Q.请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明.①的面积是定值;②的面积是定值:③的面积是定值. 21.已知函数.(1)若单调递减,求的取值范围;(2)若的两个零点分别为,,且,证明:.(参考数据:)22.在直角坐标系中,点为坐标原点,直线的直角坐标方程为,直线与x轴交于点M,抛物线C的参数方程为(为参数).(1)以点O为极点,以轴正半轴为极轴,求直线的极坐标方程及点M的极坐标;(2)设直线与抛物线C相交于E,F两点,若,求抛物线C的准线方程.23.已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:(1)a+b+2c≤3;(2)若b=2c,则1a+1c≥3. 参考答案:1.C【分析】根据复数的除法法则得到,求出虚部.【详解】由得,故复数z的虚部为1故选:C2.A【分析】由题设知,讨论、求a值,结合集合的性质确定a值即可.【详解】由知:,当,即,则,与集合中元素互异性有矛盾,不符合;当,即或,若,则,与集合中元素互异性有矛盾,不符合;若,则,,满足要求.综上,.故选:A3.B【分析】利用等差数列前项和及性质,结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】等差数列的前项和为,则,数列的前项和为,取,显然有,而,即数列不是等差数列,所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.故选:B4.C【分析】根据与的大小判断可得.【详解】因为,,,所以,所以满足条件的三角形有2个.故选:C5.C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A,若,,则与的位置关系是平行,相交和异面,故A错误.对选项B,若,,则与的位置关系是平行和相交,故B错误.对选项C,若,,则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行,故C正确.对选项D,若,,则与的位置关系是平行和相交,故D错误.故选:C6.C【分析】应用诱导公式可得,再由倍角余弦公式求即可.【详解】由,所以.故选:C7.B【分析】根据程序框图先计算时的值,再根据循环结构跳出循环输出即可.【详解】执行如图所示程序框图可知,当时,,再执行一次,此时需跳出循环,故输出的的值为. 故选:B.8.B【分析】如图,过点的平面截正方体所得的截面为五边形,求得,再结合等腰三角形的面积,结合相似即可求得截面的面积.【详解】如图,延长交于点,延长交于点,连接交于点,连接交于点,连接.则过点的平面截正方体所得的截面为五边形.因为为的中点,为的中点,所以,所以,在中,,在中,,同理可得.令上的高为,所以,所以.因为,所以,所以,同理可得,故截面的面积.故选:B【点睛】方法点睛:作截面的三种方法:①直接法:截面的定点在几何体的棱上;②平行线法:截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行;③延长交线得交点:截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.9.C【分析】根据离心率求出双曲线方程,可得出焦点坐标及渐近线方程,再利用双曲线的定义转化为求,数形结合即可得出最小值.【详解】依题意,双曲线的离心率为, 则,解得,所以双曲线方程为,则双曲线得下焦点为,上焦点,渐近线方程为,如图,根据图形的对称性,不妨取渐近线为,即,又点P为双曲线上支上的动点,则,过点P作,垂足为Q,过点作,垂足为M,则,所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为.故选:C.10.B【分析】作出辅助线,求出平面外接圆半径,再利用勾股定理求出外接球的半径,即可求出球的体积.【详解】如图,在矩形中,连接对角线,记,则点为矩形的外接圆圆心,取的中点,连接,记的外接圆圆心为,易知,且共线.因为,平面,所以平面,所以平面,平面,,,平面,所以平面,所以,所以,易得,所以由正弦定理得的外接圆半径为,即.过作平面,且,连接,由平面,可知,则四边形为矩形,所以,则平面.根据球的性质,可得点为四棱锥的外接球的球心.因为,所以四棱锥的外接球的体积为.故选:B11.A【分析】根据直线所过定点和可知,由此可得点轨迹是以为圆心, 为半径的圆(不含点),由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法可求得,结合向量数量积的运算律可求得的最小值.【详解】由圆的方程知:圆心,半径;由得:,恒过定点;由得:,恒过定点;由直线方程可知:,,即,设,则,,,整理可得:,即点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,又直线斜率存在,点轨迹不包含;若点为弦的中点,则,位置关系如图:连接,由知:,则,(当在处取等号),即的最小值为.故选:A.12.D【分析】将函数有两个零点,转化为的图象有两个交点问题,利用导数判断的单调性,作出其大致图象,数形结合,列出能保证存在唯一的整数的不等关系,即可求得答案.【详解】由题意函数有两个零点,即,得有两个正实根,设,则,令,解得,当时,,在上单调递增;当时,在上单调递减;故当时,函数取得极大值,且,又时,;当时,; 当时,,作出函数的大致图象,如图所示:直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为,由题意知,又,因为存在唯一的整数,所以,又直线与的图象有两个交点,由图可知:,即,故选:D.【点睛】关键点睛:本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题,关键在于要保证存在唯一的整数,因此解答时利用导数判断函数的单调性,作出函数图象,数形结合,列出保证条件成立的不等式,求解答案.13.【分析】先利用奇函数性质求出时函数的解析式,求出导函数,代入计算即可.【详解】当时,,,所以,即当时,,所以,所以,故答案为:14.【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.【详解】因为,且与的夹角为锐角,所以,且,解得且,所以实数的范围是.故答案为:.15.880【分析】设等比数列的公比为,根据已知求出,再利用等比数列的通项即得解.【详解】设等比数列的公比为,则,所以,则左起第61个键的音的频率为.故答案为:88016.①③④【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解;对于②,分别设两条曲线上的切线方程,然后根据公切线的定义建立方程,将方程转化为函数,研究函数的零点即可;对于③,利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值,进而建立函数,然后再研究函数的单调性即可;对于④,先设动点的坐标,根据轴,进而 建立目标函数,然后研究该函数单调性即可.【详解】解:选项①,对于曲线,,当时,,,故直线与曲线相切与点;联立,可得,故此时直线与切于点,故直线l:是曲线和的公切线,故①正确;对于②,设公切线分别与切于点,则曲线的切线为:,曲线的切线为,根据与表示同一条直线,则有,解得,令,则有,可得在区间上单调递增;在区间上单调递减,则有,根据零点存在性定理可知,在区间上存在一个零点,即存在一条公切线故曲线和的公切线有且仅有2条,故②错误;对于③,如图所示,可得,根据抛物线的焦半径公式可得,故有:,设点的坐标为:,则有:,令,可得,再次求导可得:,故在上单调递增,又,可得:当时,,即在上单调递减;当时,,即在上单调递增;故,则,故,故③正确;对于④,当轴时,设,则,则有:,记,则有,令,解得:,故当时,,在区间上单调递减;当时,,在区间上单调递增;故有,故,故选项④正确.故答案为:①③④. 17.(1)列联表见解析,有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”与性别有关(2)【分析】(1)根据题意和等高条形图,求出对应的数据,将列联表补充完整,利用卡方公式计算,结合独立性检验的思想即可下结论;(2)由分层抽样的定义可知抽取的男生1人,女生4人,利用列举法即可解决该古典概型问题.【详解】(1)∵该校的男女比例为1:2,总人数为3000人,∴该校男生数为,该校女生数为,其中测试评价满意的男生数为,不满意的男生数为300,其中测试评价满意的女生数为,不满意的女生数为,列联表如下:男女合计满意7008001500不满意30012001500合计100020003000∵,∴由独立性检验定义知,有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”与性别有关.(2)按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人,由分层抽样的定义可知,抽取的男生人数为,抽取的女生人数为,设男生为A,女生为a,b,c,d,基本事件总数为10个,如下:,,,,,,,,,恰好没有男生的基本事件个数为4个,如下:,,,,所以这5人中随机选出3人,恰好没有男生的概率为:.18.(1)(2)【分析】(1)由题知,再根据正弦函数的单调性求解即可; (2)由正弦定理边角互化,结合恒等变换得,进而得,,再根据三角函数的性质求解即可.【详解】(1)因为向量,且函数,所以,令,解得,所以函数的单调增区间为;(2)因为,所以,即,所以,因为,所以,因为,所以,所以,,由,得,所以所以.19.(1)证明见解析;(2)存在,为线段的中点,理由见解析.【分析】(1)根据给定条件,利用勾股定理的逆定理证得,再利用线面垂直的判定推理作答.(2)连接,取的中点,利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理作答.【详解】(1)是正三角形,有,中,,则,正方形中,,平面,于是平面,而,所以平面.(2)点为线段的中点,平面,取的中点,连接,连接,连接,如图,于是,而平面,平面,因此平面,依题意,为上一点,且满足,则为中点,又为中点,即有,而平面,平面,因此平面,又平面,从而平面平面,又面,则平面,所以点为线段的中点时,平面. 20.(1)(2)结论③正确,证明见解析【分析】(1)由几何性质知P到,两点的距离之和为定值可得P的轨迹为椭圆;(2)解法一、二:设直线,,,表示出直线,的方程并联立求得Q的横坐标为定值,因此的面积是定值.解法三:当直线垂直于x轴时求得Q横坐标为4,当直线不垂直于x轴时,设直线,,,表示出直线,的方程并联立求得Q的横坐标为定值,因此的面积是定值.解法四:设直线,,,表示出直线,的方程,利用在椭圆上得,将直线的方程化为,与直线联立求得Q的横坐标为定值,因此的面积是定值.【详解】(1)由题意得,,.因为D为BC中点,所以,即,又,所以,又E为的中点,所以,所以,所以点P的轨迹是以,为焦点的椭圆(左、右顶点除外).设,其中,.则,,,.故.(2)解法一:结论③正确.下证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线,,,且,.由,得,所以,,所以.直线的方程为:,直线的方程为:,由,得, ,解得.故点Q在直线,所以Q到的距离,因此的面积是定值,为.解法二:结论③正确.下证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线,,,且,.由,得,所以,,所以.直线的方程为:,直线的方程为:,由,得,故点Q在直线,所以Q到的距离,因此的面积是定值,为.解法三:结论③正确.下证:的面积是定值. 由题意得,,,,,且直线的斜率不为0.(i)当直线垂直于x轴时,,由,得或.不妨设,,则直线的方程为:,直线的方程为:,由,得,所以,故Q到的距离,此时的面积是.(ii)当直线不垂直于x轴时,设直线,,,且,.由,得,所以,.直线的方程为:,直线的方程为:,由,得.下证:.即证,即证,即证,即证,上式显然成立,故点Q在直线,所以Q到的距离,此时的面积是定值,为.由(i)(ii)可知,的面积为定值.解法四:结论③正确.下证:的面积是定值.由题意得,,,,,且直线的斜率不为0,可设直线,,,且,. 由,得,所以,.直线的方程为:,直线的方程为:,因为,所以,故直线的方程为:.由,得,解得.故点Q在直线,所以Q到的距离,因此的面积是定值,为.【点睛】方法点睛:(一)极点与极线的代数定义;已知圆锥曲线G:,则称点P(,)和直线l:是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以替换,以替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(,)对应的极线方程.特别地,对于椭圆,与点P(,)对应的极线方程为;对于双曲线,与点P(,)对应的极线方程为;对于抛物线,与点P(,)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.(二)极点与极线的基本性质、定理①当P在圆锥曲线G上时,其极线l是曲线G在点P处的切线;②当P在G外时,其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);③当P在G内时,其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.21.(1)(2)证明见解析【分析】(1)由已知可得在时恒成立,由此可得,再利用导数求函数的最大值,由此可得的取值范围; (2)令,则,由已知可得要证明只需证明,利用导数求的最小值即可证明结论.【详解】(1)由得,,因为单调递减,所以在时恒成立,所以在时恒成立,即,令,则,可知时,,单调递增;时,,单调递减,则时取最大值,所以,即,所以的取值范围是.(2)因为有两个零点,,令,则,当时,,单调递增,不符合题意,当时,由可得,当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,由可知,,要证明,只需证明.由已知可得,化简得,所以,.令,则,要证明,只需证明.令,且,则,令,且,则,则在时单调递增,故,故,则在时单调递减,所以,即,则有,所以,即原不等式成立. 【点睛】关键点点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.22.(1),;(2).【分析】(1)根据化为极坐标方程即可;(2)直线的参数方程与抛物线联立,再运用的几何意义及韦达定理解方程即可.【详解】(1)由得直角坐标方程,得,所以,所以,所以.令,得点M得直角坐标为,所以点M的极坐标为.(2)把为参数化为普通方程,得,由(1)知,的倾斜角为,参数方程为为参数,代入,得,设E,F对应得参数分别为,,所以,,因为,所以,所以,所以,所以,所以抛物线C得准线方程为.23.(1)证明:由柯西不等式有a2+b2+2c212+12+12≥a+b+2c2,所以a+b+2c≤3,当且仅当a=b=2c=1时,取等号,所以a+b+2c≤3;(2)证明:因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+b+2c=a+4c≤3,即0<a+4c≤3,所以1a+4c≥13, 由权方和不等式知1a+1c=12a+224c≥1+22a+4c=9a+4c≥3,当且仅当1a=24c,即a=1,c=12时取等号,所以1a+1c≥3.
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