四川省绵阳市绵阳中学2022-2023学年高一数学上学期12月月考试题（Word版附解析）

南山中学高2022级高一12月线上测试一数学（时间：120分钟　满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为，所以,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立；当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立；故选：A.3.已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解.【详解】当时，，而，，而无意义，故ABC错误；因为，所以，D正确.故选：D4.已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A.命题非p是真命题B.命题p存在量词命题C.命题p是全称量词命题D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【答案】C【解析】【分析】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．【详解】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，因此非p是假命题，A错；命题，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．故选：C．5.若，则下列四个数中最小的数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据可以推出、、都大于1，，故可得答案.【详解】因为， 所以，，，，所以四个数中最小的数是.故选：D【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键.6.下列“若,则”形式的命题中，是的必要条件的有（）个①若是偶数,则是偶数②若，则方程有实根③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形④若，则A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可.【详解】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；对于④，若，则，故④符合题意.故选：D.7.若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题可知方程有实数解，即求.【详解】由题知方程有实数解， ∴，解得，故选：B.8.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A.或B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】根据一元一次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】因为不等式的解集是，所以，，所以关于的不等式，即，即，解得或，故不等式的解集是或.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若非零实数满足，则下列不等式不一定成立是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】通过代特殊值，或是根据做差法，判断选项.【详解】A.当时，不等式不成立，故A正确；B.当时，不成立，故B正确；C.因为是非零实数，且满足，所以一定成立，故C错误；D.，因为，所以，但 可能是正数，负数，或零，所以不一定成立，故D正确.故选：ABD10.下列说法正确的是（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是【答案】AB【解析】【分析】利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；，因为，所以，B正确；，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；当时，，D错误.故选:AB.11.对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.【详解】由，分类讨论如下： 当时，；当时，；当时，或；当时，；当时，或.故选：AB.12.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及，即可求解.【详解】解：对A，不等式的解集为，故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A错误；对B，C，由题意知：和是关于的方程的两个根，则有，，又，故，故B，C正确；对D，，，又，，故D正确.故选：BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设集合，，若，则实数t的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】由可知，讨论与，即可求出答案.【详解】因为，所以，当时：，满足题意；当时：，无解；所以实数t的取值范围为.故答案为：14.若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.【详解】关于的不等式的解集为.当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：15.已知，且，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】 将化为后，根据基本不等式可求得结果.【详解】因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16.某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．(假设每件衬衫的售价是m)【答案】【解析】【分析】由每件衬衫的售价是元，可知每天的销售量为件，那么可以得到每天出售衬衫的净收入，令其大于等于，构建不等式解不等即可.【详解】假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件，每天出售衬衫的净收入，令,，，解得,故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①；②；③是的真子集.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数的值；若问题中的集合不存在，说明理由.问题：是否存在集合满足集合，集合且，使得_______成立？【答案】时，使得①、③成立；时使得②成立【解析】【分析】若选编号①，则可得则，根据元素与集合的关系可解；若选编号②，则的两根为，根据韦达定理可解；若选编号③，由Ü则或，从而可解.【详解】，选编号①，要使得，则，所以且，解得；选编号②，由，即的两根为，由韦达定理可得，解得；选编号③，，由Ü则或或，当时，，当时，无解，综上可得，时，使得①、③成立；时使得②成立.18.已知集合，.（1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由交集，补集的概念求解；（2）转化为集合间关系后分情况列式求解.【小问1详解】当时，，，则,，【小问2详解】由题意得是的真子集，当是空集时，，解得；当是非空集合时，则且与不同时成立，解得，故a的取值范围是19.若实数，且满足．（1）求的最大值；（2）求x+y的最小值．【答案】（1）4（2）4【解析】【分析】(1)把条件变形为，再利用基本不等式求出xy的范围即可求解;(2)把条件变形为，再利用基本不等式求出x+y的范围即可求解;【小问1详解】∵x>0，y>0，∴，即，解得，当且仅当时，等号成立，∴xy的最大值为4． 小问2详解】，∴，∴，当且仅当时，等号成立．即x+y的最小值为4．20.已知关于的不等式．（1）当时，解上述不等式；（2）当时，解上述关于的不等式.【答案】（1）；（2）当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或.【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）分情况讨论，当时为一元一次不等式，当和时，均为一元二次不等式，按一元二次不等式的解法求解即可详解】（1）当时，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集为.（2）关于的不等式．若，当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得，由解不等式可得，当时，化简不等式可得，解不等式可得或，综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当 时，不等式解集为或.【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，考查含参数的一元二不等式，考查分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题.21.国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．（1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，设出关系式，利用克拉时的价值求得的值，由此求得关系式；（2）求得的关系式写出原有价值和现有价值，通过计算价值损失百分率，利用基本不等式可得答案.【小问1详解】由题意可设价值与重量的关系式为：，∵3克拉的价值是美元，∴，解得：，∴；【小问2详解】若两颗钻石的重量为克拉，则原有价值是，现有价值是，价值损失的百分率为， 当且仅当时取等号，∴当时，价值损失的百分率最大.22.已知二次函数.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；（2）若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得；（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．【小问1详解】设二次函数的两个零点分别为，，由已知得，而，所以，故，不等式即，解得或，故不等式的解集为或.【小问2详解】因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，