浙江省嘉兴市第五高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

嘉兴市第五高级中学2022学年第一学期期中测试高一年级数学试题卷考生须知：1.本试卷为试题卷，满分150分，考试时间120分钟.2.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.3.考试结束，上交答题卷.一、选择题（本大题共8题，每题5分，每题有一个选项符合题意，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为，，所以，故选：B2.命题“，”的否定形式是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；【详解】解：命题“，”为全称量词命题，其否定为：，；故选：B3.“”是“”的（）第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求解，根据充分、必要性的定义判断条件间的关系.【详解】由，可得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出的取值范围即函数的定义域.【详解】由题，，解得.故选：D.5.下列函数既是偶函数，又在上单调递增是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】对于A，为奇函数，所以A不符合题意；对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意；对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意；对于D，为奇函数，所以D不符合题意．故选：C．第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 6.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．7.在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先判断一次函数的单调性，再对指数函数的底数分类讨论，即可得到函数图象特征，从而选出正确结果.【详解】函数在定义域上单调递增，故排除A；直线过点，函数过点，当时，指数函数在定义域上单调递增，当时，指数函数在定义域上单调递减，对于B，在的上方，，应该单调递增，矛盾，排除B；第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 对于C，在的下方，且指数函数在定义域上单调递减，C正确；对于D，位于的下方，而指数函数在定义域上单调递增，故D不正确；故选：C.8.函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围.【详解】由题得函数偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，则不等式，恒成立，则，恒成立，得，得，恒成立，则且，或且，恒成立，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 即当时，且，或且，又当，有，，得.故选：C.【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.二、选择题（本大题共4题，每题5分，每题有多个选项符合题意.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）9.下列化简结果中正确的有（字母均为正数）（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用指数的运算性质可判断ABC选项的正误，利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】由指数幂的运算性质可得，，，AB选项正确，C选项错误，取，，则，D选项错误.故选：AB.10.下列命题中不正确的是（）A.，B.C.，D.【答案】ABC【解析】【分析】举反例判断出选项中的命题不正确，或使用不等式的性质证明选项中的命题正确即可.【详解】对于A，若，，，则，不能推出，故A不正确；第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 对于B，若，，，则不能推出，故B不正确；对于C，若，，，，则，不能推出，故C不正确；对于D，若，则且，所以，即，故D正确.故选：ABC.11.已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（）A.B.C.的解集为D.的解集为或【答案】AD【解析】【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入求解即可.【详解】不等式解集为根据一元二次不等式解法可知，且，故由上可知A正确，B错误；由，可知：将，代入由可得：，解得：或故的解集为或，C错误，D正确；故选：AD12.对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）A.，B.，的奇函数第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 C.函数的值域为D.恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由取整函数的定义得到，然后逐项判断.【详解】设是x的小数部分，则由取整函数的定义知：，当x为整数时，，则，当x不为整数时，，则，且成立，即，A，由取整函数的定义知：，所以，成立，故选A正确；B，当时，，当时，，故，不是奇函数，故B错误；C，由取整函数的定义知：，所以，，函数的值域为，故C正确；D，由取整函数的定义知：，，所以，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知函数，则___________【答案】1【解析】【分析】依据分段函数求函数值的方法去求的值.【详解】故答案为：114.___________．【答案】2第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据指数及对数运算律计算即可得出结果.【详解】故答案为:2.15.函数的图象恒过定点_____________.【答案】（1,3）【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.【详解】令，可得，所以，即图象恒过定点（1,3）.故答案为：（1,3）16.函数，则函数有最大值为________．【答案】4【解析】【分析】在同一直角坐标系中绘制出函数的图象，根据函数的定义，利用图象即可求函数的最大值.【详解】解：在同一直角坐标系中绘制出函数的图象，如下图所示，因为函数，所以函数的图象为图中的实线部分所示，因为三个函数图象都交于同一点，所以由图可知函数有最大值为4.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：4.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，，（1）当a＝1时，求和；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）先化简集合，再根据并集和补集的概念直接求解即可；（2）由，可得，利用集合的包含关系列不等式组求解即可.【小问1详解】由解得：，故，当时，，所以，或.【小问2详解】因为，所以，当时，，解得，满足；当时，，解得，所以实数的取值范围为或.18.（1）已知实数，满足，，求和的取值范围（2）已知正实数，满足：，求的最小值【答案】（1），；（2）9【解析】【分析】（1）应用不等式的性质计算组合的范围即可;（2）已知等式,应用常值代换法求出和的最小值.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）因为，所以，所以所以的取值范围是．因为，所以，因为，所以，所以的取值范围是．（2）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.19.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求出当时，的解析式；（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间；（3）结合函数图象，求当时，函数的值域．【答案】（1）；（2）图象见解析，单调增区间为；（3）.【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求出解析式作答.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 （2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答.（3）利用（1）（2）的信息，借助单调性求出最值作答.【小问1详解】依题意，设，有，则，因为为上的奇函数，因此，所以当时，的解析式．【小问2详解】由已知及（1）得函数的图象如下：观察图象，得函数的单调增区间为：.【小问3详解】当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值，，当时，有最大值，所以当时，函数的值域为.20.某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）.在温室内，沿左､右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，蔬菜的种植面积为.（1）用a､b表示S；第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 （2）a､b各为多少时，蔬菜的种植面积S最大？最大种植面积是多少？【答案】（1）（2）当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为【解析】【分析】（1）通过读图，直接由矩形的面积公式列出用、表示的；（2）由和的关系，把用含有的代数式表示，代入（1）中的关系式后利用基本不等式求最值．【小问1详解】由题意可知，，；【小问2详解】由，得，代入，得．当且仅当，即时取得最大值，此时．所以当、时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是．答：当、时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是．21.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并用定义加以证明；（3）求使成立的实数的取值范围．【答案】（1），（2）在，上是增函数；证明见解析（3）【解析】第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.（2）根据定义法证明函数单调性即可.（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；又，即，解得；经检验，时，是定义在上的奇函数．【小问2详解】设，，且，则；因为，所以，所以，所以，所以在上是增函数；【小问3详解】由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，由，得，所以，即，解得．所以实数的取值范围是.22.已知函数，，（1）当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；（2）当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 （3）若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，；（2）（3）【解析】【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；（2）解不等式，即可得到结果；（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．【小问1详解】解：当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；【小问2详解】解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，又因为在，上的最大值为，所以，即，整理可得，所以，所以，即；【小问3详解】解：由不等式对任意，，恒成立，即，可令，等价为在，上单调递增，而，分以下三种情况讨论：第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 ①当即时，可得，解得，矛盾，无解；②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；③即时，此时在，上单调递增，要想在，递增，只能，即，所以．综上可得满足条件的的取值范围是．第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司