22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)² k的图象和性质课件

22.1.3二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质第二十二章二次函数第3课时二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质 (1)y=ax2；(2)y=ax2+k；(3)y=a(x-h)2.复习引入1.说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO 2.请说出抛物线y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值.3.把y=-2x2的图象向上平移3个单位长度y=-2x2+3向左平移2个单位长度y=-2(x+2)24.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？学完本课时你就会明白.开口向上，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，y最大值=0 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质例1画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.探究归纳 …………210-1-2-3-4x解：先列表；再描点、连线.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.524x-2-4-6yO-2-4直线x=-1开口向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1). 试一试画出二次函数y=2(x+1)2-2的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口向上；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-2).-22xyO-2468-424 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标（h，k）（h，k）最值当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k增减性当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.知识要点 顶点式 例2二次函数y＝−2(x+1)2−4，下列说法正确的是()A．图象开口向上B．图象的对称轴为直线x＝1C．图象的顶点坐标为(1，4)D．当x＜−1时，y随x的增大而增大D 例3已知抛物线y＝a(x−3)2+2经过点(1，−2)．（1）指出抛物线的对称轴；（2）求a的值；解：（1）由y＝a(x﹣3)2+2可知其顶点为(3，2)，对称轴为直线x＝3.（2）∵抛物线y＝a(x﹣3)2+2经过点(1，-2)，∴-2＝a(1-3)2+2，∴a＝-1. （3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．∴y1＜y2.解：∵y＝﹣(x﹣3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大.∵点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上， 二次函数y=a(x+h)2+k与y=ax2(a≠0)的关系探究归纳例4怎样移动抛物线就可以得到抛物线？向左平移1个单位长度平移方法11个单位长度向下平移24x-2-4yO-2-4 怎样移动抛物线可以得到抛物线？平移方法2向左平移向下平移1个单位1个单位24x-2-4yO-2-4 知识要点二次函数y=ax2与y=a(x±h)2±k的关系图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到.y=ax2y=ax2±ky=a(x±h)2y=a(x±h)2±k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律(设h＞0，k＞0)：简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数a不变. 例5将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为()A．y=2(x−4)2−1B．y=2(x+4)2+1C．y=2(x−4)2+1D．y=2(x+4)2−1B 将抛物线y＝5(x﹣1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为()A．y＝5(x+2)2+3B．y＝5(x﹣4)2﹣1C．y＝5(x﹣4)2+3D．y＝5(x﹣3)2+4变式训练C 例6已知二次函数y＝a(x－1)2－k的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋k的大致图象是()解析：根据二次函数开口向上得a＞0，根据－k是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出k＞0，故一次函数y＝ax＋k的图象经过第一、二、三象限．故选A.A 例7要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? C(3，0)B(1，3)AxOy123123解：建立如图的平面直角坐标系，点(1，3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数解析式为∵这段抛物线经过点(3，0)，∴0=a(3－1)2＋3.解得∴抛物线的解析式为y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).当x=0时，y=2.25.答：水管长应为2.25m.a=-.34y=(x－1)2＋3(0≤x≤3).34- 二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x＋3)2＋5向上(1，－2)向下向下(3，7)(2，－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3，5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格： 2.抛物线y=-3x2+2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为_________________.3.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位长度，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为_______________.y=2(x-3)2-3 4.已知函数y＝﹣(x﹣4)2﹣1.(3)怎样移动抛物线y＝﹣x2，就可以得到抛物线y＝﹣(x﹣4)2﹣1?(1)指出函数图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标为；(2)当x时，y随x的增大而减小；向下直线x＝4(4，﹣1)＞4解：将抛物线y＝﹣x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y＝﹣(x﹣4)2﹣1. 5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，(2)方法一:根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2.解：解得a＝1. 方法二：∵抛物线y＝a(x－1)2－4的对称轴是直线x=1，∴当y1＝y2时，A、B两点关于直线x=1对称.∴，化简，得2m＋n＝2.要点归纳：对于抛物线y＝a(x－h)2+k(a≠0)上的两个不同点M(x1，y1)，N(x2，y2)，若y1=y2，则必有，即x1+x2=2h. 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质图象特点当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)平移规律左右平移：自变量左加右减；上下平移：常数项上加下减.