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第二十二章 二次函数
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22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)² k的图象和性质导学案
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第二十二章二次函数22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质学习目标:1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质并会应用.3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.重点:掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用其解决问题.难点:理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.自主学习一、知识链接1.分别说说下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况.(1)y=ax2;(2)y=ax2+k;(3)y=a(x-h)2.2.请说出抛物线y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值?3.把y=-2x2的图象向上平移3个单位长度得到?向左平移2个单位长度得到?4.请猜测一下,二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2的图象平移得到?你认为该如何平移呢?学完本课时你就会明白.课堂探究二、要点探究探究点1:二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质典例精析例1画出函数的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点.试一试画出二次函数的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 要点归纳:二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质当a>0时,抛物线开口方向向上,对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,k),当x=h时,y有最小值为k.当x<h时,y随x的增大而减小;x>h时,y随x的增大而增大.当a<0时,抛物线开口方向向下,对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,k),当x=h时,y有最大值为k.当x<h时,y随x的增大而增大;x>h时,y随x的增大而减小.例2对于二次函数y=-2(x+1)2-4,下列说法正确的是()A.图象开口向上B.图象的对称轴为直线x=1C.图象的顶点坐标为(1,4)D.当x<-1时,y随x的增大而增大例3已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)指出抛物线的对称轴;(2)求a的值;(3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.探究点2:二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)的关系例4怎样移动抛物线才可以得到抛物线?知识要点:二次函数y=ax2与y=a(x±h)2±k的关系上下平移,常数项上加下减,其他不变;左右平移,自变量左加右减,其他不变.二次项系数a不变.例5将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为( )A.y=2(x-4)2-1B.y=2(x+4)2+1C.y=2(x-4)2+1D.y=2(x+4)2-1变式训练将抛物线y=5(x-1)2+1向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,则所得抛物线的解析式为( )A.y=5(x+2)2+3B.y=5(x-4)2﹣1C.y=5(x-4)2+3D.y=5(x-3)2+4例6已知二次函数y=a(x-1)2-k的图象如图所示,则一次函数y=ax+k的大致图象是( ) 例7要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?三、课堂小结二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质图象特点当a>0,开口向上;当a<0,开口向下.对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k).平移规律左右平移:自变量左加右减;上下平移:常数项上加下减.一般地,抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2的形状相同,位置不同.当堂检测1.完成下列表格.抛物线开口方向对称轴顶点坐标2.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线的解析式为.3.抛物线y=2x2不动,把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位,则在新坐标系下,此抛物线的解析式为__________________.4.已知函数y=-(x-4)2-1.(1)指出函数图象的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标为 ;(2)当x 时,y随x的增大而减小;(3)怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=-(x-4)2-1. 5.已知二次函数y=a(x-1)2-4的图象经过点(3,0).(1)求a的值;(2)若A(m,y1)、B(m+n,y2)(n>0)是该函数图象上的两点,当y1=y2时,求m、n之间的数量关系.参考答案自主学习知识链接1.(1)对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),当a>0时,图象的开口向上,有最低点(即最小值为0),当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大.当a<0时,图象的开口向下,有最高点(即最大值为0),当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小.(2)对称轴为y轴,顶点坐标为(0,k),当a>0时,图象的开口向上,有最低点(即最小值为k),当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大.当a<0时,图象的开口向下,有最高点(即最大值为k),当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小.(3)对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,0),当a>0时,图象的开口向上,有最低点(即最小值为0),当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.当a<0时,图象的开口向下,有最高点(即最大值为0),当x<h时,y随x增大而增大;当x>h时,y随x增大而减小.2.开口方向向上;顶点坐标是(0,0);对称轴是直线x=0;y最大值=03.把y=-2x2的图象向上平移3个单位,得到y=-2x2+3的图象,把y=-2x2的图象向左平移2个单位,得到y=-2(x+2)2的图象.4.可以,将y=-2x2的图象向上平移3个单位,再向左平移2个单位(或向左平移2个单位,再向上平移3个单位).课堂探究二、要点探究探究点1:二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质典例精析例1列表如下:x…-4-3-2-1012…y=(x+1)2-1-3-1-3描点、连线如图①所示,开口方向向下;对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1). 图①图②试一试解:函数y=2(x+1)2-2图象如图②所示.开口方向向上;对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2).例2D例3解:(1)由y=a(x-3)2+2可知顶点为(3,2),对称轴为直线x=3.(2)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),∴-2=a(1-3)2+2,∴a=-1.(3)∵y=-(x-3)2+2,∴此函数的图象开口向下,当x<3时,y随x的增大而增大,当x>3时,y随x的增大而减小,∵点A(m,y1),(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,∴y1<y2.探究点2:二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系例4解:方法一:抛物线向下平移1个单位,再向左平移1个单位;方法二:抛物线向左平移1个单位,再向下平移1个单位;例5B变式C例6A例7解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).∵这段抛物线经过点(3,0),∴0=a(3-1)2+3.解得a=.因此抛物线的解析式为y=(x-1)2+3(0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.当堂检测1.填表如下:抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上直线x=-3(-3,5) 向下直线x=1(1,-2)向上直线x=3(3,7)向下直线x=2(2,-6)2.3.4.(1)向下直线x=4(4,-1)(2)>4(3)解:将抛物线y=-x2向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度就可以得到抛物线y=-(x-4)2-1.5.解:(1)将(3,0)代入y=a(x-1)2-4,得0=4a-4,解得a=1;(2)方法一:根据题意,得y1=(m-1)2-4,y2=(m+n-1)2-4,∵y1=y2,∴(m-1)2-4=(m+n-1)2-4,即(m-1)2=(m+n-1)2.∵n>0,∴m-1=-(m+n-1),化简,得2m+n=2;方法二:∵抛物线y=a(x-1)2-4的对称轴是直线x=1,则当y1=y2时,A、B两点关于对称轴对称∴,化简,得2m+n=2.
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初中 - 数学
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