22.1.3 第1课时 二次函数y=ax² k的图象和性质导学案

第二十二章二次函数22.1.3二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质学习目标：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.3.理解y=ax2与y=ax2+k之间的联系.重点：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.2.理解y=ax2与y=ax2+k之间的联系.难点：掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用其解决问题.自主学习一、知识链接1.用描点法画出二次函数y=4x2的图象.2.函数y=－3x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而.课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质合作探究在同一直角坐标系内画出函数+1，-1的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是____________________；(2)两条抛物线的开口方向____________________；(3)对称轴都是____________________；(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________；(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、_______﹑________；(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________. 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？典例精析例1关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　）A．其图象的开口方向向上B．当x=0时，y有最大值4C．其图象的对称轴是y轴D．其图象的顶点坐标为（0，4）探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质做一做在同一坐标系内画出，，的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是____________________；(2)三条抛物线的开口方向____________________；(3)对称轴都是____________________；(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________；(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________；(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________.要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质：①当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大；②当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.例2关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是（　　）A．开口方向相同B．顶点相同C．对称轴相同D．当x＞0时，y随x的增大而增大探究点3：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移做一做：填写下表，画出二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2－1的图象x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2+1……y=2x2…… y=2x2-1……观察上述图象，说说它们之间的区别与联系.知识要点：二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的图象的关系二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时，向上平移k个单位长度得到.当k<0时，向下平移－k个单位长度得到.上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.练一练二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到想一想1.要得到函数y=ax2+k(a≠0)的图象有哪些方法？2.抛物线y=ax2+k(a≠0)中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 例3在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（　　）变式训练在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象可能是(　　)方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．三、课堂小结二次函y=ax2+k(a≠0)的图象和性质图象1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴性质增减性结合开口方向和对称轴才能确定与y=ax2(a≠0)的关系平移规律：k正向上；k负向下当堂检测1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．2.填表 函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y = 3x2y = 3x2＋1y =－4x2－53.已知(m，n)在y=ax2+a(a≠0)的图象上，则点(－m，n)(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a≠0)的图象上.4.若y=x2+(k－2)的顶点是原点，则k；若顶点位于x轴上方，则k；若顶点位于x轴下方，则k.5.已知抛物线y=(a－2)x2+a2－2的最高点为(0，2)，则a=.6.已知抛物线y=ax2+k.（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0，-3)，则该抛物线的函数表达式是____________;（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______，k=______;（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1，5)，则该抛物线的解析式是__________，将此抛物线向下平移3个单位，得到的新的抛物线的解析式是_____________.能力提升：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．参考答案自主学习知识链接1.画图略2.向下y轴（0，0）增大减小 课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质合作探究列表如下：x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…y=2x2-1…3.51-0.5-1-0.513.5…描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.图①图②根据图象回答下列问题:(1)抛物线(2)向上(3)y轴(4)(0，1)，(0，−1)（5）低小y=1y=−1（6）对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大典例精析例1B探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质做一做二次函数，，的图象如图②所示.（1）抛物线（2）向下（3）y轴（或直线x=0）(4)(0,2),(0,0),（0，-2）(5)高大y=2y=0y=-2(6)对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 例2C探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移探究1x…－1.5-1-0.500.511.5…y=2x2+1…5.531.511.535.5…y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2-1…3.51-0.5-1-0.513.5…探究2画图如图所示.从形的角度探究上y=2x2+1下y=2x2-1练一练D想一想1.第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k︱个单位长度.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.2.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标，对称轴为y轴；顶点坐标为(0，k). 例3D变式训练D当堂检测1.y=2x2－42.函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y = 3x2向上（0,0）y轴有最低点y = 3x2＋1向上（0,1）y轴有最低点y =－4x2－5向下（0,-5）y轴有最高点3.在4.=2＞2＜25.-26.（1）y=-2x2-3（2）-0.5-3（3）y=x2+4y=x2+1能力提升解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.由于S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，则×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝±2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，－2)，(－，－2)．