华师大版九下数学26.2.2第1课时二次函数y=ax2 k的图象与性质导学案

26.2二次函数的图象与性质 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质 学习目标：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点） 3.理解y=ax²与y=ax²+k之间的联系.（重点） 自主学习一、知识链接1.填写下表：y=3x2y=-3x2开口方向顶点坐标对称轴增减性在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而.在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而.2.将直线y=2x向上平移2个单位，得到的新的直线的表达式为______________;直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过怎样的变换得到的？思考：y=x2与y=x2+3的图象之间能通过平移变换得到吗？二、新知预习（预习课本P9-10）试说出函数y=ax2+k（a,k是常数，且a≠0）的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标：开口方向对称轴顶点坐标y=ax2+ka＞0开口向______a＜0开口向______练习：1.抛物线y=x2-3的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看做是由抛物线y=x2向平移个单位得到.2.将抛物线y=2x2-3的图象向上平移4个单位后，所得抛物线是，其顶点坐标是，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y取最值，为. 合作探究一、要点探究探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移做一做在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象．(1)列表:x···-1.5-1011.5···y1=2x2······y2=2x2+1······（2）列表，连线.（3）观察列表，当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？（4）将（3）中的数值转换为坐标，反映在函数图象上，观察图象，相应的两个点之间的位置有什么关系？【要点归纳】二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时，向上平移k个单位得到.当k<0时，向下平移－k个单位得到.规律总结为：平方项不变，常数项上加下减.【典例精析】例1抛物线y=2x2-5通过平移，得到抛物线y=2x2，则平移方式正确的是（　　）A．向左平移5个单位B．向右平移5个单位C．向上平移5个单位D．向下平移5个单位【针对训练】（1）将抛物线y=-x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的表达式是_______________;(2)将抛物线y=x2+2向下平移4个单位后所得新抛物线的表达式为___________________.探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质思考图形平移之后，性质会发生改变吗？你能通过二次函数y=2x2的性质推断出函数y=2x2+1的性质吗？观察观察二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象，填写下表：二次函数开口方向顶点坐标对称轴增减性y1=2x2向_______________当x____0时，y随x的增大而增大； y2=2x2+1向_______________当x____0时，y随x的增大而减小【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.做一做在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象，并说一说它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性.观察与思考根据图象回答下列问题:(1)三条抛物线的开口方向_____________；(2)对称轴都是____________________；(3)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(4)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、______﹑______.(5)函数的增减性都相同:_____________________________________.【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.【典例精析】例2关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（）A．其图象的开口方向向上B．当x=0时，y有最大值4C．其图象的对称轴是y轴D．其图象的顶点坐标为（0，4）【针对训练】关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是（）A．开口方向相同B．顶点相同C．对称轴相同D．当x＞0时，y随x的增大而增大例3在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝-x2+1的图象大致是（）【针对训练】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为()【方法归纳】熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． 一、课堂小结二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质图象的特点a>0开口向_____；对称轴是_________，顶点坐标是_________.当x________时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小a<0开口向_____.对称轴是_________，顶点坐标是_________.当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小平移规律k正向_____平移；k负向下_____平移.当堂检测1.对于抛物线y=2x2-1,下列说法中，正确的有______________(填序号).①顶点坐标为（-1,0）；②对称轴为y轴；③开口方向向上；④可由抛物线y=2x2向下平移1个单位得到；⑤(-1,y1),(-3,y2)是该抛物线上的两个点，则y1＜y2.2.已知抛物线y=ax2+k.（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是____________;（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______,k=______;（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________.3.二次函数y=a+(m-5)的图象的顶点在x轴下方，求m的值.4.已知二次函数y=x2+k的图象经过点P（-2，3）.（1）求二次函数的表达式；（2）画出此二次函数的图象；（3）若该二次函数图象的顶点为D，与x轴正半轴的交点为A，求△APD的面积.参考答案自主学习一、知识链接1.向上向下（0,0）（0,0）y轴y轴减小增大增大减小2.y=2x+2直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过向下平移3个单位得到二、新知预习开口方向对称轴顶点坐标 y=ax2+ka＞0开口向上y轴（0，k）a＜0开口向下y轴（0，k）练习：1.向上y轴（0，-3）下32.y=2x2+1（0,1）＞0＜0=0小1合作探究一、要点探究探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移做一做：（1）填表如下：x···－1.5－1011.5···y1=2x2···4.52024.5···y2=2x2+1···5.53135.5···（2）列表，连线如图①所示：（3）当自变量x取同一数值时，函数值y2比y1大1.（4）函数y2=2x2+1的图象上的每一点都在函数y1=2x2的图象上相应点的上方1个单位.【典例精析】例1C【针对训练】（1）y=-x2+3(2)y=x2-2图①图②探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质观察填表如下：二次函数开口方向顶点坐标对称轴增减性y=2x2向上（0,0）y轴当x＞0时，y随x的增大而增大；y=2x2+1向上（0,1）y轴当x＜0时，y随x的增大而减小做一做：二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象如图②所示.观察与思考（1）向下（2）y轴（或直线x=0）(3)(0,2),(0,0),（0，－2）（4）高大y=2y=0y=－2（5）对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小【典例精析】例2B【针对训练】C例3D【针对训练】D二、课堂小结上y轴（0，k）＞0＜0下y轴（0，k）＜0＞0上下 当堂检测1.②③④⑤2.（1）y=-2x2-3（2）-0.5-3（3）y=x2+4y=x2+13.解：由题意得m2-4m-3=2，且m-5＜0，则m=-1.4.解：（1）把（-2，3）代入y=x2+k得4+k=3，解得k=-1，所以二次函数的表达式为y=x2-1；（2）抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），当y=0时，x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（1，0），如图所示.（3）设直线PD的表达式为y=kx+b,将点（-2,3），（0，-1）代人得解得即直线PD的表达式为y=-2x-1.当y=0时，-2x-1=0,解得x=.设直线PD与x轴的交点为C，则C.∴S△APD=S△APC+S△ADC==3.