22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质课件

22.1.3二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质第二十二章二次函数第2课时二次函数y=a(x−h)2的图象和性质 复习引入 a,k的符号a>0，k>0a>0，k<0a<0，k>0a<0，k<0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0，k）（0，k）当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=kx=0时，y最大值=k问题1说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象特征. 问题2二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的图象有何关系？二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到：当k＞0时，向上平移k个单位长度得到.当k＜0时，向下平移-k个单位长度得到.问题3函数的图象，能否由函数的图象平移得到？形状开口均相同，应该也能. 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质互动探究引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数与的图象．解：先列表：x···−3−2−10123··············· xy−4−3−2−1O1234123456描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上向上y轴直线x=2(0，0)(2，0)根据所画图象，填写下表： x···−3−2−10123···············−2−4.5−200−2−2−4.5−8−8-22-2-4-64-4Oxy试一试画出二次函数的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点． 抛物线开口方向对称轴顶点坐标向下直线x=-1(−1，0)直线x=0直线x=1向下向下(0，0)(1，0)想一想：通过上述例子，得出函数y=a(x-h)2的图象特征和性质是什么？-22-2-4-64-4Oxy 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质y=a(x-h)2a＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性知识要点向上向下直线x=h直线x=h(h，0)(h，0)当x=h时，y最小值=0当x=h时，y最大值=0当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小. (1)完成下表；x……y……(2)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．例1已知二次函数y＝(x﹣1)2．-10123202解：描点，画出该二次函数图象如右：-12241-2Oxy3 (3)写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；(4)当x取何值时，y随x的增大而增大？解：对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1，0).解：当x＞1时，y随x的增大而增大.O-12244-2xy31 (5)若3≤x≤5，求y的取值范围；想一想：若−1≤x≤5，y的取值范围是什么？解：∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2；当x=5时，y=8，∵当−1≤x≤5时，y的最小值为0，∴当−1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值∴当3≤x≤5时，y的取值范围是2≤y≤8.O-12244xy31 (6)若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．解：∵m＞1，∴1＜m＜m+1.变式：若点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y1，y2的大小，并说明理由．解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2.O-12244xy 向右平移1个单位向左平移1个单位想一想抛物线，与抛物线有什么关系？O−22-2-4-64−4xy形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 知识要点二次函数y=a(x±h)2与y=ax2(a≠0)的图象的关系可以看作互相平移得到(h>0)：左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变.向右平移h个单位y=a(x-h)2向左平移h个单位y=ax2y=a(x+h)2 例2抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数解析式．解：抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后，得到的抛物线为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得∴平移后的函数解析式为y＝(x－3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，自变量x应“减去3”；若向左平移3个单位，自变量x应“加上3”，即“左加右减”. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是()A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度练一练C 1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上直线x=3(3，0)直线x=2直线x=1向下向上(2，0)(1，0) 2.如果二次函数y＝a(x﹣1)2(a≠0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是______．a＞03.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后的抛物线解析式是.y=-(x+3)2或y=-(x-3)24.若(-，y1)，(-，y2)，(，y3)为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_____________.y1＞y2＞y3 5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，并指出两个图象之间的平移关系．解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象可由函数y=2x2的图象向右平移2个单位长度得到.yOxy=2x22 已知二次函数y＝(x﹣h)2(h为常数)，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值.能力提升思路分析二次函数图象的对称轴h未知，故应分类讨论：分类讨论h＜−1−1≤h≤3h＞3x=−1时取最小值x=3时取最小值y的最小值为0①②③ 解：由题意知，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，故可分三种讨论：①若h＜−1≤x≤3，则当x＝−1时，y取得最小值4，可得(−1−h)2＝4，解得h＝1（舍）或h＝−3；②若−1≤x≤3＜h，则当x＝3时，y取得最小值4，可得(3−h)2＝4，解得h＝1（舍）或h＝5；综上可知，h的值为−3或5.③若−1＜h＜3，则当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去． 平移规律：自变量左加右减，括号外保持不变.复习y=ax2+k探索y=a(x±h)2的图象及性质图象画法图象的特征描点法平移法开口方向及增减性顶点坐标对称轴平移关系直线x=h(h，0)a>0，开口向上；a<0，开口向下.a的符号和h的值决定增减性y=ax2