22.1.3 第1课时 二次函数y=ax² k的图象和性质课件

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十二章二次函数第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 情境引入这个函数的图象是如何画出来的？xyO 在同一坐标系内画出二次函数的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.合作探究解：先列表：x···−2−1.5−1−0.500.511.52···············二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质 yx−3−2−1o123123456描点、连线，画出这两个函数的图象.78910 根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是；(2)图形的开口方向；(3)对称轴都是；(4)从上而下顶点坐标分别是_________________；抛物线向上y轴(0，1)，(0，−1)yx−3−2−1o12312345678910 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________；(6)函数的增减性都相同：______________________________________________________.低小y=−1y=1对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大yx−3−2−1o12312345678910想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？ 例1关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是()A．其图象的开口方向向上B．当x=0时，y有最大值4C．其图象的对称轴是y轴D．其图象的顶点坐标为(0，4)B典例精析 做一做：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.2O-22xy-2-4二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质 根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是.(2)三条抛物线的开口方向；(3)对称轴都是；(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________；2O-22xy-2-4抛物线向下y轴(0，0)，(0，2)，(0，−2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________.(6)函数的增减性都相同：_____________________________________________________.2O-22xy-2-4高大y=0y=−2y=2对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小 二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质y=ax2+ka＞0a＜0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性要点归纳向上向下y轴y轴(0，k)当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.(0，k) 例2关于抛物线y=−x2+1与y=x2−1，下列说法正确的是（　　）A．开口方向相同B．顶点相同C．对称轴相同D．当x＞0时，y随x的增大而增大C典例精析 做一做：填写下表，画出二次函数y=2x²，y=2x2+1，y=2x2−1的图象.x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2+1……y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2-1……3.51−0.51−0.5−13.55.51.531.5135.5二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移 xyO-222464-48y=2x2+1y=2x2y=2x2−1观察上述图象，说说它们之间的区别与联系.-1 解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2−1+1−1点的坐标函数对应值表x…−1.5−101y=2x2-1…y=2x2…y=2x2+1…4.53.55.521321(x，)(x，)(x，)2x2−12x22x2+1从数的角度探究3−101 xyO-222464-48y=2x2+1y=2x2y=2x2−1从形的角度探究可以发现，把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线.下y=2x2+1上-1y=2x2-1 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时，向上平移k个单位长度得到.当k<0时，向下平移-k个单位长度得到.二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.知识要点 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位长度得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到练一练D 想一想1.要得到函数y=ax2+k(a≠0)的图象有哪些方法？2.抛物线y=ax2+k(a≠0)中的a决定什么？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步，即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k︱单位；第二种方法：描点作图法，三步，即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标；对称轴为y轴；顶点坐标为(0，k). 例3在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝−x2+1的图象大致是（）ABCDD分析：∵y＝3x的比例系数k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，即直线从左到右呈上升趋势，故排除A、C.又∵二次函数y＝−x2+1的图象开口向下，∴排除B. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象可能是()方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．D变式训练 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线___________.2.填表：y=2x2−4函数开口方向顶点对称轴有最高(低)点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2-5向上向上向下(0，0)(0，1)(0，−5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点 3.已知(m，n)在y=ax2+a(a≠0)的图象上，则点(−m，n)____(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a≠0)的图象上.4.若y=x2+k−2的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k.在=2>2<25.已知抛物线y=(a−2)x2+a2−2的最高点为(0，2)，则a=____.−2 6.已知抛物线y=ax2+k.(1)若该抛物线的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0，−3)，则该抛物线的解析式为__________；(2)若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的解析式为y=−0.5x2−1，则a=_____，k=____；(3)若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1，5)，则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移3个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.y=−2x2−3−0.5−3y=x2+4y=x2+1 能力提升如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.设P点纵坐标为b，∵S△PAB＝4，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，－2)，(－，－2). 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2(a≠0)的关系1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴增减性结合开口方向和对称轴才能确定平移规律：k正向上；k负向下