第三章圆综合练习题（北师大版九下）

圆一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1.如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，．（1）求证：，并求的长；（2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.1．解：，.，．又，．　　．．（舍负）．　　（2）直线与相切．　　连接．为的直径，．在中，由勾股定理，得．．，．（或，是等边三角形，．，．）．⊥．又点A在圆上，直线与相切．2.已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积．17 2．（1）证明：连接DO.∵是等边三角形，∴∠C=60°，∠A=60°，∵OA=OD，∴是等边三角形.∴∠ADO=60°.∵DF⊥BC，∴∠CDF=30°.∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°.∴DF为⊙O的切线.（2）∵是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2.Rt中，∠CDF=30°，∴CF=CD=1.∴DF=.（3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴.∵，∴.∴．∴．∴．3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．（1）请证明：是的中点；（2）若，求的长．3、（1）证明：连接，如图，且过圆心，，是等边三角形．在中，，点为的中点（2）解：在中，又，4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．17 （1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．4．（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°.∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=.∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=.∵AQ=AC+CQ=1+，AP=，∴BP=AB－AP=PO=AP－AO=，∴BP∶PO=.5．已知:如图,BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C,交半圆O于点E，且E为的中点.（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若，求的长．5.解：（1）连接OE,∵E为的中点，∴．∴.∵，∴.∴.∴OE∥BC.∵BC⊥AC，∴∠C=90°.∴∠AEO=∠C=90°.即OE⊥AC.又OE为半圆O的半径，∴AC是半圆O的切线.（2）设的半径为，∵，∴.∴.∴.∵OE∥BC，∴.∴.即∴.6.如图，内接于⊙O，过点的直线交⊙O于点，交的延长线于点，且AB2=AP·AD（1）求证：；（2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.17 6.解：（1）证明：联结BP．∵　AB2=AP·AD，∴　=．∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，∴∠ABC=∠APB，∵∠ACB=∠APB，∴∠ABC=∠ACB．∴AB=AC.（2）由（1）知AB=AC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC=60°，∵P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，∴∠BAP=90°，∴　BP是⊙O的直径，∴　BP=2，∴AP=BP=1，在Rt△PAB中，由勾股定理得　AB2=BP2－AP2=3，　∴AD==3．7．如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5,DC=3,求AC的长.7.（1）证明:如图1，连接OD.∵OA=OD,AD平分∠BAC,∴∠ODA=∠OAD,∠OAD=∠CAD.∴∠ODA=∠CAD.∴OD//AC.∴∠ODB=∠C=90°.∴BC是⊙O的切线.图1（2）解法一:如图2，过D作DE⊥AB于E.∴∠AED=∠C=90°.又∵AD=AD,∠EAD=∠CAD,∴△AED≌△ACD.∴AE=AC,DE=DC=3.在Rt△BED中，∠BED=90°,由勾股定理，得BE=.图2设AC=x（x>0）,则AE=x.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=BD+DC=8,AB=x+4,由勾股定理，得x2+82=(x+4)2.解得x=6.即AC=6.解法二:如图3，延长AC到E，使得AE=AB.∵AD=AD,∠EAD=∠BAD,∴△AED≌△ABD.∴ED=BD=5.在Rt△DCE中，∠DCE=90°,由勾股定理，得CE=.………………………5分图317 在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=BD+DC=8,由勾股定理，得AC2+BC2=AB2.即AC2+82=(AC+4)2.解得AC=6.8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长.8、证明：（1）连结BD，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠１＝∠2．即：∠ACO=∠BCD．解：（2）由（1）问可知，∠A=∠2，∠AEC=∠CEB.∴△ACE∽△CBE．∴∴CE2=BE·AE．又CD=8，∴CE=DE=4．∴AE=8．∴AB=10．∴AC=9．如图，已知为⊙的直径，点、在⊙上，，垂足为，交于，且．（1）求证：；（2）如果，，求的长．9．解：（1）延长AD与⊙O交于点G．∵直径BC⊥弦AG于点D，∴．∴∠AFB=∠BAE．∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE．∴∠ABE=∠AFB．∴AB=AF．（2）在Rt△EDB中，sin∠FBC=．设ED=3x，BE=5x，则AE=5x，AD=8x，在Rt△EDB中，由勾股定理得BD=4x．在Rt△ADB中，由勾股定理得BD2+AD2=AB2．∵AB=4，∴．17 ∴x=1（负舍）．∴AD=8x=8．10．如图，已知直径与等边的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G。（1）求证：；（2）若的边长为a，求的面积.10.(1)是等边三角形,,,AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，BD=BE.,,有DE//AC.(2)分别连结OD、OE,作EHAC于点H.AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，，OD=OE，AD=EC.,有AO=OC=.圆O的直径等于的高,得半径OG=,CG=OC+OG=+.,,EH=.CGEH=(+)·,=.11．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，AP=，求⊙O半径的长.17 11、解：（1）直线PQ与⊙O相切.连结OP、CP.∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC＝90°.又∵Q是AC的中点，∴PQ=CQ=AQ.∴∠3＝∠4.∵∠BCA=90°，∴∠2+∠4=90°.∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3=90°.即∠OPQ=90°.∴直线PQ与⊙O相切.（2）∵∠A＝30°，AP=，∴在Rt△APC中，可求AC=4.∴在Rt△ABC中，可求BC=.∴BO=.∴⊙O半径的长为.12．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，，若点P是⊙O上的一个动点,且∠,AB=时，求△APC的面积的最大值．12、解:连结OA.由C是OB的中点,且,可证得∠OAB=90°.　则∠O=60°.可求得OA=AC=2.过点O作OE⊥AC于E，且延长EO交圆于点F．则P(F)E是△PAC的AC边上的最大的高.在△OAE中,OA=2,∠AOE=30°,解得.所以.故.即.第13题图13．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.（1）求证：EF⊥AB；（2）求cos∠F的值.17 第13题图13.证明：（1）联结OD∵OC=OD∴∠ODC=∠OCD又∵AB=AC∴∠OCD=∠B∴∠ODC=∠B∴OD∥AB∵ED是⊙的切线，OD是⊙的半径∴OD⊥EF∴AB⊥EF（2）联结AD、CG∵AD是⊙的直径∴∠ADC=∠AGC=90°∵AB⊥EF∴DE∥CG∴∠F=∠GCA∵AB=AC∴DC=BC=5Rt△ADC中，∵ADBC=ABCG∴CG=Rt△CGA中，cos∠GCA=∴cos∠F=14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.(1)若⊙O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若⊙O与AF相切.求证:⊙O与AE相切；(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，且AF=3，求的弧长.14.解:（1）证明：连结OB、OA、OC.根据题意,∠OCA=90°.在△ABO与△ACO中,AB=AC,OA=OA,OB=OC,所以△ABO≌△ACO.所以∠OCA=∠OBA=90°.则AE是圆的切线.(2)因∠OCA=∠OBA=90°,且∠EAD=∠FAG=30°,则∠BAC=120°.又,∠OAC=60°,故.所以的长为.17 二、圆与相似综合15．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E.（1）求∠D的度数；（2）求证：；（3）求的值.图315．（1）解：如图3，连结OB.∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∴∠BOC=2∠BAC=90°.∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°.∵AD∥OC，∴∠D=∠OCB=45°.（2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，∴∠BAC=∠D.∵AD∥OC，∴∠ACE=∠DAC.∴△ACE∽△DAC．∴．∴．图4（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA.∵AD∥OC，∴∠F=∠BOC=90°.∵∠ABC=15°，∴∠OBA=∠OBC－∠ABC=30°.∵OA=OB，∴∠FOA=∠OBA＋∠OAB=60°，∠OAF=30°.∴.∵AD∥OC，∴△BOC∽△BFD．∴．∴，即的值为2.解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=，OM=，，，BE=，AE=，所以.16．如图⑴，⊙O的直径为，过半径的中点作弦，在上取一点，分别作直线，交直线于点.⑴求和的度数；⑵求证：∽；⑶如图⑵，若将垂足改取为半径上任意一点，点改取在上，仍作直线，分别交直线于点.试判断：此时是否仍有∽成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。17 （1）（第16题）（2）16．解：（1）∵AB为直径，，∴，.在中，∵，∴.∴.又∵,∴.（2）证明：∵,∴.在和中，，∴≌.∴.又∵，∴.∴∽（3）结论仍成立.证明如下：∵，又∵，∴.∵AB为直径，，在和中，，∴≌.∴.∴∽.三、圆与三角函数综合17．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于轴对称，过H作⊙O的切线交轴于点A（如图1）。⑴求⊙O半径；⑵求的值；⑶如图2，设⊙O与轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由。17 图1图217．(1)点在⊙O上，∴⊙O的半径。（2）如图1，联结HD交OA于Q，则HD⊥OA。联结OH，则OH⊥AH。∴∠HAO=∠OHQ。∴。（3）如图2，设点D关于轴的对称点为H，联结HD交OP于Q，则HD⊥OP。又DE=DF，∴DH平分∠BDC。∴。∴联结OH，则OH⊥BC。图1图2∴∠CGO=∠OHQ。∴四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图，⊙M的圆心在轴上，与坐标轴交于A（0，）、B（－1，0），抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的函数解析式；17 （1）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）若⊙M与轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？18．解：（1）∵抛物线经过点A、B，∴解得∴（2）由得∴顶点P的坐标为（1，）．在Rt△AOM中,MA－MO=OA,OA=,OB=1,MA－(MA－1)=3,∴MA=2.∴MB=2,MO=1,即点O的坐标为（1，0）．∴MP=＞2.∴顶点P在圆外；（３）连结OD，∵点M在抛物线的对称轴上,∴MP∥轴,∴.∴由线段PA、线段PD及弧ABD形成的封闭图形PABD的面积=扇形OAD的面积.∵在Rt△AOM中,sin∠AMO=,∴∠AMO=60°.∴封闭图形PABD的面积=19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；17 （3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．19．解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足．∵CH=1，半径CB=2，∴∠HBC=30°．∴∠BCH=60°．∴∠ACB=120°．（2）∵CH=1，半径CB=2，∴，故，．（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点的坐标为（1，3）．设抛物线解析式为，把点代入解析式，解得．所以．（4）假设存在点使线段与互相平分，则四边形是平行四边形．所以，且．∵轴，∴点在轴上．∵，∴，即．∵满足，∴点在抛物线上．∴存在使线段与互相平分．20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为．（1）求的值及二次函数顶点的坐标；（2）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为，在经过点和点的直线上是否存在一点，使的周长最小，若存在，求出点17 的坐标；若不存在，请说明理由.20.解：（1）由题意得，(1,0),(3,0).则有解得∴二次函数的解析式为．∴顶点的坐标为（2，1）．（2）将平移后的抛物线解析式为，其顶点为(0,0).∵直线经过点（3，0）和点（0，-3），∴直线的解析式为．作点关于直线的对称点，连接、，∴⊥直线，设垂足为，则有，由题意可知，,，∴，．∴.过点作的垂线，垂足为,∴四边形为矩形．．∴．∴直线的解析式为.的解为∴直线与直线的交点为点五、以圆为背景的探究性问题21．下图中,图(1)是一个扇形OAB，将其作如下划分：第一次划分：如图(2)所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交OA于点A1，交OB于点B1，再作∠AOB的平分线，交于点C，交于点C1，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；第二次划分：如图(3)所示，在扇形OC1B1中，按上述划分方式继续划分，即以OC1的一半OA2的长为半径画弧交OC1于点A2，交OB1于点B2，再作∠B1OC1的平分线，交于点D1，交于点D2，可以得到扇形的总数为11个；17 第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；……依次划分下去.(1)根据题意,完成右边的表格；(2)根据右边的表格,请你判断按上述划分方式,能否得到扇形的总数为2008个?为什么?(3)若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m°，且扇形的半径OA的长为R．我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形（或扇形）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S2；……，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn..求的值.21．解：（1）划分次数扇形总个数16211316421……n5n+1（2）不能得到2008个扇形，因为满足5n+1=2008的正整数n不存在；（3）．22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作（如图①）；圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，记作（如图①）请回答下列问题：（1）如图②，猜测并说明理由；（2）如图③，猜测并说明理由.17 图③（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）图①图②22．（1）理由如下：图②EFMN过O点分别作图③NMEF=（2），理由如下：过O点分别作=23．已知：半径为R的⊙经过半径为r的⊙O圆心，⊙与⊙O交于M、N两点．（1）如图1，连接O交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙于点A、B，求的值；（2）若点C为⊙O上一动点.①当点C运动到⊙内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙于A、B两点．请你探索的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；②当点运动到⊙外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索的值（只写出的值，不必证明）．17 23．解：（1）如图1，延长OO′交⊙O于点D，连接AD．∵OD是⊙O′的直径，∴∠DAO=90°．∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB．∴∠BCO=∠DAO=90°．又∠B=∠D，∴△BOC∽△DOA．∴．∴OA•OB=OC•OD=2Rr．即OA•OB=2Rr．（2）①答：OA•OB=2Rr不变．理由：如图2，作⊙O′的直径OD，连接AD、OC，∴∠DAO=90°．∵AB与⊙O相切于点C，∴∠BCO=90°．∴∠BCO=∠DAO．又∠B=∠D，∴△BCO∽△DAO．∴．∴OA•OB=OC•OD=2Rr．②答：OA•OB=2Rr不变．画图如图3．17