12.2 第4课时 “斜边、直角边”导学案

第十二章全等三角形12．2全等三角形的判定第4课时“斜边、直角边”学习目标：1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．重点：会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．难点：探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．自主学习一、知识链接1．我们学过的判定三角形全等的方法有．2．如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E．（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）．二、新知预习如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．（1）△ABC与△DEF全等吗？（2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC是否全等于Rt△DEF．动手画一画．三、我的疑惑____________________________________ 课堂探究一、要点探究探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？作图探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°．再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？知识要点：文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)．判一判：判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边分别相等；（）（3）一个锐角和斜边分别相等；（）（4）两直角边分别相等；（）（5）一条直角边和斜边分别相等．（） 典例精析ABDC例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD．【变式1】如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由．（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）【变式2】如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AD=BC．求证：AC=BD．【变式3】如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系．例2如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE．方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？二、课堂小结直角三角形判定简称图示符号语言斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”或“HL”在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，∴Rt△ABC≌Rt△A1B1C1(HL)．注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中．使用方法：只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)当堂检测1．判定两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A．两条直角边分别相等B．斜边和一锐角分别相等C．斜边和一条直角边分别相等D．两个锐角分别相等2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1B．2C．3D．4第2题图第3题图3．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”），根据是（用简写法）．4．如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE．求证：△EBC≌△DCB． 5．如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．求证：BF=DE．【变式1】如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．求证：BD平分EF．【变式2】如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．想想：BD平分EF吗?能力拓展6．如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 参考答案自主学习一、知识链接1．SSS、SAS、ASA、AAS2．（1）全等ASA（2）全等AAS（3）全等SAS二、新知预习（1）不一定全等（2）全等三、我的疑惑课堂探究一、要点探究探究点：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）问题可以作图探究重合判一判（1）AAS（2）AAS（3）AAS（4）SAS（5）HL典例精析例1证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴BC﹦AD．【变式1】（1）AD=BCHL（2）BD=ACHL（3）∠DAB=∠CBAAAS（4）∠DBA=∠CABAAS【变式2】证明：连接AB．∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ABD和Rt△BAC中，∴Rt△ABD和Rt△BAC（HL），∴AC=BD．【变式3】解：连接BD．∵AB⊥AD，CD⊥BC，∴∠A=∠C=90°．在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）．∴∠ADB=∠CBD．∴AD∥BC．例2证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF．在Rt△ABD和Rt△ABF中∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF．∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE． 例3解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等)．∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B+∠F=90°．当堂检测1．D2．A3．全等HL4．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠BEC=90°．在Rt△EBC和Rt△DCB中，∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL)．5．证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．【变式1】证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°．∵AE=CF，∴AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．在△GBF和△GDE中，∴△GBF≌△GDE（AAS）．∴FG=EG．∴BD平分EF．【变式2】解：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°．∵AE=CF，∴AF=CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴BF=DE．在△GBF和△GDE中，∴△GBF≌△GDE（AAS）．∴FG=EG．∴BD平分EF．能力拓展6．解：（1）当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°．在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵AB＝PQ，BC＝AP，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm．（2）当P运动到与C点重合时，AP＝AC．在Rt△ABC与Rt△PQA中，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)，∴AP＝AC＝10cm．综上，当AP＝5cm或10cm时，△ABC和△APQ全等．