11.3.2 多边形的内角和课件

11.3.2多边形的内角和第十一章三角形11.3多边形及其内角和 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeillesbeepavilion”.情景引入思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？ 问题2你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？问题1三角形的内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.问题3猜想任意四边形的内角和是多少度？多边形的内角和 猜想：四边形ABCD的内角和是360°.问题4你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？猜想与证明方法1：如图，连接AC.则四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×2=360°.ABCD 方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，则该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.ABCDE 方法3：如图，在四边形ABCD内部任取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四边形ABCD的内角和为180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=720°-360°=360°.ABCDE ABCDP方法4：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD的内角和为180°×3-180°=360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解结论：四边形的内角和为360°. 例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=360°，因为∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.典例精析 【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°．∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°．∴△DCF为直角三角形．运用了整体思想 问题5你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?ACDEBABCDEF内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°. n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出的三角形个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形名称···0n-31231234n-2(n-2)·180°1×180°=180°2×180°=360°3×180°=540°4×180°=720°············由特殊到一般 分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想总结归纳多边形的内角和公式n边形的内角和等于(n-2)×180°. 典例精析例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则(n-2)•180°=360°+720°，解得n=8.∴其内角和为(8-2)×180°=1080°.∵这个多边形的每个内角都相等，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°. 例3已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°．(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由；解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对.360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4. (2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值．解：依题意有(n+x-2)×180°-(n-2)×180°=360°，解得x=2．故x的值是2． 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.∵x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，∴x＝180°×7＝1260°.∴7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形.思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间. 例4如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求出∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进而求得∠P的度数．可运用整体思想求解 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-100°-75°-135°=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝∠EAB.同理可得∠ABP＝∠ABC.∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°． 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上五个内角的和是多少？EBCD12345A互补5×180°=900°多边形的外角和 五边形的外角和=360°.=5个平角和－五边形内角和=5×180°－(5－2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？EBCD12345A n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°.=n个平角和－n边形的内角和=n×180°AnA2A3A41234nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和． 问题4：回想正多边形的性质，你知道正n边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)如果正多边形的一个内角是120°，那么这是正____边形；(2)已知某正多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是正____边形.六八 典例精析例5已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360°.解得n=6.∴这个多边形的边数为6. 例6已知一个多边形的每个内角与相邻外角的比都是7∶2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x°，相邻外角为2x°，根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？ 解法二：设这个多边形的边数为n，根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形. 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的每个内角是x°，相邻外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3.故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条． 1.判断正误：(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等．()2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于_____．120° 3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是______米．150 4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，则这个多边形的内角和等于()A.360°B.540°C.720°D.900°C 6.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13．∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°. 能力提升：7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89 多边形及其内角和内角和计算公式(n-2)×180°(n≥3的整数)外角和多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关正多边形每个内角=，每个外角=