11.3.2 多边形的内角和导学案

第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和学习目标：1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.重点：能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.难点：学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.自主学习一、知识链接1.三角形的内角和是多少？2.正方形，长方形的内角和是多少？课堂探究一、要点探究探究点1：多边形的内角和问题1三角形内角和是多少度？问题2你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？问题3猜想任意四边形的内角和是多少度？猜想：四边形ABCD的内角和是360°.问题4你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？证法1：如图，连接AC，所以四边形被分为两个三角形，证法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，所以该四边形被分成三个三角形， 证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形.证法4：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD，将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.结论：四边形的内角和为________.方法总结:这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.【典例精析】例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．问题5你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗? 由特殊到一般名称图形从多边形的一顶点引出的对角线条数分割出三角形个数多边形内角和三角形四边形五边形六边形…………………………n边形要点归纳：n边形的内角和等于____________________.【典例精析】例2：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个内角是多少度？例3：已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，请说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值．【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？例4如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数. 探究点2：多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上五个内角的和是多少？问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．思考：n边形的外角和又是多少呢？要点归纳：n边形的外角和等于360°，与边数无关.问题4：回想正多边形的性质，你知道正n边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？针对训练（1）如果正多边形的一个内角是120°，那么这是正____边形.（2）已知某正多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是______边形.【典例精析】例5：已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.例6：已知一个多边形的每个内角与相邻外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 二、课堂小结多边形的内角和定理(n-2)×180°(n≥_______的整数）多边形的外角和定理多边形的外角和等于_________.特别注意：与边数无关.正多边形每个内角=_______，每个外角=________.当堂检测1.判断正误：（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()（2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()（3）三角形的外角和与八边形的外角和相等．()2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_____米．4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，则这个多边形的内角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°6.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.教学备注配套PPT讲授5.课堂小结6.当堂检测（见幻灯片24-28）拓展提升7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数. 参考答案自主学习一、知识链接1.180°2.360°课堂探究一、要点探究探究点1：多边形的内角和问题1三角形内角和是180°.问题2都是360°.问题3四边形ABCD的内角和是360°.问题4解：证法1：如图，连接AC，所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×2=360°.证法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四边形ABCD的内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.证法4：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD，将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD的内角和为180°×3－180°=360°.结论：360°【典例精析】例1解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°，所以∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.【变式题】证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°.∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°.故△DCF为直角三角形．问题5解：如图，内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°. 由特殊到一般要点归纳(n-2)×180°【典例精析】例2解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．例3解：（1）∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4.（2）依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．【变式题】思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间.解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．例4解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°．探究点2：多边形的外角和问题1互补问题25×180°=900°问题3五边形外角和=5个平角和－五边形内角和=5×180°－(5－2)×180°=360°.思考n边形外角和=n个平角和-n边形内角和=n×180°－(n－2)×180°=360°.问题4每个内角的度数是，每个外角的度数是. 针对训练（1）六（2）正八【典例精析】例5解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360°.解得n=6.∴这个多边形的边数为6.例6解：解法一：设这个多边形的内角为7x°，外角为2x°，根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°，360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.解法二：设这个多边形的边数为n，根据题意得，解得n=9.答：这个多边形是九边形.【变式题】解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．当堂检测1.√×√2.120°3.1504.D5.C6.解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.教学备注配套PPT讲授5.课堂小结6.当堂检测（见幻灯片24-28）拓展提升7.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.