11.2.2 三角形的外角导学案

第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.2三角形的外角学习目标：1.理解并掌握三角形的外角的概念，并能够在复杂图形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和.3.会运用三角形的外角的性质及外角和定理解决问题.重点：三角形的外角的性质和三角形外角和.难点：利用三角形的外角性质解决有关问题.自主学习一、知识链接1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____°.二、新知预习1.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____°，从而∠ACD=______°.2.自主归纳：（1）三角形的外角概念：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的_____组成的角，叫做三角形的外角.（2）三角形外角的性质：如图，∠A+∠B+∠ACB=______°，∠ACB+∠ACD=______°，所以∠A+∠B=______°.即三角形的外角等于与它________的两个内角的和.三、自学自测1.如图，∠AEB是______的外角，∠AFB是______________的外角.第1题图第2题图2.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=120°，∠A=80°，则∠B=_____°.四、我的疑惑_______________________________________________________________________________课堂探究 一、要点探究探究点1：三角形的外角的概念定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角问题1：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？问题2：如上图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？画一画：画出△ABC的所有外角，共有几个呢?总结归纳：三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.∠ACD是△ABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角．练一练：如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？探究点2：三角形外角的性质问题1：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 【验证结论】已知：△ABC如图，求证：∠ACD=∠A+∠B.证明：过C作CE平行于AB，知识要点：三角形的外角_______与它不相邻的两个内角的和.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B.练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：典例精析例1：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.例2：如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【变式题】（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. 方法总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.【拓展探究】（1）如图，试比较∠2、∠1的大小；（2）如图，试比较∠3、∠2、∠1的大小.（提示：利用三角形的外角性质）图图探究点3：三角形的外角和典例精析例3：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.解法二：如图，∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3=180°.解法三：如图，过A作AN平行于BC.思考：你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？要点归纳：三角形的外角和等于360°.二、课堂小结 定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如∠CBD为△ABC的一个外角.基本图形性质三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如∠CBD=∠A+∠C.拓展：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角.如：∠CBD＞∠A，∠CBD＞∠C.三角形的外角和等于360°.当堂检测1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）2.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于（）A.26°B.63°C.37°D.60°3.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是________的外角；（2）若∠B=45°，∠BAE=36°，∠BCE=20°，试求∠AEC的度数.4.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数. 拓展提升5.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.6.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 参考答案自主学习一、知识链接1.三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180°.2.48二、新知预习1.501302.自主归纳：（1）延长线（2）180180∠ACD不相邻三、自学自测1.△ACE△ADF和△BEF2.40四、我的疑惑课堂探究一、要点探究探究点1：三角形的外角的概念问题1解：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.问题2解：∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.画一画解：每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.练一练解：∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.探究点2：三角形外角的性质问题1∠BCD与∠ACB互补.问题2解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.【验证结论】已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.证明：过C作CE平行于AB，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠A（两直线平行，内错角相等），∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.知识要点等于练一练∠1=40°，∠2=140°∠1=18°，∠2=130°典例精析 例1解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.例2解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.【变式题】思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.【拓展探究】解：（1）∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.（2）∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.探究点3：三角形的外角和典例精析例3解：解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.解法三：如图，过A作AM平行于BC，则易得∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°.当堂检测1.×√×√×√2.A3.解：（1）△ADC△ADE（2）解：根据三角形外角的性质有∠ADC=∠B+∠BCE，∠AEC=∠ADC+∠BAE， ∴∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.4.解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又∵∠B=∠BAD，∴∠B=80°×=40°，∴∠C=180°-40°-70°=70°.拓展提升5.解：∵∠1是△FBE的外角，∴∠1=∠B+∠E，同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中，∠C+∠1+∠2=180º，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º.6.360°