第17章一元二次方程17.4一元二次方程的根与系数的关系课件（沪科版八下）

17.4一元二次方程的根与系数的关系 新课导入探究你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和（x1+x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系： 新课探究方程x1x2x1+x2x1x2x2+2x–15=03x2–4x+1=02x2–5x+1=0–53–2–1513143135212 猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1、x2，那么x1+x2=_____，x1x2=_____.你能证你的猜想吗？ 我们知道，一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 所以x1+x2=+==x1x2=·== 如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.韦达定理 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0.设它的两个根为x1，x2，这时韦达定理应是：x1+x2=–p，x1x2=q. 练习不解方程，求下列方程两根的和与积.x2–3x=15；5x2–1=4x2+x解：x1+x2=3x1x2=–15解：化简得x2–x–1=0x1+x2=1x1x2=–1 例1已知关于x的方程2x2+kx–4=0的一个根是–4，求它的另一个根及k的值.解设方程的另一个根是x2，则解方程组，得答：方程的另一个根为，k的值为7. 想一想本题还有别的解法吗？解将x=–4代入方程，得2×（–4）2+（–4）k–4=0.解得k=7.将k=7代入方程，得2x2+7x–4=0，解得 例2方程2x2–3x+1=0的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1–x2的值.解由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=.（x1–x2）2=（x1+x2）2–4x1x2∴x1–x2= 引申：若ax2bxc0（a00）（1）若两根互为相反数，则b0；（2）若两根互为倒数，则ac；（3）若一根为0，则c0；（4）若一根为1，则abc0；（5）若一根为1，则abc0；（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根. 随堂演练1.关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1–，则p=，q=.2.已知方程5x2+kx–6=0的一根是2，则另一根是，k＝.–2–1–7 3.求下列方程的两根x1，x2的和与积：（1）x2–3x+2=0；（2）x2+x=5x+6解：x1+x2=3x1x2=2解：化简得x2–4x–6=0x1+x2=4x1x2=–6 4.x1，x2是方程x2–5x–7=0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）；（2）.解：∵x1，x2是方程x2–5x–7=0的两根.则x1+x2=5，x1x2=–7. 5.已知关于x的方程x2–（2m+3）x+m2=0的两根之和等于两根之积，求m的值.解：设方程x2–（2m+3）x+m2=0的两根为x1，x2.∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=–1.当m=3时，原方程为x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当m=–1时，原方程为x2–x+1=0，b2–4ac=–3<0.方程无实数根，此m值舍去.∴m的值为3. 课堂小结如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.韦达定理