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沪科版数学八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件
沪科版数学八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件
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*17.4一元二次方程的根与系数的关系第17章一元二次方程 复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么?想一想:方程的根与系数a,b,c之间还有其他关系吗?2.如何用判别式来判断一元二次方程根的情况?对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),其判别式Δ=b2-4ac.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根. 算一算解下列方程并完成填空:(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根关系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·x2=-4x1+x2=5x1·x2=6将二次项系数化为1探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜(1)一元二次方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根是什么?若将此方程化为x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗?重要发现方程x2+px+q=0的两根x1,x2满足上面两个关系式(x-x1)(x-x2)=0x2-(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0x1+x2=-p,x1·x2=q 猜一猜(2)通过前面的表格猜想,如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么,你可以发现什么结论? 证一证:注:b2-4ac≥0↗ 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,那么归纳总结 例1利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.解:(1)设方程的两根是x1,x2,由韦达定理,得x1+x2=-7,x1·x2=6.(2)设方程的两根是x1,x2,由韦达定理,得x1+x2=,x1·x2=-1.一元二次方程的根与系数的关系的应用 例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解:设方程的两根分别是x1,x2,其中x1=2.由韦达定理,得x1·x2=2x2=,∴x2=则x1+x2=2+=,解得k=-7.答:方程的另一个根是,k的值为-7. 变式:已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值.解:设方程的两根分别是x1,x2,其中x1=1.由韦达定理,得x1+x2=1+x2=6,∴x2=5.又x1·x2=1×5=,解得m=15.答:方程的另一个根是5,m的值为15. 例3不解方程,求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解:根据根与系数的关系可知 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根,则(1)x1+x2=;(2)x1·x2=;(3);(4).411412练一练 例4设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且x12+x22=4,求k的值.解:由方程有两个实数根,得Δ=4(k-1)2-4k2≥0,即-8k+4≥0,由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4=4.解得k1=0,k2=4.∵,∴k=0. 有关韦达定理的常见的求值式子如下:求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1,则p=,q=.1-21.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根,那么另一个根是,m=____.___-3 3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值.解:将x=1代入方程中,得3-19+m=0.解得m=16.设另一个根为x1,则有1·x1=∴x1= 4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4.(1)求k的值;(2)求(x1-x2)2的值.解:(1)根据韦达定理,得∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7.(2)∵k=-7,∴则 5.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根,利用根与系数之间的关系,求下列各式的值:(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:由根与系数的关系,得(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=(2) 6.当k为何值时,方程2x2-kx+1=0的两根之差为1?解:设方程两根分别为x1,x2(x1>x2),则x1-x2=1.∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,拓展提升由根与系数的关系,得 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;(2)若方程两根x1,x2满足|x1-x2|=1,求m的值.解:(1)∵方程有实数根,∴Δ=(-2m)2-4m(m-2)=4m2-4m+8m=8m≥0.∵m≠0∴m的取值范围是m>0.(2)由韦达定理得解得m=8,符合题意.∵|x1-x2|=1, 根与系数的关系(韦达定理)内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么应用……
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初中 - 数学
发布时间:2023-03-29 17:54:01
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文章作者:xihulunjian123
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