沪科版数学八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件

*17.4一元二次方程的根与系数的关系第17章一元二次方程 复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的根与系数a，b，c之间还有其他关系吗？2.如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其判别式Δ=b2-4ac.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根. 算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0；(2)x2-5x+6=0；(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根关系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·x2=-4x1+x2=5x1·x2=6将二次项系数化为1探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜（1）一元二次方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？若将此方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？重要发现方程x2+px+q=0的两根x1，x2满足上面两个关系式(x-x1)(x-x2)=0x2-(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0x1+x2=-p，x1·x2=q 猜一猜（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么，你可以发现什么结论？ 证一证：注：b2-4ac≥0↗ 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么归纳总结 例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.解:（1）设方程的两根是x1，x2，由韦达定理，得x1+x2=-7，x1·x2=6.（2）设方程的两根是x1，x2，由韦达定理，得x1+x2=，x1·x2=-1.一元二次方程的根与系数的关系的应用 例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两根分别是x1，x2，其中x1=2.由韦达定理，得x1·x2=2x2=，∴x2=则x1+x2=2+=，解得k=-7.答：方程的另一个根是，k的值为-7. 变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两根分别是x1，x2，其中x1=1.由韦达定理，得x1+x2=1+x2=6，∴x2=5.又x1·x2=1×5=，解得m=15.答：方程的另一个根是5，m的值为15. 例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则(1)x1+x2=；(2)x1·x2=；(3)；(4).411412练一练 例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4(k-1)2-4k2≥0，即-8k+4≥0，由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1)，x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4=4.解得k1=0，k2=4.∵，∴k=0. 有关韦达定理的常见的求值式子如下：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则p=，q=.1-21.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根，那么另一个根是，m=____.___-3 3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中，得3-19+m=0.解得m=16.设另一个根为x1，则有1·x1=∴x1= 4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4.（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根据韦达定理，得∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7.（2）∵k=-7，∴则 5.设x1，x2是方程3x2+4x–3=0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)；(2)解：由根与系数的关系，得（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2） 6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根之差为1？解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，拓展提升由根与系数的关系，得 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=1，求m的值.解:（1）∵方程有实数根，∴Δ=(-2m)2-4m(m-2)=4m2-4m+8m=8m≥0.∵m≠0∴m的取值范围是m＞0.（2）由韦达定理得解得m=8，符合题意.∵|x1-x2|=1， 根与系数的关系(韦达定理)内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，那么应用……