第17章一元二次方程17.4一元二次方程的根与系数的关系教案（沪科版八下）

17.4一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用;2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.【过程与方法】培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.【情感态度】1.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.【教学重点】根与系数的关系及其推导.【教学难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系.一、创设情境，导入新课同学们，我们在前面学习了用求根公式法解一元二次方程.你能说说一元二次方程的求根公式吗？ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0，则它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？这就是我们这节课研究的内容：一元二次方程根与系数的关系【教学说明】通过回顾求根公式，使学生明确方程的根与系数存在一定的关系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础.二、合作探究，探索新知5 1.思考填表，解出下列各方程的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1·x2的值.2.从上面表格中观察以上方程，根与系数的关系有什么规律？你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？3.猜想：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=,x1x2=.【教学说明】通过填表计算，使学生有一个具体的印象，然后让学生猜想根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点.4.那么你能证明这个结论吗？学生尝试证明：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0，b2-4ac≥0中，这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.5.当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x25 +px+q=0.设它的两个根为x1，x2,这时韦达定理应是：x1+x2=-p,x1x2=q.【教学说明】通过推理证明，加深学生对根与系数关系的理解和记忆，在这里要特别注意强调a≠0且b2-4ac≥0这一条件.三、示例讲解，掌握新知例1已知方程2x2+kx－9=0的一个根是－3，求另一根及k的值.先让学生求解，再让学生代表介绍解法.教师展示：解法一：∵方程2x2+kx-9=0的一个根为-3∴2×(-3)2+k·(-3)-9=0，∴k=3,把k=3代入原方程得：2x2+3x-9=0解之得：x1=-3，x2=，∴k=3,方程的另一个根为，解法二：设方程的另一个根为x1，由根与系数的关系可知：-3+x1=-,(-3)x1=-，∴x1=,k=3.b2-4ac=k2+72＞0.从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？【教学说明】通过两种方法的比较，来认识利用根与系数的关系解题的简洁性，同时加深对它的记忆和应用.例2已知α、β是方程x2+2x－2005=0的两个实数根，求α2+3α+β的值.【分析】因为α、β是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将α代入原方程可得α2+2α－2005=0，所以α2+2α=2005，而α2+3α+β=(α2+2α)+(α+β)，利用根与系数的关系可知α+β=－2，从而求出α2+3α+β的值.解：∵α、β是方程x2+2x-2005=0的两根.由根与系数的关系可知：α+β=-2，α2+2α-2005=0,∴α2+2α=2005.∴α2+3α+β=(α2+2α)+(α+β)=2005+(-2)=2003.【教学说明】这是对根与系数关系的复杂应用，教师要先进行引导，强调学生先算什么，再算什么，怎样灵活运用根与系数的关系解决问题.5 四、练习反馈，巩固提高1.若x1、x2是方程x2+x=1的两个根，则x1+x2=，x1·x2=.2.方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1x2-x1-x2=.3.设方程x2-3x-4=0的两个根为x1、x2，求下列各式的值.【教学说明】教师先强调解题的步骤，然后再让学生独立完成，教师对出现的问题及时进行纠正和强调.五、师生互动，课堂小结1.对于ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，若b2－4ac≥0，两根为x1，x2.2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程，即a≠0;（2）方程为一般形式.即形如：ax2+bx+c=0;（3）判别式大于等于零，即b2－4ac≥0【教学说明】教师引导学生进行回顾，重点是对根与系数关系的记忆，还要强调容易忽略的三个问题.完成同步练习册中本课时的练习.5 为了能让学生更好的掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积，故在设计教案时前一段通过计算填表，这样能让学生有一个感性的认识.在教学中要注意以下问题：1.学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清.2.韦达定理导入时，充分挖掘、调动学生的探究精神.3.两根和、两根积有小部分同学有些混淆.5