辽宁省部分学校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题

高一考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册至必修第四册．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个几何体的棱数是奇数，则这个几何体可能是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱1i−2．=（）32i+31311313A．−iB．−+iC．−iD．−+i555555553．若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（）A．该几何体为圆台B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体C．该几何体为圆柱D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体4．已知向量am=(,1)，bm=(1,−1)，若aab⊥+()，则m=（）A．0或2B．2C．0或−2D．−25．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：2023nnππr(cosθθ+isin)=rnn(cosθθ+isin)．根据复数乘方公式，复数−+2cosisin在复平面内55对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，在圆柱OO′中，AB，CD分别为圆O，O′的直径，AB∥CD，AB=BC=2，DE为BC的中点，则一只蚂蚁在圆柱表而从A爬到E的最短路径的长度为（）学科网（北京）股份有限公司 22A．π+1B．41π+C．3D．5ππ7．已知函数fx()=2cosωx+−3（ω>0）在0,上恰有3个零点，则ω的取值范围为312（）A．(40,48]B．[40,48)C．(42,46]D．[42,46)2π8．在直三棱柱ABC−ABC中，∠=BAC，AA=AC=22AB=，O为四边形AACC的中心，则1111113异面直线OB与AB夹角的余弦值为（）115555A．B．C．D．10152025二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A．球心与球面上两个不同的点确定一个平面B．若直线l上任意一点都不在平面α内，则l∥αC．若平面α∥平面β，直线l⊥平面β，则l⊥αD．若直线l∥平面α，直线l⊥平面β，则αβ⊥10．已知A(2,1−)，B(3,2)，C(−1,3)，则（）A．AB=−−(1,3)B．ABAC⋅=99109C．cosABAC,=D．AB在AC上的投影的数量为505211．若xx−+=450（x为复数），则（）00052254A．x=±2iB．x+=4C．x+=8D．xx−=24−55000200xx002712．在正三棱锥P−ABC中，PA与底面ABC所成角的余弦值为，AB=23，则（）7A．PC⊥ABB．三棱锥P−ABC的体积为33π49πC．二面角P−−ABC的大小为D．三棱锥P−ABC的外接球的表面积为33三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．学科网（北京）股份有限公司 113．用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知AB′′=1，AC′′=，则BC=2______．14．已知复数z满足zz=++213i，则zz+=2______．15．在正四棱台ABCD−ABCD中，AB=4，AB=2，AA=6，则该棱台的体积为______．111111116．汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠=BCD30°，∠=BDC70°，∠=BED120°，BE=17.2m，DE=10.32m，在点C测得塔顶A的仰角为62°，则塔高AB=______．（结果精确到1m）．参考数据：取tan62°=1.88，sin70°=0.94，144.9616=12.04．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）22已知复数zaa=+−(6i)，zaa=−+23i，a∈R．12（1）若zz+是纯虚数，求a；12（2）若zz+>0，求z．12118．（12分）如图，正方体ABCD−ABCD被平面EFGH截成两个几何体，其中E，F，G，H分别在棱CD，111111CC，BB，AB上．1111学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：EF∥平面DGH；（2）若AB=22336AH=BG=EC=FC=，且直线HE与GF交于点O，求三棱锥OCEF−的体1111积．19．（12分）πππ5π5π已知函数fx()=sin(ωϕx+)（ω>0，ϕ<）在−,上单调递增，且直线x=−和x=218181818为fx()图象的两条对称轴．（1）求fx()的解析式；π（2）若函数gx()=++fxfx()，求gx()的单调递增区间．620．（12分）如图，在圆锥PO中，AB是圆O的直径，C为AB上更靠近A的三等分点，D为线段PO的中点，且4πPA=3，圆锥PO的侧面展开图是圆心角为的扇形．3（1）求圆锥PO的表面积；（2）求D到平面PAC的距离．21．（12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA(1cos+=B)sincosBA．（1）求A的取值范围；2a（2）求的取值范围．ac+学科网（北京）股份有限公司 22．（12分）π如图1，在等腰直角△ABC中，∠=C，D，E分别是AC，AB的中点，F为线段CD上一点（不含2端点），将△ADE沿DE翻折到△ADE的位置，连接AC，AB，得到四棱锥A−BCDE，如图2所1111示，且AF⊥CD．1（1）证明：AF⊥平面BCDE；115（2）若直线AE与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角A−−BDC的平面角的正切值．115高一考试数学试卷参考答案1．B三棱锥有6条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，四棱柱有12条棱．1i1i−−(1i2i−+)()312．A===−i．32i2i2i2i55+−−+()()3．B由题意可知该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体．4．C由题意得abmm+=+(1,)，所以mm(++=10)m，得m=0或−2．2023ππ5．D由题意得−+2cosisin5520232023π2023π20233ππ3=(−2)cos+=isin(−+2)cosisin，5555202320233π3πππ因为(−<20)，cos<0，sin>0，所以复数−+2cosisin在复平面内对应的点位于5555第四象限．6．A如图，在半圆柱侧面的展开图上，AB=π，BE=1，则最短路径的长度为222AE=+=+ABBEπ1．学科网（北京）股份有限公司 ππππωππ7．D因为x∈0,，所以ωx+∈,+．令2cosωx+−=30，则12331233π3ππcosωx+=．因为fx()=2cosωx+−3在0,上有3个零点，所以3231223ππωπ25π≤+<，解得42≤<ω46．612368．C如图，延长AB至点D，使AB=BD，延长AB至点E，使AB=BE，连接DE，BD，易证111111AB∥BD，则异面直线OB与AB的夹角为∠OBD，过O作FH⊥AC，垂足为F，交AC于H，连111111122接DF，BH，OD，由余弦定理得BH=+−⋅∠=ABAH2ABAHcosBAH3，111111111122DF=+−⋅∠=AFAD2AFADcosDAF7，所以OB=2，OD=22，12222+−(5)(22)5易得BD=5，所以cos∠=OBD=．11225××209．BCD当球心与球面上两个不同的点在一条直线上时，不能确定一个平面，A错误．易得B，C，D正确．10．BCD由题意得AB=(1,3)，AC=−(3,4)，所以ABAC⋅=−+=3129，ABAC⋅910ABAC⋅9cosABAC,==，AB在AC上的投影的数量为=．ABAC50AC52211．ABDxx−450+=⇒(x−2)=−⇒−=±⇒=±1x2ix2i，A正确．00000学科网（北京）股份有限公司 25xx−+=⇒+=450x4，B正确．000x0255225xxx+=⇒+4=⇒+=166，C错误．0002xxx00022xx−+=⇒=−450xx45，则00004222xxx000−=−−=−+=24(45)24xxx00016642516(xx00−+=×−+=4)2516(5)25−55，D正确．12．ACD由题意，作正三棱锥P−ABC，取AB的中点D，连接PD，CD，取等边△ABC的中心O，连接PO，AO，如图所示．在正三棱锥P−ABC中，因为D为AB的中点，所以PD⊥AB，在等边△ABC中，因为D为AB的中点，所以CD⊥AB．又PDCD=D，所以AB⊥平面PDC，则PC⊥AB．易知PO⊥平面ABC，所AO27以∠PAO为PA与底面ABC所成的角，则cos∠==PAO．又AB=23，可得AO=2，AP7132AP=7，PO=3，DO=1，所以三棱锥P−ABC的体积为××(23)×=33．易知二面角34POπP−−ABC的平面角为∠PDC，又tan∠==PDC3，所以∠=PDC．设正三棱锥P−ABC的DO3222227外接球的半径为r，则(r−+=PO)COr，可得(rr−34)+=，解得r=，故正三棱锥23249πP−ABC的外接球的表面积Sr=4π=．故选ACD．3π13．2由斜二测画法得，在△ABC中，∠=BAC，AB=AC=1，所以BC=2．214．−−3i设zab=+i（a，b∈R），则ab+=i2(ab−++=++−i13)i2132ia(b)，aa=2+1,a=−1,所以得故zz+=−++−−=−−21i21i()3i．bb=−32,b=1.5615．如图，连接AC，BD交于点O，连接AC，BD交于点O，连接OO，过A作AM⊥AC，111111113垂足为M，易得AM为四棱台ABCD−ABCD的高，11111学科网（北京）股份有限公司 1111则AO==AC×=22AB，AO==AC×=2AB22，1111112222122所以AM=−=(2ACAC)，AM=−=AAAM2．11112156故该棱台的体积为××++2(164164×=)．3322216．85m由余弦定理得BD=+−⋅⋅∠BEDE2BEDEcosBED，22则BD=17.2+10.32−×217.210.32cos120×°=579.8464=2144.9616=212.04×=24.08m．BDBC在△BCD中，由正弦定理得=，sin∠∠BCDsinBDCBD⋅∠sinBDC24.080.94×则BC==≈45.27m．sin∠BCD12在△ABC中，∠=ACB62°，所以AB=⋅∠≈BCtanACB45.271.8885.1076×=≈85m．2217．解：（1）由题意得zzaa+=+−++−23(aa6i)，122aa+−=230,因为zz12+是纯虚数，所以2，得a=1．aa+−≠60,2aa+−>230,（2）因为zz12+>0，所以2，得a=2．aa+−=60,故z=−=44i42．118．（1）证明：由正方体性质可得平面ABBA∥平面DCCD，1111∵平面ABBA平面EFGH=GH，平面DCCD平面EFGH=EF，1111∴EF∥GH．∵GH⊂平面DGH，EF⊄平面DGH，∴EF∥平面DGH．（2）解：∵O∈HE，HE⊂平面ABCD，∴O∈平面ABCD．11111111学科网（北京）股份有限公司 ∵O∈GF，GF⊂平面BCCB，∴O∈平面BCCB．1111∵平面ABCD平面BCCB=BC，∴OBC∈．1111111111OCEC211∵△OEC∽△OHB，∴==，11OBHB3112即OC=(OC+6)，则OC=12，1113111∴V=S⋅=OC×⋅⋅=ECFCOC8．OCEF−11△CEF111133219．解：（1）设fx()的最小正周期为T，Tππππ5则==−−=，得ω=3．2ω181835ππ由题意得3×+=+ϕπk（k∈Z），182π得ϕπ=−+k（k∈Z），3ππ因为ϕ<，所以ϕ=−．23π故fx()=sin3x−．3πππππ（2）由题意得gx()=sin3x−+sin3x−+=sin3x−+cos3x−33233πππ=2sin3xx−+=2sin3−，3412πππ52ππkk72ππ由−+23kxππ≤−≤+2k（k∈Z），得−+≤≤+x（k∈Z），21223633635272ππππkk所以gx()的单调递增区间为−+,+（k∈Z）．3633634π20．解：（1）由题意得23πAO=×，得AO=2，32所以圆锥PO的表面积为ππAO+⋅=AOPA10π．1（2）由题意得D到平面PAC的距离等于O到平面PAC的距离的．2因为C为AB上更靠近A的三等分点，所以△AOC为等边三角形，学科网（北京）股份有限公司 1所以S=⋅∠=AOCOsinAOC3．△AOC2212AC22易得S=⋅−=ACPA22，PO=−=PAAO5，△PAC22设O到平面PAC的距离为h，11由V=S⋅=hV=S⋅PO，OPAC−−△PACPAOC△ADC33S⋅PO30△AOC得h==．S4△PAC30故D到平面PAC的距离为．821．解：（1）由题意得sinA=−=sincosBAcossinBAsin(BA−)，所以ABA=−或ABAB+−==π（舍去），即BA=2．π0,<<A2πππ因为△ABC是锐角三角形，所以02,<=<BA得A∈,．264π0<=−<CAπ3,22aA2sin2sinA2sinA（2）由正弦定理得===a+cACAAsin+sinsin++sin(BAABAB)sin+sincos+cossin2sinAA2sin1===，222sinAAAAA++sincos2cossin2sinAA+sin(2cosA−+1)2sincosAA2cosAππ2323由A∈,，得cosA∈,，2cosA∈1,，64222212a2a2所以=2∈,1，即的取值范围为,1．ac+2cosA3ac+3π22．（1）证明：∵∠=C，DE∥BC，2∴DE⊥AD（DE⊥AD），DE⊥CD．1∵ADCD=D，∴DE⊥平面ADC．11∵AF⊂平面ADC，∴DE⊥AF．111学科网（北京）股份有限公司 又CDDE=D，∴AF⊥平面BCDE．1（2）解：在图2中，连接EF．由题意得AD=CD=DE，1∵AF⊥平面BCDE，∴直线AE与平面BCDE所成的角为∠AEF，11115则tan∠AEF=．1522222222设DF=x，则AF=−=−ADDFADx，EF=+=+DEDFADx，111122AF1AD1−x15∴tan∠==AEF=，得AD=2x，即F为CD的中点．11EFAD22+x51过F作FO⊥BD，垂足为O．∵AF⊥平面BCDE，∴AF⊥BD，11∵AFOF=F，∴BD⊥平面AOF，∴AO⊥BD，111∴二面角A−−BDC的平面角为∠AOF．1122由题意得BC=4,xCD=2x，则BD=+=BCCD25x，1CDBC⋅25∴OF=⋅=x，25BD22AF115∵AF=AD−=x3x，∴tan∠==AOF．111OF2学科网（北京）股份有限公司