辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题

高二考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4，本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册占30%，必修第一册至必修第二册第四章占70%。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21．设集合M={xx+−<4x50,}N=−<<{x3x2}，则MN=（）A．{xx−<<31}B．{xx−<<52}C．{xx12<<}D．{xx−<<−53}2．已知01<<<ab，则下列不等式一定正确的是（）bA．ba−>1B．ab>1C．<1D．ab+>1a3．等差数列{a}的前n项和为S，且aa+=10,aa+=26，则S=（）nn13577A．63B．45C．49D．563xx⋅ln4．函数fx()=的部分图象大致为（）xeA．B．C．D．2ax+−<2x3,x2,5．已知函数fx()=a在R上单调递增，则a的取值范围是（）,2x≥x1212A．(−∞,0)B．−,0C．−∞−,D．−−,2727学科网（北京）股份有限公司 126．“a≥−”是“方程xxa+=有实数解”的（）4A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件fx(12)−fx()7．已知定义在R上的奇函数fx()满足对任意的xx,∈(0,+∞)，且xx≠，都有<0，若1212xx−12f(10)=，则xfx()≥0的解集为（）A．[−1,1]B．[1,0]−[1,+∞)C．(−1,0)(0,1)D．(−∞−,1][0,1]lnx8．已知过点Ab(0,)作的曲线y=的切线有且仅有两条，则b的取值范围为（）x122A．0,B．0,C．(0,e)D．0,3eee2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知xy>>0，则（）−−11xyA．xy>B．xy>C．22>D．lnxy>ln210．若函数fx()=++lnxaxbx既有极大值又有极小值，则（）22A．a>0B．b>0C．ba−>80D．ba=811．设ab=loge,=ln3，则（）2311bA．ab=lnB．ab+<3C．b−<D．<12a2a2−+x4,xx>0,12．已知函数fx()=函数gx()=ffx(())−m，则下列结论正确的是（）ln(−++xx1)3,≤0,A．若m=0，则gx()有2个零点B．若m=3，则gx()有6个零点C．若gx()有5个零点，则m的取值范围为(0,3)D．gx()一定有零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．275m13．已知幂函数fx()=−+mmx是奇函数，则m=_________．22学科网（北京）股份有限公司 fx(+1)14．已知函数fx()的定义域为(1,3)，则函数gx()=的定义域为_________．x−115．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列{a}是以黄金分割数为公比的等比数列，且aa+=2023，则a=n202420252023_________．xx−216．已知函数yxm=−+的图象与函数y=21+和函数y=21+的图象分别交于AB,两点，若AB=2，则m=_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）x已知定义在R上的奇函数fx()满足当x>0时，fx()=e1+．（1）求fx()的解析式；（2）若ft(ln)=−3，求t的值．18．（12分）已知正实数ab,满足2a+=bab．（1）求ab+2的最小值；（2）求ab的最小值．19．（12分）已知大气压强p（帕）随高度h（米）的变化满足关系式lnp−=lnpkhp,是海平面大气压强．00（1）世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为p′，求在海拔8000米处的大气压强（结果用p和p′表示）．0（2）我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：平均海拔（单位：米）第一级阶梯≥4000第二级阶梯1000∼2000第三级阶梯2001000∼若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为p，在第三级阶梯某处的压强为2−40.18pk,=10，证明：pp≤≤ep．323220．（12分）学科网（北京）股份有限公司 125n−已知数列{a}满足a=,2aa=．n11nn+4（1）求{a}的通项公式；n（2）若b=(5−na)，求数列{b}的前n项和T．nnnn21．（12分）x已知函数fx()=log(a+−>1)xa(0且a≠1)．a（1）试讨论fx()的值域；x（2）若关于x的方程fx()=log(cac⋅−)有唯一解，求c的取值范围．a22．（12分）22已知函数fx()满足xf′(x)+=xfx()elnx，且f(e1)=，函数gx()=−++x24ax．（1）求fx()的图象在x=e处的切线方程；（2）若对任意x∈(1,e]，存在x∈[1,2]，使得fx()>gx()，求a的取值范围．1212高二考试数学试卷参考答案1．A因为Mxx=−<<{51}，所以MNx=−<<{31x}．2．D因为01<<<ab，所以ab+>1．aa13+=10,2ad1+=210,a1=3,76×3．A因为所以解得故Sa71=7+=d63．aa+=26,2ad+=1026,d=2,257133(−⋅−xxxx)ln⋅ln4．Cfx()的定义域为(−∞,0)(0,+∞)．因为fx(−=)=−=−fx()，所以fx()−xxee是奇函数，排除A，D．当01<<x时，fx()<0，当x>1时，fx()>0，排除B，故选C．1−≥2,a125．D由题意可得a<0,解得−≤≤−a．27a41,a+≤22211126．B因为x≥0，所以axx=+=+−≥x0．故“a≥−”是“方程xxa+=有实数解”244的必要不充分条件．学科网（北京）股份有限公司 fx(12)−fx()7．A对任意的xx,∈(0,+∞)，且xx≠，都有<0，即fx()在(0,+∞)上是减函数．因1212xx−12x>0,x<0,为xfx()≥0，所以x=0或或解得−≤≤11x．fx()≥0fx()≤0,lnx0−b1ln−x1ln−−xybx2lnx−100008．D设切点为(xy,)，由题意得y′=，所以k===，整理得b=，0022xxxxx00002lnx−132ln−x此方程有两个不等的实根．令函数fx()=，则fx′()=．2xx333当0e<<x2时，fx′()>0，当x>e2时，fx′()<0，且fx()>0，所以fx()在0,e2上单调递增，3322在e,2+∞上单调递减．fx()=fe2=．故b∈0,．极大值33e2e21x9．BCD当xy=2,=1时，<1，A错误．函数yx=在(0,+∞)上单调递增，B正确．函数y=2在(0,+∞)2上单调递增，C正确．函数yx=ln在(0,+∞)上单调递增，D正确．221ax+bx+210．ACfx()的定义域为(0,+∞),fx′()=．由题意可得方程2ax++=bx10有两个不等的x2Δ=−>ba80,b2正根xx,，所以xx+=−>0,故abba><−>0,0,80，A，C正确．12122a1xx=>0,122a3333311．BCDab=log3，A错误．因为ab=<logelog2.8<log22==<,ln3ln(2.25)22<=lne，222222131所以ab+<3，B正确．b−=−=<ln3ln2ln，C正a222222bln3ln2+ln6lne确．=×<ln3ln2=<=1，D正确．a22212．ABD令fx()=4，解得x=−1e或2；令fx()=3，解得x=0或1或3．学科网（北京）股份有限公司 根据函数图象的平移变换，可画出fx()的简图，如图所示．令gx()=0，则ffx(())=m．令fxt()=，则ftm()=．当m>4时，ftm()=只有1解，且t<−1e，此时fxt()=只有1解，所以gx()只有1个零点．当m=4时，ft()=4有2解，即t=−1e或2．fx()=−1e有1解；fx()=2有2解．所以gx()有3个零点．当m∈(3,4)时，ftm()=有3解tttt,,,∈−(1e,0,)t∈(1,2,)t∈(2,3)．当t∈−(1e,0)时，fxt()=12312311只有1解；当t∈(1,2)时，fxt()=有2解；当t∈(2,3)时，fxt()=有2解．所以gx()有5个零点．2233当m=3时，ft()=3有3解，即t=0或1或3．fx()=0只有1解；fx()=1有2解；fx()=3有3解．所以gx()有6个零点．当m∈(0,3)时，ftm()=有2解ttt,,∈∈(0,1,)t(3,4)．当t∈(0,1)时，fxt()=有2解；当t∈(3,4)4545445时，fxt()=有3解．所以gx()有5个零点．5当m=0时，ft()=0只有1解t=4,fx()=4有2解，所以gx()有2个零点．当m<0时，ftm()=只有1解，且t>4，此时fxt()=只有1解，所以gx()只有1个零点．综上，A，B，D正确．275113．3由mm−+=1，解得m=3或（舍去）．2221<+<x13,14．(1,2)由题意可得解得12<<x．x−>10,学科网（北京）股份有限公司 x1215．2023由题意，设整体为1，较大部分为x，则较小部分为1−x，则=，即xx+−=10，解得1−xx51−−−5151−x=（x=舍去），故黄金分割数为．22251−22令q=，则qq+−=10，即aqq(+−=10)，所以aaa+−=0，故nnnn++212aaa=+=2023．2023202420252216．4设AxyBxy(,,,)()，则xxyy<,>．由AB=2可得(xx−+−=)(yy)2．又因为112212121212y=2x1+1,yy12−1AB所在直线的斜率为=−1，所以xxyy2112−=−=1．因为x2−2所以xx12−y2=2+1,yy−=+−(21211xx12)(−2+=)，即221xx11−=−1，解得x=1．因为y=+=213x1，所以A(1,3)，代1211入函数yxm=−+，可得m=4．17．解：（1）因为fx()是定义在R上的奇函数，所以f(00)=．−x−x当x<0时，−>x0,fx(−=+=−)e1fx()，则fx()=−−e1．xe+>1,x0,故fx()=0,x=0,−x−−<e1,x0.（2）由（1）可得只有当x<0时，fx()<0．−lnt1因为ft(ln)=−3，所以−e13−=−，解得t=．21故t的值为．21218．解：（1）因为2a+=bab，所以+=1．ab1222ba22baabab+=+2(2)+=+++≥+1452⋅=9，ababab当且仅当ab==3时，等号成立．（2）因为ab,为正实数，所以ab>0．2因为2a+=≥bab22ab，所以()80ab−≥ab，解得ab≥8，当且仅当ab=2,=4时，等号成立．19．（1）解：设在海拔8000米处的大气压强为p′′，学科网（北京）股份有限公司 lnpp−=ln′4000,k0lnpp−=ln′′8000,k02ppp′00′′=．所以2ln=ln，解得ppp′′′p0（2）证明：设在第二级阶梯某处的海拔为h，在第三级阶梯某处的海拔为h，23−4lnpp−=ln10h,022则−4lnpp−=ln10h,033p3−4两式相减可得ln=10(hh−)．23p2因为hh∈∈[1000,2000,][200,1000]，所以hh−∈[0,1800]，2323p3−4则0≤≤×=ln1018000.18，p2p30.18即1e≤≤，p20.18故pp≤≤ep．23225n−23n−an+220．解：（1）因为aa=2，所以aa=2，两式相比得=4．nn+1nn++12an1−31因为a=,2aa=，所以a=．1122421数列{a}是以为首项，4为公比的等比数列；21n−41数列{a}是以为首项，4为公比的等比数列．2n211n−1(213n−−)nn−−123aa=×=42,=×=42．21nn−242n−3综上，{a}的通项公式为a=2．nnn−3（2）bn=−×(52)．n13−−−2333n−3Tnn=−×+−×+−×+(512)(522)(532)⋅⋅⋅+−×(5)2，23−−−3343n−22Tnn=−×+−×+−×+(512)(522)(532)⋅⋅⋅+−×(5)2．−−−10nn32两式相减得−Tn=−122−−⋅⋅⋅−2−(5−)×2n学科网（北京）股份有限公司 −−11n212(−)3nn−−22=−1−−×=+−×(5nn)2(62)，12−23n−2所以Tn=−−−×(62)．n2xxxxa+1121．解：（1）fx()=log(a+−=1)xlog(a+−1)loga=log=log1+．aaaaxxaaa11因为11+>，所以当a∈(0,1)时，log1+∈−∞(,0)；xaxaa1当a∈(1,+∞)时，log1+∈(0,+∞)．axa故当a∈(0,1)时，fx()的值域为(−∞,0)；当a∈(1,+∞)时，fx()的值域为(0,+∞)．1x（2）因为关于x的方程log1+=log(cac⋅−)只有一个解，aaxa⋅−=⋅−>xxcacca(1)0,所以1有唯一解．x1+=⋅−cacxact−=−>cct(1)0,x令tat=,∈(0,+∞)，所以1有唯一解．1+=−ctct22关于t的方程ct−+−=(c110)t有唯一解，设gt()=−+−ct(c11)t．当c=0时，−−=t10，解得t=−1，不符合题意．当c>0时，tg>1,(1)=−<20，所以一定有一个解，符合题意．2当c<0时，t∈(0,1,)Δ=++=(cc1)40，解得c=−±322．当ct=−−322,=21−时，符合题意，当ct=−+322,=−−12时，不符合题意．综上，c的取值范围为{−−322}(0,+∞)．222．解：（1）令x=e，得eff′(e)+=e(e)elne，即eeff′()+=(e1)．因为f(e1)=，所以f′(e0)=．故fx()的图象在x=e处的切线方程为y=1．学科网（北京）股份有限公司 （2）由题意可得，fx()>gx()．minmin2elnx−xfx()由xf′(x)+=xfx()elnx，得fx′()=．2x令函数tx()=elnx−xfx()，eeelnx−−xfx()e1ln(x)则tx′′()=−−=fxxfx()()−−fxx()⋅=．2xxxx因为x∈(1,e]，所以1ln−∈x[0,1)，则tx′()≥0,tx()在(1,e]上单调递增．1tx()max==−=t(ee)lneee0f()，即tx()≤0．所以fx′()≤0,fx()在(1,e]上单调递减，fx()=f(e1)=．mingx()图象的对称轴方程是xa=．31当a≤时，gx()==g(24)afx<=()1，解得a<．minmin243当a>时，gx()=g(123)=+<afx()=1，无解．maxmin21综上，a的取值范围为−∞,．4学科网（北京）股份有限公司