福建省泉州市部分中学2022-2023学年高二下期末联考数学试题（解析版）
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泉州市部分中学2024届高二下期末联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．61x−1.x的展开式中常数项为（）．A.−15B.−20C.15D.20【答案】B【解析】kkk62−【分析】写出展开式的通项公式T=−(1)Cx，再令620−=k得k=3，再代入通项公式即可得k+16答案.6k1kk6−−1kkk62【详解】根据题意，x−的展开式的通项公式T=Cx−=(−1)Cx，k+166xx令620−=k，解得k=3，33所以常数项为TC=(−−1)=20.31+6故选：B2.等比数列{an}满足a1=1，aa46=16，则a3=（）A.−2B.2C.−16D.16【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可得答案.【详解】由数列{an}是等比数列，其首项a1=1，公比设为q，352则等式aa46=16，整理可得qq=16，解得q=2，2即a=aq=2.31故选：B.3.平行六面体ABCD−ABCD1111的所有棱长均为1，∠=BAD∠=BAA11∠=°DAA60，则AC1的长度为（）第1页/共23页学科网（北京）股份有限公司,32A.B.6C.3D.62【答案】B【解析】【分析】由ABCD−ABCD1111为平行六面体，可知AC1为体对角线，由向量的模长公式即可求得AC1.2【详解】AC11=++=ABADAA(AB++ADAA1)222=+++ABADAA2ABAD⋅°cos60+2ABAA⋅°cos60+2AAAD⋅°cos60111111=+++×××+×××+×××111211211211222=6故选：B4.下列说法正确的是（）A.若事件AB,相互独立，则PAB()=PBA(|)B.设随机变量X满足DX()=2，则DX(4+=3)112C.已知随机变量ξσ~N(2,)，且P(ξ<=4)0.8，则P(0<<=ξ2)0.32D.在一个22×列联表中，计算得到χ的值越接近1，则两个变量的相关性越强【答案】C【解析】【分析】A项，求出PAB()=PAPBAPB(),(|)=()即可；B项根据DX()的性质即可得出；C项，根2据给定条件，利用正态分布的性质求解作答；D项，根据χ的性质，即可得出相关性强弱.【详解】对于A，若事件AB,相互独立，则PAB()=PAPBAPB(),(|)=(),所以A错误，2对于B，设随机变量X满足DX()=2，则DX(4+=3)4DX()=×=16232,所以B错误，2对于C，随机变量ξσ~N(2,)，且P(ξ<=4)0.8，则PPP(ξ>=0)0.8,(0<<=ξξ2)(>−=0)0.50.3,所以C正确，2对于D，在一个22×列联表中，χ值越大，则两个变量的相关性越强，所以D错误，第2页/共23页学科网（北京）股份有限公司,故选：C.875.记ab=log8,7=log87,cd=,=，则（）78A.ab<b.ac<c.cb<d.bd<【答案】b【解析】【分析】由对数运算性质，借助中间量1，结合指数幂的运算及函数的单调性比较大小即可.【详解】因为a=log78>1>=blog87，A错误;887787=57648018>=2097152,7∴>∴=8alog87<=c,B正确;78c=>>=1lbog87,C错误;7787877=57648018>=2097152,7∴==>∴8blog87>d,D错误;8故选：B.6.空间直角坐标系O−xyz中，A(1,3,0)，B(0,3,1)，C(1,0,3)，点P在平面ABC内，且OP⊥平面ABC，则||AP=（）2642A.5B.7C.D.33【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出平面ABC的法向量，再求出OP长，然后利用勾股定理求解作答.【详解】由A(1,3,0)，B(0,3,1)，C(1,0,3)，得AB=(1,0,1),−=AC(0,3,3)−，nAB⋅=−+=xz0设平面ABC的法向量n=(,,)xyz，则，令z=1，得n=(1,1,1)，nAC⋅=−+=330yz|OPn⋅||113101|×+×+×4有OA=(1,3,0)，而OP⊥平面ABC，于是||OP===，||n1112223++1642又22，OP⊥AP，所以22.|OA|=+=1310||||||1AP=OA−OP=−=033故选：D第3页/共23页学科网（北京）股份有限公司,127.已知抛物线Γ：yx=的焦点为F，过F的直线l交Γ于点AB,，分别在点AB,处作Γ的两条切线，411两条切线交于点P，则22+的取值范围是（）PAPB1111A.(0,1]B.0,C.0,D.,2442【答案】C【解析】【分析】设直线l的方程为y=kx+1，AxyBxy(11,,,)(22)，与抛物线联立可得x1+=x24,kxx12=−4，再利用求曲线上一点的切线方程得过AB,与Γ相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得Pk(2,1−)，再利用两点间的距离公式计算得结论.【详解】显然直线l的斜率存在，因此设直线的方程为y=kx+1，AxyBxy(11,,,)(22)，y=kx+1222由2得x−−=440kx，因此∆=−+=(4kk)1616+>160，xy=4故x1+=x24,kxx12=−4.22′=xxxx11xxx22因为y，所以过AB,与Γ相切的直线方程分别为：y=−、y=−，224242xxxxx+1112y=−xk==2,242因此由得，即Pk(2,1−)，2xxxxx22y=12=−1y=−2441111所以22+=22+22PAPB(x1−++2222k)(kx12)(x−++k)(kx2)11=+2222(kx++1414)(12)(kx++)()222xx12++8(x1+−+x2)28xx12==kxx222+++1442+22+++22()(12)()(k1)xx124(x1x2)16216k+161=2=2.64(k2+1)41(k+)11因为k∈R，所以4(k2+≥14)，因此0<≤，241(k+)4第4页/共23页学科网（北京）股份有限公司,111所以22+的取值范围是0,.PAPB4故选:C.8.已知lnx≤mx+n，则mn+2的最小值为（）A.−ln2B.−1C.−ln4D.−2【答案】C【解析】【分析】等价于对于∀∈x(0,+∞)，n≥−lnxmx恒成立，设hx()=−>lnxmxx(0)，求出函数hx()最大值，得到mnm+≥−−222lnm，设pmm()=−−22lnmm(>0)，求出函数pm()的最小值即得解.【详解】对于∀∈x(0,+∞)，n≥−lnxmx恒成立，11−mx设hx()=−>lnxmxx(0)，所以hx′()=−=m.xx当m≤0时，hx′()>0，函数hx()单调递增，所以函数hx()没有最大值，所以这种情况不满足已知；当m>0时，1当x∈0,时，hx′()>0，函数hx()单调递增.m1当x∈,+∞时，hx′()<0，函数hx()单调递减.m11所以hx()max=h=ln−=−−11lnm.mm所以nm≥−−1ln.所以mnm+≥−−222lnm.设pmm()=−−22lnmm(>0)，22m−所以pm′()=−=1，mm当02<<m时，pm′()<0，函数pm()单调递减.当m2>时，pm′()>0，函数pm()单调递增.所以pm()=p(2)=−−222ln2=−2ln2=−ln4.min第5页/共23页学科网（北京）股份有限公司,所以mn+2的最小值为−ln4.故选:C.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题的求解，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接法；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知等差数列{an}的前项和为Sn，a1=11，a5=3，则（）A.S5=35B.ann=132−C.a的最小值为0D.S的最大值为36nn【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据已知条件求出d的值，利用等差数列的求和公式可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；求出an的最小值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.【详解】设等差数列{an}的公差为d，则aad51=+=+=4114d3，解得d=−2.54×对于A选项，Sa=5+d=×+×−=51110(2)35，A对；512对于B选项，aandn=+−=−−=−1(1)112(n1)132n，B对；112,−≤nn5对于C选项，ann=−=112，故当n=5或6时，an取最小值1，C错；2nn−≥11,6nn(−1)d22对于D选项，Sn=+na1=−−=−+=−−+11nnn(1)n12n(n6)36，2故当n=6时，Sn取得最大值36，D对.故选：ABD.2210.已知圆C1与x轴相切，且C1在直线yx=上，圆Cxyxy2:+−−+=2440，若圆C1与圆C2相切，则圆C1的半径长可能是（）1A.B.2C.423+D.423−2第6页/共23页学科网（北京）股份有限公司,【答案】BCD【解析】222【分析】设圆C1的方程为(xa−+−=)(ybr)，由条件方程求解即可.222【详解】设圆C1的方程为(xa−+−=)(ybr)，因为圆C1与x轴相切，且C1在直线yx=上，br=222222所以，即bar==±，所以圆C1的方程为(xr−+−=)(yr)r或(xr+++=)(yr)r，ba=22又圆Cxyxy:+−−+=2440的圆心为(1,2)，半径为1，22222当圆C1与圆C2外切时，(12−+−=+r)(rr)1或(12+++=+r)(rr)1（舍去），解得r=+423或r=−423；2222当圆C1与圆C2内切时，(12−+−=−r)(rr)1或(12+++=−r)(rr)1，解得r=2或r=−±423（舍去）；综上，圆C1的半径长可能是423+、423−或2.故选：BCD11.已知数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每次受力质点原地停留或向右移动一个单位，质点19原地停留的概率为，向右移动的概率为，且每次是否移动互不影响．若该质点共受力7次，到达位置1010的数字记为X，则（）725119A.PX(=0)=B.PX(=5)=×101010C.EX()=6.3D.PXk(=)≤=PX(6)【答案】AC【解析】【分析】根据二项分布的概率计算即可判断ACD，根据二项分布的期望公式即可判断B.9【详解】设质点向右移动的次数为Y,则YB(7,)，1070790191由于XY=，所以XB(7,),PX(=0)=PY(=0)=C7=,故A正确，1010101025519PX(=5)=PY(=5)=C7×,故B错误，1010第7页/共23页学科网（北京）股份有限公司,9由于EY()=×=76.3,所以EX()=EY()=6.3,故C正确，102552521919PX(=5C)=77×>=PX(2C)=×,，101010103443431919PX(4=)C=77×=>PX(3)C=×，101010101661611919PX(6=)C=77×>=PX(1)C=×，101010100770701919PX(7)C==77×>=PX(0)C=×，101010103444191CC77×4PX(=4)101010C735====<∴1,PX(=>5)PX(=4),PX(=5)1925599C57189C5×C710107101666199CC77×6PX(=6)1010109C763====>∴1,PX(=>6)PX(=5),PX(=5)192551C5721C5×C710107101666191CC77×6PX(=6)101010C77====<∴1,PX(=<6)PX(=7),PX(=7)1907799C779C7×C71010710因此PX()=7最大，故PXk(=)≤=PX(7)，故D错误，故选：AC12.平面αβγ,,两两互相垂直且有一个公共点O，αβ∩=l1，βγ∩=l2，αγ=l3，直线l过点O，则下列结论正确的是（）A.若l与ll,所成的角均为60，则l与平面γ所成的角为4523B.若l与平面αβγ,,所成的角相等，则这样的直线l有且仅有1条C.若l与平面αβ,所成的角分别为30,45，则l与平面γ所成的角为60D.若点P在l上，且在lll,,的投影分别为PPP,,，则22221231232OP=++PP12PP23PP13【答案】AD第8页/共23页学科网（北京）股份有限公司,【解析】【分析】把问题转化为正方体中的线面关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】由题意，平面αβγ,,两两互相垂直且有一个公共点O，不妨平面αβγ,,放置在正方体ABCO−ABCO1111的三个相邻面中，记平面ABCO为平面α，记平面AOOA11为平面β，记平面OCCO11为平面γ，则直线l1为OA，直线l2为OO1，直线l3为OC，记正方体ABCO−ABCO1111棱长为1，以点O为坐标原点，OA、OC、OO1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O−xyz，如图：则点O(0,0,0)、A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(0,1,0)、O1(0,0,1)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、C1(0,1,1)，又直线l过点O，再取l上一点P，设点Pabc(,,)，对于选项A，OP=(abc,,)，OO1=(0,0,1)，OC=(0,1,0)，ll,所成的角均为60因为l与23，即OPOO,1=OPOC,=60，1OPOO⋅1OPOC⋅1所以cosOPOO,=cosOPOC,=，所以==，122OPOO⋅⋅1OPOCcb1abc222+=3ac=2所以==，即，所以，即OP=(2,,ccc)，abc222++abc222++2acb22+=32bc=易知平面γ的法向量为m=(1,0,0)，设l与平面γ所成的角为θ，OPm⋅2则sinθ=cosOPm,==，又0≤≤θ90，所以θ=45，OPm⋅2所以l与平面γ所成的角为45，正确；对于选项B，易知平面α的法向量为n=(0,0,1)，平面β的法向量为t=(0,1,0)，第9页/共23页学科网（北京）股份有限公司,若l与平面αβγ,,所成的角相等，则三个线面角的正弦值相等，OPm⋅⋅⋅OPnOPn所以cosOPm,=cosOPn,=cosOPt,，即==，OPm⋅⋅⋅OPnOPn所以abc==，所以Paaa(,,)或Paaa(,,−)或Paaa(,,−)或Paaa(,,−−)，则这样的直线l有4条，错误；对于选项C，若l与平面αβ,所成的角分别为30,45，c1b2则cosOPn,=sin30,cosOPt,=sin45，所以=，=，abc222++2abc222++2abc222+=3ac=所以，所以，即OP=(c,2,cc)，222acb+=bc=2设l与平面γ所成的角为θ，易知平面γ的法向量为m=(1,0,0)，OPm⋅1则sinθ=cosOPm,==，又0≤≤θ90，所以θ=30，OPm⋅2所以l与平面γ所成的角为30，错误；对于选项D，因为点P在lll123,,的投影分别为PPP123,,，则Pa123(,0,0),P(0,0,),cPb(0,,0)，222222222所以PP++=−+−+−+−+−+−PPPP[(a0)(00)(0c)][(00)(0b)(c0)]122313222222+−+−+−=++[(a0)(0b)(00)]2abc22，2222222又2OPa=−+−+−=++2[(0)(b0)(c0)]2abc22，2222所以2OP=++PP12PP23PP13，正确.故结论正确的是AD.故选：AD【点睛】关键点睛：对于立体几何中角和长度的计算难题，往往可以用空间向量法，通过求解直线的方向向量或平面的法向量，利用向量夹角和距离公式求解即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．22xy13.已知直线yx=是双曲线C:1−=（ab>>0,0）的一条渐近线，则C的离心率为______.22ab【答案】2第10页/共23页学科网（北京）股份有限公司,【解析】b【分析】根据渐近线方程得到=1，然后代入离心率公式求解.a22xy【详解】因为直线yx=是双曲线C:−=>>1(ab0,0)的一条渐近线，22ab2bcb所以=1，所以C的离心率为e==12+=.aaa故答案为：214.数列{an}中，a1=1，aann+1=23+，则{an}的前10项的和为_________．【答案】4062【解析】【分析】推导出数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，求出数列{an}的通项公式，利用分组求和法可求得数列{an}的前10项的和的值.【详解】在数列{an}中，a1=1，aann+1=23+，则aann+1+=32(+3)，且a1+=34，所以，数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，nn−+11n+1所以，a+=⋅342=2，则a=23−，nn2311所以，数列{an}的前10项和为S10=−+−++−(2323)()(23)10412(−)2311=+++−=(222)30−=304062.12−故答案为：4062.15.甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球，则最后摸出的两球都是白球的概率为______；若最后摸出的两球都是白球，则这两个白球都来自甲箱的概率为______．13【答案】①.②.##0.665【解析】【分析】从甲箱中取出两白球、取出一白一黑，分别为事件AA12,表示，从乙箱中取出的两球时白球为事件B，结合条件概率的计算公式和全概率公式，即可求解.【详解】由题意，从甲箱中任取两球放入乙箱仅有2中可能，取出两白球、取出一白一黑，分别用AA12,第11页/共23页学科网（北京）股份有限公司,表示，设“从乙箱中取出的两球时白球”为事件B，211C12CC221可得PA()12=22=,()PA==，C3C33322C31C32对于A中，其中PBA(12),=22=PBA(),==，C10C105521所以从乙箱中取出两球是白球的概率为P=∑PAPBA()(ii)=；i=16而这两个白球都来自甲箱为事件A1，13×PAB(1)PBAPA()11()3103则PAB()1====.PB()1156613故答案为：；.6516.某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为______．512【答案】π27【解析】【分析】设加工成的圆柱底面半径为r，圆柱的高为4+<<hh(04)，圆柱的体积用含有h的代数式表示，利用导数求其最大值即可.【详解】设加工成的圆柱的底面半径为r，高为4+<<hh(04)，轴截面如图，第12页>0，当h∈(,4)时，V′<0，3344即函数在(0,)上单调递增，在(,4)上单调递减，334512则当h=时，V取得最大值为π.327512故答案为：π27四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．217.已知正项数列{}an的前项和为Sn，且满足4Sann=(+1)．（1）求an，Sn；11（2）设bn=，数列{}bn的前n项和为Tn，求证：Tn<．aann+122【答案】（1）ann=21−，Snn=（2）证明见解析【解析】【分析】(1)当n≥2时由4S＝(a＋1)2与4S＝(a＋1)2作差，由此得出{a}是等差数列，从而求出nnn−1n−1na即可；n(2).通过（1）再裂项得出数列{}bn的通项公式，进而并项相加即得结论．第13页/共23页学科网（北京）股份有限公司,【小问1详解】224Sa=(+1)……①，4Sa=(+1)……②nnnn++1122由②－①得，4aaaaa=−+−22，nnnn++11+1n2+(aaaaaann+1)=(nnnn+1+)(+1−)．又aann+1+0>，22所以aann+1−=2，由①n=1,4Sa11=(1+1)(,a1−=1)0,a=1,所以{an}是首项为1公差为2的等差数列，所以ann=21−，2代入①得Sn=．n【小问2详解】11111bn===−，aann⋅+1(212122121n+−)(n)n−+n1111111111Tn=1−+−+−++−=1−，2335572121nn−+221n+1因为>0，21n+1111所以1−<，即T<．n2212n+223118.已知函数fx()=xxln(+−+1)xx．2（1）求曲线yfx=()在点(1,f(1))处的切线方程；（2）证明：fx()≥0．1【答案】（1）yx=ln2−2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出f(1)、f′(1)的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；12（2）令g(xx)=ln(+−+1)xx，其中x>−1，利用导数分析函数gx()的单调性与极值，结合不等式的基2本性质可证得结论成立.第14页/共23页学科网（北京）股份有限公司,【小问1详解】231x32解：因为fx()=xxln(+−+1)xx，则fx′()=ln(x++1)−+2xx，2x+121所以f(1)=ln2−，f′(1)=ln2，21所以曲线yfx=()在点(1,f(1))处的切线方程为yx−−=ln2ln2(−1)，21即yx=ln2−．2【小问2详解】12证明：令g(xx)=ln(+−+1)xx，其中x>−1，2要证fx()≥0，即证xgx()≥0，21x因为gx′()=−+=10x≥，当且仅当x=0时，等号成立，xx++11所以gx()在(−+∞1,)单调递增，又g(00)=，所以当x>0时，gx()>0，xgx()>0，当−<<10x时，gx()<0，xgx()>0；当x=0时，xgx()=0．故xgx()≥0，即fx()≥0，得证．19.如图，在四棱台ABCD−ABCD1111中，AB//CD，DA=DC=2，AB=CD11=1，∠=ADC120，∠=DDA11∠=BBA90．（1）证明：平面DCCD11⊥平面ABCD；73（2）若四棱台ABCD−ABCD1111的体积为，求直线AA1与平面ABC11所成角的正弦值．4【答案】（1）证明见解析105（2）70第15页/共23页学科网（北京）股份有限公司,【解析】【分析】（1）解法一：证明AB⊥BD，AB⊥BB1从而得到AB⊥DD1，结合AD⊥DD1面面垂直的判定即可证明；解法二：建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；（2）解法一：利用锥体体积公式求出DD1=2，建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可；解法二：利用锥体体积比从而得到PD=4，再建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】解法一：AB//CD，∠=ADC120，，∴∠DAB=60在△ABD中，AB==1,AD2,∠=DAB60，由余弦定理得BD=122+−××2212cos60=3，故222AB+=BDAD，则AB⊥BD，因为棱台ABCD−ABCD1111，故BBDD11,交于一点，即BBDD11,共面，°又∠=BBA190，即AB⊥BB1，BB1∩=BDB，BBBD1,⊂平面BBDD11，所以AB⊥平面BBDD11，因为DD1⊂面BBDD11，所以AB⊥DD1，又∠=DDA190，即AD⊥DD1，AB∩=ADA，ABAD,⊂平面ABCD，所以DD⊥平面ABCD，又因为DD⊂平面DCCD，1111所以平面DCCD11⊥平面ABCD；解法二：由棱台的定义，把四棱台ABCD−ABCD1111的侧棱延长交于点P，°得到四棱锥P−ABCD，则∠=PDA∠=PBA90，同解法一，可得AB⊥BD，以D为原点，DBDC,分别为xy,轴建立空间直角坐标系如图，第16页/共23页学科网（北京）股份有限公司,则BAC(3,0,0),(3,1,0),(0,2,0)−，设Pabc(,,)，由∠=PDA∠=PBA90，则有DPDA⋅=3ab−=0,DPBA⋅=−=b0,，所以ab0，即Pc(0,0,)，所以PD⊥平面ABCD，因为PD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面ABCD，即平面DCCD11⊥平面ABCD；【小问2详解】解法一：设梯形ABCD与梯形A1B1C1D1的面积分别为SS12,，1133S1=(AB+CDBD)=×+×=(12)3，222CD111S2=133因为梯形ABCD与梯形ABCD相似，且=，故，所以S=，11112CD2S148由（1）知，DD1⊥平面ABCD，113333333373则VABCDABCD−1111=(S1++S2SS12)DD1=++⋅DD1=DD1，33282887373所以DD1=，故DD1=2，84以D为原点，DBDCDD,,1分别为xyz,,轴建立空间直角坐标系如图，1BADC(3,0,0),(3,1,0),−11(0,0,2),(0,1,2)，由DA11=DA，2第17页/共23页学科网（北京）股份有限公司,3113得A1(,−,2)，由AB11=AB，得B1(,0,2)，22223133所以AA1=−=,,2,AB1−=,1,2,BC11−,1,0，2222设平面ABC11的法向量为n=(xyz,,)，33则nA⋅B=−xyznBC++=⋅20,=−xy+=0，取n=(2,3,0)，11122设直线AA1与平面ABC11所成的角为θ，则3−++30AAn1⋅2105．sinθ=cos<aan1,>===AA⋅n57⋅701解法二：可知四棱锥PABCD−1111与四棱锥P−ABCD，CD111VPABCD−11111773相似比为=，故体积比为=，故VV==，CD2V8ABCDABCD−−1111PABCDPABCD−841133所以V=23，又S=(AB+CDBD)=×+×=(12)3，PABCD−ABCD222133所以××=PD23，故PD=4，所以P(0,0,4)，32331故BAC(,0,2),(,−,2),(0,1,2),111222下同解法一．20.学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（x分钟）和他们的数学成绩（y分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了x与y正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不1313清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到∑xyii=60255，∑yi=1105，xi的方差为350，(,)xyiii=1i=1的相关系数r≈0.98（i=1,2,3,,13）.第18页/共23页学科网（北京）股份有限公司,（1）请根据所给数据求出xy,的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；（2）受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.编号1415161718x8590100110120y113114117119119n∑(xxyyii−⋅−)()附：回归方程y=+abxˆˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为bˆ=i=1,aˆ=ybx−ˆ.n2∑(xxi−)i=1【答案】（1）yx=1.1+30，140分（2）①答案见解析；②答案见解析【解析】【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；（2）①根据回归方程的含义及统计知识解答疑惑即可；②补齐散点图，根据所学函数选择非线性回归方程即可.【小问1详解】第19页/共23页学科网（北京）股份有限公司,20253035404550556065707580++++++++++++x==50，1313110512y==85，又xi,i1,2,3,=,13的方差为∑(xxi−=)350，1313i=11313∑∑(xxyyi−⋅−)(i)xyii⋅−⋅13xyˆ60255135085−××46355085−×385ii=11=所以b=13=====1.1，213350××13350350350∑(xxi−)i=1aˆ=−=−×=ybxˆ851.15030，故yxˆ=1.1+30，当x=100时，y=140，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140分；【小问2详解】①（i）所求的经验回归方程依据的样本数据时间范围在20~80分钟，当时间范围扩大后，xy,之间不一定还符合该方程，所以预测与实际情况可能会有较大的差别；（ii）事实上，样本数据时间在70分钟以后，对应成绩的增速已有明显减缓的趋势，因此当时间范围扩大后，相关系数会降低，所求经验回归方程模型不一定适合.（iii）小李所拿到的样本数据的缺失可能使得回归模型不恰当，还应收集更多的样本数据分析，（iv）如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到一定程度时（如110分以上），想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法.②补齐散点图如图：bx合适的回归模型如yaxb=ln+，yaxb=+，y=ax，yba=−等，答案不唯一，只要能体现出增长速度逐渐变缓即可.121.已知O为坐标原点，点P到点F(1,0)的距离与它到直线lx:4=的距离之比等于，记P的轨迹为2Γ．点AB,在Γ上，FAB,,三点共线，M为线段AB的中点．（1）证明：直线OM与直线AB的斜率之积为定值；（2）直线OM与l相交于点N，试问以MN为直径的圆是否过定点，说明理由．【答案】（1）证明见解析第20页/共23页学科网（北京）股份有限公司,（2）定点F(1,0)，理由见解析【解析】【分析】（1）先设Pxy(,)，再根据距离比计算轨迹，最后计算斜率积即可；（2）先设Tm(,0)，再根据MN为直径的圆过定点Tm(,0)，计算MTNT⋅=0可得.【小问1详解】22(xy−+1)1设Pxy(,)，则有=，x−4222xy整理得+=1；43xx+yy+Axy,1212设(11),Bxy(22,)，Mxy(00,)，则x0=，y0=，22223xy+=41211由22，两式相减：340(xxxx1212−)(++−)(yyyy1212)(+=)，3xy+=41222yy12−y0yy12−y03整理得3(xxx120−⋅+−⋅=)24(yyy120)20，34+⋅=0，⋅=−，xxx120−xxx120−43即直线OM与直线AB的斜率之积为定值−．4【小问2详解】显然直线AB的斜率不为0，设直线AB方程为x=ty+1，x=ty+122联立方程组22，消去x得：(34t+)y+−=690ty，3xy+=4126tyy12+3t−34t所以yy12+=−2，yM==−2，xtM=⋅22+=1，34t+234t+3434tt++43t3tM,−，直线OMy:=−x，从而点Nt(4,3−)，223434tt++4根据椭圆的对称性可知，若以MN为直径的圆过定点，则该定点在x轴上，可设为Tm(,0)，以MN为直径的圆过定点Tm(,0)，则MTNT⋅=0，43t又MT=m−,，NT=(m−4,3t)，2234tt++34249t从而mm−(−+40)=，2234tt++34222整理得tm(3−++−+=12m9)4m20m160，第21页/共23页学科网（北京）股份有限公司,23mm−12+=90故，解方程组可得m=1，24mm−+=20160即以MN为直径的圆过定点F(1,0)．x22.已知fx()=−+∈lnxkx1(kR)，gxx()=(e−2).（1）求fx()的极值；（2）若gx()≥fx()，求实数k的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）k≥1【解析】【分析】（1）根据题意，求导得fx′()，然后分k≤0与k>0讨论，即可得到结果.1n+lxx（2）根据题意，将问题转化为k≥−+e2在x>0恒成立，然后构造函数x1ln+xxhx()=−+e2，求得其最大值，即可得到结果.x【小问1详解】1已知fx()ln=−+xkx1,()fx′=−kx（,>0），x当k≤0时，f′()0x≥恒成立，fx()无极值，1−kx11当k>0时，fx′()=，fx()在0，上单调递增，在,+∞单调递减，xkk11当x时，fx()有极大值，fk()=−ln，无极小值，kk1综上：当k≤0时，fx()无极值；当k>0时，极大值为fk()=−ln，无极小值；k【小问2详解】x若gx()≥fx()，则x(e−−2)lnxkx+−≥10在x>0时恒成立，2x1n+lxx1ln+xx−−lnxxe∴≥k−+e2恒成立，令hx()=−+e2,hx′()=，2xxx2x12x令φ（x）=−−lnxxe，则φ（′x）=−−+(xx2)e<>0(x0)，x11−2φ(x)φφ=−1ee>0,(1)=−<e0，在(0，+∞)单调递减，又e第22页>e(0),()(1)e0,()′xx=+>x在(0，+∞)上单调递增，11ωωln=∴=(),lnxx00，即−=lnxx00xx00∴当xx∈(0,)时，hx()单调递增，xx∈(,)+∞单调递减，001ln+−xxx11hx()=hx()=00−+=e20−+=21，max0xxx000∴≥khx()1=，即k的取值范围为k≥1.0【点睛】关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数极值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后构造函数，将问题转化为最值问题.第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司</e0，在(0，+∞)单调递减，又e第22页></aan1,></hh(04)，圆柱的体积用含有h的代数式表示，利用导数求其最大值即可.【详解】设加工成的圆柱的底面半径为r，高为4+<<hh(04)，轴截面如图，第12页></m时，pm′()<0，函数pm()单调递减.当m2></b.ac<c.cb<d.bd<【答案】b【解析】【分析】由对数运算性质，借助中间量1，结合指数幂的运算及函数的单调性比较大小即可.【详解】因为a=log78>
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