福建漳州三中2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

漳州三中2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷（命题范围：集合与逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数的概念与性质，指数函数）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上填涂区域是否准确，前两位填涂班级，后两位填涂座号.2.考试结束，监考员将答题卡收回.第Ⅰ卷选择题一.选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）U={1,2,3,4,5},AB={2,3,5},={2,5}1.已知集合，则（）A.AB⊆B.UB={1,3,4}C.AB={2,5}D.AB∩={3}【答案】B【解析】【分析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.【详解】由题BA⊆，故A错；∵U={1,2,3,4,5}，B={2,5}，∴UB={1,3,4}，B正确；AB={2,3,5}，C错；AB∩={2,5}，D错；故选:B2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）24xx−12A.yx=−1，y=−1B.y=，yx=−12xx+1C.yx=，yx=2D.yxx=+⋅−11，yx=2−1【答案】B【解析】【分析】判断两函数是否同一函数，只需判断是否有相同的定义域和对应关系即可.2x【详解】选项A：yx=−1的定义域为R,y=−1定义域为{xx≠0}，两函数定义域不同，故不是同一x第1页/共16页学科网（北京）股份有限公司 函数；44x−1x−122选项B：y=定义域为R且yx==−1,yx=−1定义域为R,两函数定义域对应关系相同，22x+1x+1故是同一函数；2选项C：yxx==与yx=的解析式不同，故不是同一函数；选项D：2yxx=+⋅−11的定义域为[1,+∞)，yx=−1定义域为(−∞,1][1,+∞)，两函数定义域不同，故不是同一函数；故选：B3.下列计算正确的是（）2223A.(2141aa−=−)B.aaa+=23326C.42=±D.(−=aa)−【答案】D【解析】【分析】根据指数幂的运算逐一判断即可得到结果.22【详解】∵(21441a−=−+)aa，∴A错误；223∵a，2a不是同类项，∴aaa+≠23，∴B错误；∵42=，∴C错误；326∵(−=aa)−，∴D正确，故选:D．14.函数fx()=+−1x的定义域为（）x+2A.[2,1]−B.(2,1]−C.(0,1]D.(1,+∞)【答案】B【解析】【分析】根据函数成立的意义，列方程组，从而解出答案.第2页/共16页学科网（北京）股份有限公司 1【详解】要使函数fx()=+−1x有意义，x+2x+>20则，解得−<≤21x10−≥x则函数fx()的定义域为(2,1]−.故选：B．5.三个数20.30.3a=0.3，b=(1.9)，c=2之间的大小关系是（）A.acb<<B.abc<<C.bac<<D.b<c<a【答案】B【解析】【分析】先与1比较大小，再根据幂函数单调性确定大小.20.3【详解】因为ab=0.31,?=(1.9)1，c=210.3>,0.30.30.3又yx=为(0,+∞)上单调递增函数，所以(1.9)<2,综上abc<<，选B.【点睛】本题考查比较大小以及幂函数单调性，考查基本分析判断能力.8116.已知正数x，y满足++=1，则xy的最小值是（）xyxyA.18B.16C.15D.12【答案】B【解析】【分析】根据“1”的技巧，利用均值不等式求解即可.811【详解】因为正数x，y满足++=1xyxy811所以xy=xy(++=)8+≥x+y82+xy，xyxy2即()2xy−xy−≥80，解得xy≥4，所以xy≥16，当且仅当xy==4时等号成立.故选：B第3页/共16页学科网（北京）股份有限公司 7.“a≤1”是“函数fxxa()=−在[−+∞1,)上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先求出函数在区间上单调的充要条件，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断可得；xaxa−≥,【详解】解：若函数fxxa()=−在[−+∞1,)上单调递增，即fxxa()=−=在[−+∞1,)−+xaxa,<上单调递增，则a≤−1，因为(−∞−,1](−∞,1]，所以由a≤1得不到函数fxxa()=−在[−+∞1,)上单调递增，由函数fxxa()=−在[−+∞1,)上单调递增可以得到a≤1，故“a≤1”是“函数fxxa()=−在[−+∞1,)上单调递增”的必要不充分条件；故选：Bx8.已知函数fx()22=−，gx()=axx(2)−a同时满足条件：①∀∈xR,()0fx<或gx()0<；②∃∈−∞−x(,4)，使得fxgx()()0<，则实数a的取值范围是（）A.(2,0)−B.(−∞−,2)C.(8,0)−D.(0,2)【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、二次函数图像与性质求解即可x【详解】当x>1时，fx()220=−>，要使∀∈xR,()0fx<或gx()0<，则当x≥1时，gx()0<恒成立，此时根据二次函数的性质可知：a<0，又∃∈−∞−x(,4)，使得fxgx()()0<，当x<4−时，fx()<0，所以存在x∈−∞−(,4)，使得gx()>0，第4页/共16页学科网（北京）股份有限公司 a<0由上面分析与二次函数的性质可知：g(−=−−−4)442aa()>0解得a<−2，故选：B二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选漏选得2分，多选错选不得分）9.若abRab,,0∈<<，则下列不等式中，一定成立的是（）1111abA.>B.>C.+>2D.ab>aba−abba【答案】BCD【解析】【分析】以求差法判断选项AB；以均值定理判断选项C；以绝对值的几何意义判断选项D.11()aab−−b【详解】选项A：−==，由ab<<0，可知a<0，b<0，ab−<0，aba−−−(aba)(aba)b11则<0，即<.选项A判断错误；(aba−)aba−11ba−ba−11选项B：−=，由ab<<0，可知a<0，b<0，ba−>0，则>0，即>.选项B判abababab断正确；abab选项C：当ab<<0时，+>22×=.选项C判断正确；baba选项D：当ab<<0时，ab>.选项D判断正确.故选：BCD10.已知关于x的不等式2ax++>bxc0的解集为(−∞−,2)∪(3,+∞)，则（）A.a>0B.不等式bx+>c0的解集是{xx|6<−}C.abc++>011D.不等式2(,)(,)−∞−∪+∞cx−+<bxa0的解集为32【答案】ABD【解析】第5页/共16页学科网（北京）股份有限公司 2【分析】根据不等式ax++>bxc0的解集判断出a>0，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.2【详解】关于x的不等式ax++>bxc0的解集为(−−∪+∴>∞∞,2)(3,),a0,A选项正确；b−+=−232a且－2和3是关于x的方程ax++=bxc0的两根，由韦达定理得，−×=23ca则b=−=ac,6−a，则abc++=−<60a，C选项错误；不等式bx+>c0即为−−>ax60a，解得x<−6,B选项正确；11222x<−或x>,D选项正确.不等式cx−+<bxa0即为−60ax++<axa，即6xx−−>10，解得32故选：ABD.11.设集合Mxxax={(−)(−=1)0}，N{1,4}，则MN∪的子集个数可能为（）A.2B.4C.8D.16【答案】BC【解析】【分析】讨论a≠1、a=1确定集合M，在a≠1的情况继续讨论a≠4、a=4确定MN∪的元素个数，即可求子集个数.【详解】当a≠1时，Ma={1,}，则：若a≠4，则MN∪={1,4,}a，子集有8个，若a=4，则MN={1,4}，子集有4个；当a=1时，M={1}，此时MN={1,4}，其子集有4个；综上，MN∪的子集个数可能为4或8个.故选：BC12.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设第6页/共16页学科网（北京）股份有限公司 xR∈，用符号[x]表示不大于x的最大整数，如[1.6]=1，[−=1.6]−2称函数fx()=[x]叫做高斯函数．下列关于高斯函数fx()=[x]的说法正确的有（）A.f(−=−33)B.若fafb()=()，则ab−≤1C.函数yfxx=()−的值域是[−1,0)D.函数yxfx=⋅()在[1,+∞)上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】由高斯函数fx()=[x]的定义逐一判断即可.【详解】解：对A，由高斯函数的定义，可得f(−=−33)，故A正确；对B，若fafb()=()，则[ab]=[]，而[x]表示不大于x的最大整数，则−<−<11ab，即ab−<1，故B正确；对C，函数yfxx=()−，当x=1时，yf=(11110)−=−=[]，故C错误；xx(12≤<)22xx(≤<3)对D，函数yxfxxx=⋅()=⋅=[]，即函数yxfx=⋅()为分段函数，在[1,+∞)上单调递33xx(≤<4)增，故D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.4163−+=6273______．【答案】8【解析】【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂求解作答.31113111【详解】4163−+=−+=6273164276632(2)434−(3)+=−+=322332238.故答案为：8214.已知fx()是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fxx()=−2x，则当x<0时，fx()=______．2【答案】−−xx2第7页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据奇函数的性质求解【详解】x<0时，−>x0，fx()是奇函数，22此时fx()=−−=−+=−−fx()(x2)xx2x2故答案为：−−xx215.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.7【答案】3【解析】2277【详解】令3x＋2＝4，得x＝，则2x＋1＝2×＋1＝，∴a＝.333316.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限rr()>0，劳累程度TT(0<<1)，劳动动机bb(1<<5)相关，并建立了数学模型E=−⋅1010Tb−0.14r．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②④【解析】【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.【详解】设甲与乙的工人工作效率EE12,，工作年限rr12,，劳累程度TT12,，劳动动机bb12,，−0.14对于①，bb12=，rr12>，TT12<，15<<b，0<b2<1bb−−0.14rr21>0.14，TT>>0，∴2121EE−=1010−⋅Tb−0.14r1−=1010−⋅Tb−0.14r210Tb⋅−−0.14rr21−Tb⋅0.14>0，则1211(22)(2211)∴EE12>，即甲比乙工作效率高，故①正确；对于②，TT12=，rr12>，bb12>，第8页/共16页学科网（北京）股份有限公司 1>>bb−−0.140.14>0，bbb−−−0.14rrr221>0.14>0.14，∴21211E−−E=1010−−Tb⋅⋅−0.14r11010−Tb−0.14r2=10Tbb−−0.14rr210.14>0，则1211(22)1(21)∴EE12>，即甲比乙工作效率高，故②正确；b1对于③，rr12=，EE12>，bb12<，01<<，b2E−>E=10T⋅bT−−0.14rr21−⋅b0.140，Tb⋅−−0.14rr21>⋅Tb0.14，∴12(2211)2211−0.14r−0.14r1Tb1b211>=>1，Tb−0.14r2b122所以TT2>1，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；对于④，bb12=，EE12>，rr12<，E−>E=10T⋅bT−−0.14rr21−⋅b0.140，Tb⋅−−0.14rr21>⋅Tb0.14，∴12(2211)2211Tb−0.14r121>=b−−0.14(rr12)>1∴−0.14r(1)，Tb212所以TT2>1，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.故答案为：①②④.四．解答题（共6小题，满分70分，其中第17题10分，18-22题每题12分）217.已知全集Ux=∈≤≤{N1x6}，集合A={xx−+=680x}，B={3,4,5,6}.（1）求AB∪，AB∩；（2）求(UAB)，并写出它的所有子集.【答案】（1）AB={2,3,4,5,6}，AB∩={4}；（2）(UAB)∩={3,5,6}，对应所有子集见解析.【解析】【分析】（1）解一元二次方程求集合A，应用集合的交、并运算求AB∪、AB∩；（2）应用交补运算可得(UAB)∩={3,5,6}，进而写出所有子集.【小问1详解】由题设U={1,2,3,4,5,6}，A{2,4}，B={3,4,5,6}，第9页/共16页学科网（北京）股份有限公司 所以AB={2,3,4,5,6}，AB∩={4}.【小问2详解】由（1）知：UA={1,3,5,6}，则(UAB)∩={3,5,6}，对应子集有∅，{3},{5},{6},{3,5},{3,6},{5,6},{3,5,6}.2,0x<x18.已知函数fx()=−≤<x,0x2．1xx−≥3,22（1）求f(0)，ff((2))；（2）若fm()=−1，求m的值；（3）在给定的坐标系中，作出函数fx()的图象．【答案】（1）f(0)=0,ff((2))=−1（2）m的值为−2或1或4（3）图见详解【解析】【分析】（1）根据分段函数fx()的解析式求解．（2）对m的范围分三种情况讨论，分别求出对应的m的值即可．（3）根据分段函数fx()的解析式，分别画出每一段的图象即可．第10页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【小问1详解】2,0x<x因为fx()=−≤<x,0x2，1xx−≥3,22所以f(000)=−=，1由f(2)=×−=−232，22所以ff((221))=−==−f()；−2【小问2详解】2当m<0时，fm()==−⇒=−12m，m当02≤<x时，fm()=−=−⇒=m11m；1当x≥2时，fm()=m−=−⇒=31m4；2综上所述m的值为−2或1或4；【小问3详解】函数fx()的图像，如图所示，第11页/共16页学科网（北京）股份有限公司 xa−61119.已知Ax=<1，Bx=|<x+2327（1）当a=2时，求AB(R);（2）已知“xB∈”是“xA∈”的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩(RB)={xx<−2或4<≤x5}（2）a∈[1,+∞)【解析】【分析】（1）先解分式不等式得到集合A，再解指数不等式得到集合B，再求出集合B的补集，从而可求出AB(R)；（2）先求得集合B，再由题设条件得到BA⊆，列不等式可求出结果.【小问1详解】64−x由<1，得<0，得(xx+−<2)(4)0，x+2x+2即(xx+240)(−>)，解得x<2−或x>4，故A={2xx<−或x>4}，xa−x−231111当a=2时，由<，得<，故x−>23，即x>5，32733故B={xx>5}，所以RB={xx≤5}，所以A∩(RB)={xx<−2或4<≤x5}【小问2详解】xa−xa−31111由<得<，故xa−>3，即xa>+3，故B={xxa>+3}，32733由“xA∈”是“xB∈”的必要条件得BA⊆，所以a+≥34，解得a≥1，即a∈[1,+∞).2mm2−+42x20.已知幂函数fx()=(m−1)x在(0,+∞)上单调递增，函数gx()2=−k.（1）求m的值；（2）当x∈[1，2]时，记fx()，gx()的值域分别为集合A，B，设命题pxA:∈，命题qxB:∈，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.【答案】（1）0；（2）01≤≤k.第12页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【解析】22【分析】（1）由幂函数的定义(m−=1)1，再结合单调性，mm−+<420即得解.（2）求解fx()，gx()的值域，得到集合A，B，转化命题p是q成立的必要条件为BA⊆，列出不等关系，即得解.2【详解】（1）依题意得：(m−=1)1，⇒=m0或m=2，−2当m=2时，fxx()=在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴=m0.2（2）由（1）得：fxx()=，当x∈[1，2)时，fx()∈[1，4)，即A=[1，4)，当x∈[1，2)时，gx()[2∈−k，4)−k，即Bk=[2−，4)−k，若命题p是q成立的必要条件，则BA⊆，21−≥kk≤1则，即，44−≤kk≥0解得：01≤≤k.【点睛】本题考查了函数性质与逻辑综合，考查了学生综合分析，逻辑推理，数形运算能力，属于中档题.21.1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.（1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？（2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：52提高价格到m欧元/平方米（其中m>25），其中投入(m−600)万欧元作为技术创新费用，投入500万3欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.【答案】（1）40（2）该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.【解析】【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到n关于m的关系式，第13页/共16页学科网（北京）股份有限公司 15005nm2，利用基本不等式进行求解m3【小问1详解】设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米802−−(xx25)≥2000解得：25≤≤x40所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米【小问2详解】52mn20005002mm600352整理得：mn15002mm315005除以m得：nm2m3150051500515005由基本不等式得：nm22m2102，当且仅当m，即m=30mm33m3时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.x2+a22.设a∈R，函数fx()=.x2−a（1）若a=1，求证：函数fx()为奇函数；（2）若a<0，判断并证明函数fx()的单调性；kkk（3）若a≠0，函数fx()在区间[mnmn,(]<)上的取值范围是,R(k∈)，求的范围.mn22a【答案】（1）证明见解析（2）fx()在R上单调递增，证明见解析（3）(0,322−−){1}【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断，即可得到结果；第14页/共16页学科网（北京）股份有限公司 （2）根据函数单调性的定义判断，即可得到结果；（3）根据题意可得，a≠0，然后分a>0，a<0两种情况，结合函数的单调性分类讨论，即可得到结果.【小问1详解】x−xx21+2112++当a=1时，有fx()=且定义域为x≠∴−=0,fx()==−fx()，x−xx21−2112−−综上有：fx()的定义域关于原点对称且fx(−=−)fx()，即fx()为奇函数；【小问2详解】a<0x时，有20−>a，即fx()定义域为R，结论为：fx()在R上单调递增.设对任意两个实数：xx12<，则xxx1x2x2x1xx212212++aa(2+aaaaa)(2−−+)(2)(2−)222(−)fxfx(12)−=−=()xxxx=xx而2212−−aa(2212−−aa)()(221−−aa)(2)2xx21−>20,2x1−>aa0,2x2−>0，222a(xx21−)a<∴0,<0，即fx(12)<fx()得证.(22xx1−−aa)(2)【小问3详解】11kkkk由mn<知，>，由,R(k∈)知：<，所以k<0，a≠0，所以a>0或a<0，mnmnmn222222∴当a<0时，由（2）知fx()在R上单调递增，结合题意有，mk21+kfm()==mmm−x22122+1k，得，即mn,是=的两个不同的实根，knxxfn()=21+k21−2nnn−=2212∴令20xt2+−+=aktak0,(,ak<0)在t>0上有两个不同实根，=>，则()ak−−>022k故(ak−−>)40ak，可得0<<−322，aak>02a当a>0时，fx()=+1x在(−+∞∞,log22aa),log,()上都递减，2−a第15页/共16页学科网（北京）股份有限公司 k若[mn,]⊆+(log,2a∞)，有fx()>1，则m>1与k<0矛盾，舍去；2若[mn,]⊆−(∞,log2a)，有fx()<1，即有mk21+kfm()==22nm+=ak2m−a2n212mn−()()即，所以，两式相减得k21n+kmnnfn()==22(+=ak)(2−a)2mnm−212nmk(ak+−=)(220)，又220nm=−；−>，即有ak+=0，则1ak∴综上有∈(0,322−)∪−{1}.a第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司