福建省福宁古五校联合体2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

福宁古五校教学联合体2022-2023学年第二学期期中质量监测高一数学试题（满分150分，120分钟完卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚．2．每小题选出答案后，填入答题卡中．3．考试结束，考生只将答题卡交回，试卷自己保留．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】由可得：.故选：B2.已知向量，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得，结合，列出方程，即可求解.【详解】由向量，可得，因为，可得，解得.故选：C.3.，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则 C.若，，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中，直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A：若，，则或，故A不正确；对于B：若，，则或，故B不正确；对于C：若，，，则或与异面，故C错误；对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.故选：D.4.中，点M为边AC上的点，且，若，则的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.【详解】由题意易得：，故，故选：D5.已知正方形的边长为，按照斜二测画法作出它的直观图，直观图面积为，则值为（）A.B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据斜二测画法的规则，得出边长为的正方形的直观图，过作 ，求得，结合的面积为，列出方程，即可求解.【详解】以为原点，以和所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图（1）所示，根据斜二测画法的规则，得到边长为的正方形的直观图，如图（2）所示，因为，可得，又因为，过作，可得，由直观图的面积为，所以，解得.故选：B.6.在中，点D是边的中点，，，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可.详解】如图所示，由题意可得：，即，解之得故选：A 7.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积求得两只胳膊的拉力的合力大小，再依据物理定理即可求得该学生的体重.【详解】由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反两只胳膊的拉力的合力大小为则该学生的体重约为（kg）故选：B8.将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果.【详解】在边长为的正方形中，设、分别为、的中点， 、、分别沿、、折起，使、、三点重合于点，满足题意，如下图所示：翻折前，，，翻折后，则由，，，将三棱锥补成长方体，其中，，设三棱锥的外接球的半径为，则，，故该三棱锥的外接球的表面积为.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.设向量，则（）A.B.C.与的夹角为D.在上的投影向量为【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的坐标表示判断模长、共线、夹角、投影向量即可.【详解】由得：，故A正确； 而，即与不平行，故B错误；，即，故C正确；在上的投影向量为，故D正确；故选：ACD10.已知，下列结论正确的为（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】设复数，结合复数模的计算公式和共轭复数的概念，逐项判定，即可求解.【详解】设复数，对于A中，，，所以，所以A不正确；对于B中，由，可得，所以，所以B错误；对于C中，由，所以，所以C正确；对于D中，由，所以，所以D正确.故选：CD.11.在中，，角所对的边，下列结论正确的为（）A.若，有一个解B.若，无解C.若，有两个解D.若，有一个解【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由正弦定理求得，结合选项中的取值范围，分类讨论，即可求解.【详解】因为且，由正弦定理，即，当时，可得，所以，此时有一个解，故A不正确；当时，可得，不成立（舍去），此时无解，故B正确； 当时，即，则，由，此时有两解，即有两解，故C正确；当，即，则，由，此时只有一解，故D正确.故选：BCD.12.在正方体中，点满足，其中，，则（）A.当时，直线与直线异面B.当时，的周长为定值C.当时，直线平面D.当时，三棱锥的体积为定值【答案】CD【解析】【分析】当时，直线与直线平行否定选项A；当，时的周长与当时的周长不相等否定选项B；利用线面平行判定定理证明直线平面则选项C判断正确；利用线面平行性质定理证明三棱锥的体积为定值则选项C判断正确.【详解】设正方体棱长为a，选项A：当时，，则点P在线段上，当时，即，则，即.判断错误；选项B：当时，，则点P在线段上，当时，的周长为；当时，的周长为，则的周长不为定值.判断错误；选项C：当时，，则点P在线段上，则平面即平面，由，平面，平面，可得平面， 则直线平面.判断正确；选项D：当时，则点P在线段上，由，平面，平面，可得平面，则点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值.判断正确.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点，，，若，则值为____．【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件列关于的方程，解之即可求得的值.【详解】，，，则，由可得，，则，解之得故答案为：14.已知复数的实部为，且，则复数的虚部为_________．【答案】【解析】【分析】根据题意，设复数，由，列出方程，即可求解.【详解】由复数的实部为，可设复数，因为，可得，可得，解得.故答案为：.15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为. 【答案】【解析】【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.16.如图放置的边长为1的正方形的顶点A，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】先求得两点的坐标，进而得到的表达式，再利用三角函数性质即可求得的取值范围.【详解】设，则，则，则又，则，则，则，则的取值范围为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数，复数在复平面内对应的向量为，（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得a的值；（2）计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得a的取值范围.【小问1详解】由题，则，由为纯虚数得，，解得．【小问2详解】，在复平面内的对应点在第四象限，则，即，解得．18.如图，某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学研究性学习小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知．（1）分别求AE、BH的长；（2）求宣传牌CD的高度（结果保留根号）．【答案】（1），，（2） 【解析】【分析】（1）由及，可得BH，由及，可得AE；（2）过点作，垂足为，解三角形可得结果.【小问1详解】由于所以，设，则，所以在中，所以【小问2详解】过点作，垂足为．则，又所以故宣传牌CD的高度为19.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点． （1）证明：平面（2）过三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由并求截面面积．【答案】（1）证明见解析（2）截面图见解析，截面面积为【解析】【分析】（1）设，根据三角形中位线性质可得，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由三角形中位线性质和平行关系传递性可得，由此可确定截面即为四边形，知其为等腰梯形，根据长度关系计算即可得到截面面积.【小问1详解】连接，设，连接，是的中点，是的中点，，平面，平面，平面.小问2详解】作图过程：取中点，连接，则四边形即为截面图形. 证明如下：是的中点，是的中点，；，，四点共面，四边形即为所求截面，此时四边形为等腰梯形；，，，四边形的高，四边形的面积为.20.的内角的对边分别为，且．（1）求A；（2）若，三角形面积，求边上的中线的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，化简可解；（2）先由三角形面积公式求出，再借助，可求的长；或者利用余弦定理求的长.【小问1详解】由正弦定理得，又，则， 化简得．又，所以，则．因为，所以．【小问2详解】由得，法一：由得边上的中线的长为．法二：由余弦定理得：，由，得，解得，，即边上的中线的长为．21.如图，在三棱台中，，，，为线段中点，为线段上的点，平面．（1）求证：点为线段的中点；（2）求三棱台的表面积．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，设，由平面，证得，结合是的中点，得到点是的中点；（2）根据题意，先求得上下底面正三角形的面积分别和，再结合侧面和侧面均为直角梯形，求得面积为，由侧面为等腰梯形，过点作，求得的长，得到侧面的面积为，即可求解.【小问1详解】连接，设，连接、，因为平面，平面，且平面平面，所以，又因为四边形是正方形，且是的中点，所以点是的中点.【小问2详解】三棱台中，因为，所以为等边三角形，所以也为等边三角形，且，上底面为等边三角形，其边长为1，可得面积为，下底面为等边三角形，其边长为2，可得面积为，又因，所以侧面和侧面均为直角梯形，且，其面积均为，侧面为等腰梯形，其中，且,过点作，垂足为，可得，所以侧面的面积为， 所以三棱台的表面积为.22.如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B），记的面积为．（1）记，求的表达式；（2）若①求的取值范围；②设，记，求的最小值．【答案】（1）（）（2）①；②【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式和数量积的定义，写出的表达式；（2）由，将数量积转化为三角函数，求函数值域即可；利用向量共线将用t表示，求函数的最值.【小问1详解】因为，， 所以（）．【小问2详解】①设，，则，，所以，，又，所以，则．②设，则，因为，所以，所以，因为，所以，即，化简得，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．【点睛】因为，M，C三点共线，所以表示向量和的数乘关系，设，借助，可得.