河北省石家庄市五校联合体2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度高一下学期5月联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义即可求解.【详解】由图可知，，所以z在复平面内所对应的点为，则.故选：C.2.设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确.【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误；由向量的三角形法则可得，即B错误；易知，所以可得，即C错误；由向量的减法法则可得，所以D正确；故选：D3.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，所以平行四边形的周长是8．故选：A． 4.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，故体积为.故选：A5.若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为（）A.2B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式结合三角恒等变换及三角函数性质求解作答.【详解】复数，，则，因此 ，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故选：D6.在中，，，，则（）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】在中，，，，由余弦定理得，即，整理得，所以.故选：B7.设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算结合充要条件分析判断.【详解】设与的夹角为，当时，因为，可得，整理得，即，则，且点不共线，所以与的夹角为钝角；当与的夹角为钝角时，则，所以，可得， 即；所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件．故选：C．8.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（）(参考数据：)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】易知，当球体与正四面体内切时，球体（蛋黄）的体积最大，用等体积法即可求得.【详解】如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为的中心，点F为边AC的中点.易得：，则，，∴，∴，∵， ∴，∴球O的体积.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中不正确的是（）A.正四棱柱一定是正方体B.圆柱的母线和它的轴不一定平行C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D.以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【答案】ABD【解析】【分析】根据正四棱柱的定义，圆柱母线的定义，正棱锥的定定义，以及圆锥的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底圆锥组合体，故D错误．故选：ABD．10.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.的共轭复数不是B.C.复数D.复数为纯虚数【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的条件，利用共轭复数、复数模的意义判断AB；利用复数的乘除运算判断CD作答.【详解】复数，， 对于A，复数的共轭复数，不是，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，是纯虚数，D正确，故选：ACD11.下列说法正确是（）A.若与是共线向量，则B.若，，则与可以作为平面内所有向量的基底C.已知是圆的直径，点是圆上异于、的点，且，则向量在向量上的投影向量为D.若，是单位向量，且，则【答案】BCD【解析】【分析】利用向量共线即可求出，根据基底向量的定义即可判断B，作出图形，根据投影向量的定义即可判断C，根据向量的运算律即可计算D.【详解】对A，由题意得，则，解得，故A错误；对B，因为，则与不共线，则与可以作为平面内所有向量的基底，故B正确；对C，过点作，垂足为，则则向量在向量上的投影向量为，因为为直径，则,因为，则，显然为锐角，则，则，则向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对D，由题意得，故D正确，故选：BCD.12.已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.点与点到平面的距离相等D.平面截正方体所得的截面面积为【答案】BD【解析】【分析】确定直线与直线所成的角判断A；连接，由线面平行的判定判断B；由平面是否过的中点判断C；作出截面，再计算面积判断D作答.【详解】对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角，连接AC，由平面ABCD，得，即在中，，则不可能直角，直线与直线不垂直，A错误； 对于B，连接，由，分别为，的中点，得，又，则四边形是平行四边形，于是，而四边形是正方体的对角面，点为中点，有，即平面，平面，平面，所以平面，B正确；对于C，连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，C错误；对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面积为，D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.【详解】，故答案为：.14.已知以为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______. 【答案】2【解析】【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，根据向量坐标化运算即可得，再利用向量数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设一小格为1单位，则，，，则，故答案为：2.15.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.①若，，，则②若，，，则③若，，，则④若，，，则【答案】②【解析】【分析】举例说明判断①③④；利用相关性质推理判断②作答.【详解】对于①，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，显然有，，，而，①错误； 对于②，因为，，当时，由，得，当n不在平面内时，则存在过直线的平面与都相交，令交线分别为，则有，而，，于是，因此，②正确；对于③，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，满足，，，而，③错误；对于④，在长方体中，平面，平面分别为，直线分别为直线，满足，，，而，④错误，所以正确命题的序号是②.故答案为：②16.如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________..【答案】【解析】【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以， 所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度的目的.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，，其中是实数.（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，求.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.【小问1详解】复数，则，又a是实数，因此，解得，所以实数a的值是1.【小问2详解】复数，，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，则，即有， 所以.18.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长；（2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积.【小问1详解】由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1中点，故侧棱长为2.【小问2详解】底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面积为S=S1+S2=12+2.19.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，． （1）请用，表示向量；（2）若，设，的夹角为，若，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；（2）以，为基底表示出，结合已知求可证.【小问1详解】，由题意得，所以．【小问2详解】由题意，．∵，，∴．∴，∴．20.如图，在长方形中，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见详解（2） 【解析】【分析】（1）根据长方体的性质得到平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质进而得证；（2）记交于点，连接，得到为与平面所成的角，在直角三角形中进行求解即可.【小问1详解】在长方体中，,,，平面，平面，平面，，又，可得,，平面，平面.平面，.【小问2详解】记交于点，连接，由（1）得平面，所以为斜线在平面上的射影，为与平面所成的角.在长方体中，,，在中，，， .直线与平面所成角的正弦值为.21.在锐角中，角，，所对的边为，，，已知.（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由给定的等式，结合余弦定理求出角作答.（2）根据（1）的结论，结合正弦定理边化角，再利用三角变换及三角函数的性质求解作答．【小问1详解】在中，由，得，由余弦定理得，又，解得，所以.【小问2详解】在锐角中，由（1）知，，则，解得，由正弦定理得，，即，，因此，而，有，于是， 所以的取值范围是．22.如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.（1）当落在何处时，平面平面，并说明理由；（2）在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（3）设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围.【答案】（1）落上，理由见解析；（2）直线与平面平行，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理即得；（2）取的中点，由题可得，进而可得，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，然后利用面面平行的判定及性质即得；（3）作交于，可得平面，在中，作，可得平面，然后求的取值范围即得.【小问1详解】当落上时，平面平面.因为，所以平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】 直线与平面平行.证明如下：取的中点，连结.因为平面，所以，在Rt和Rt中，，所以，所以，因为为的中点，所以，又在矩形中，，所以，因为平面平面，所以平面，在中，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，又在平面中，，所以平面平面，因为平面，所以平面.【小问3详解】在矩形中，作交于， 已知，由题意知在中，作，交于，沿将折起成后，又，所以平面.因为平面，所以，又，在平面中，，所以平面，因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段，因为在Rt中，所以，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，因为四面体的体积为，①当取得最大值时，即与重合时，四面体的体积取得最大值；②当取得最小值时，即与重合时，四面体的体积取得最小值.