北京市大兴区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2023北京大兴高一（下）期中数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法法，准确计算，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得.故选：D.2.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.【详解】.故选：B.3.已知向量，，若，则（）A.B.C.4D.1【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解．【详解】由，则，得.故选：B．4.函数的最小正周期是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简解析式，由此求得的最小正周期.【详解】，最小正周期为.故选：B5.已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可解出，则可得到复平面内对应的点的坐标为.【详解】因为，所以，从而复平面内对应的点的坐标为，故选：C.6.设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】由，得，得；反之不成立.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及向量数量积，属于基础题型.7.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则 （）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求出与的关系，再运用二倍角余弦公式求解.【详解】由题意作下图：，；故选：D.8.中，，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理求得，结合三角函数的基本关系式，利用，即可求解.【详解】因为，由余弦定理可得，又，则，又因为，所以.故选：A.9.已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用基底的思路结合共线向量表示出，然后根据的取值范围计算即可.【详解】设，则，，所以的取值范围为.故选：C.10.已知函数部分图象如图，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先结合已知条件和图像求出的解析式，然后利用函数的对称关系求出与之间的关系 式，然后通过求出，进而即可求出.【详解】结合题意可知，，∵，∴，又由图像可知，，又由，即，即，，从而，故，令，，从而的对称轴为，，由图像可知，与关于对称，即，且，因为，所以.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数的共轭复数为_______【答案】【解析】【分析】根据共轭复数定义直接写出已知复数的共轭复数即可.【详解】由共轭复数得定义：复数的共轭复数为.故答案为：12.已知平面向量满足，，且与的夹角为，则_________．【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积运算公式进行出，从而求出. 【详解】，故.故答案为：13.在中，若，则_____．【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用同角三角函数的关系可求得结果.【详解】因为，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，因为，所以，故答案为：14.已知，，，，点满足，点满足，则_____，_____．【答案】①.②.【解析】【分析】先确定D，E点的位置，再根据数量积的运算规则求解.【详解】由题意作下图：其中点D是BC的中点，点E是AD的中点； ，，，；故答案为：，.15.已知函数，给出下列四个结论：①为奇函数；②在区间内有2个零点；③的周期是；④的最大值为．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】②④【解析】【分析】根据三角函数的有关性质逐项分析.【详解】对于①，，不是奇函数，错误；对于②，，令，，解得，对应的x值分别在第三象限和第四象限有一个，正确；对于③，，错误；对于④，由②的分析知，的最大值为，正确；故答案为：②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知，．（1）求的值； （2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再根据两角差的正弦公式求解；（2）先求出，再根据两角差的正切公式求解.【小问1详解】因为，，所以，所以；【小问2详解】因为，，所以，所以.17.已知复数，为虚数单位．（1）若，求的值；（2）若为实数，求的值；（3）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值．【答案】（1）0（2）1（3）或【解析】【分析】（1）直接列方程求解即可； （2）把代入化简，然后由虚部为零，可求出的值；（3）把代入方程化简，然后列方程组可求出的值．小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为为实数，所以，解得.【小问3详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以，整理得，所以，解得或.18.已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间；（3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）（3）【解析】【分析】（1）化简函数得，若选①，则把代入函数中可求出的值，则可求出解析式，若选②，则由三角函数图象平移规律可求出的值，若选③，则，求出周期，再利用周期公式可求出的值；（2）由可求出函数的单调增区间；（3）利用正弦函数的性质求出在上的最大值，从而可求出实数的取值范围.【小问1详解】,选①：函数的图象经过点，则，所以，则.由，可得，则；选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，即的图象可由函数的图象平移得到，则，则选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的最小正周期为，故，故.【小问2详解】令,因为的单调递增区间是， 且由，得.所以，的单调递增区间是.【小问3详解】当时，,则，故，又当时，关于的不等式恒成立，故,即实数的取值范围为.19.如图，在中，，，，点在边的延长线上，且.（1）求；（2）求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求的周长.【小问1详解】在中，由正弦定理，又，，， 所以.因为，所以或.若，则，与三角形两角和定理矛盾，故舍去，所以.【小问2详解】在中，因为所以是直角三角形，又，，所以，又因为，所以，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，所以，的周长为.20.在△ABC中，．（1）求B的值；（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．【答案】（1）（2）正确条件为①③，（i），（ii）【解析】【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值； （2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．【小问1详解】由题设，而，所以，故；【小问2详解】若①②正确，则，得或，所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则，可得，即②为错误条件，综上，正确条件为①③，（i）由，则，即，又，可得，所以，可得，则，故；（ii）因为且，得，由平分得，在中，， 在中，由，得．21.在中，.（1）设点为边靠近点的三等分点，，求的值；（2）设点是线段的等分点，其中，.（i）当时，求的值；（用含的式子表示）（ii）求的值．（用含的式子表示）【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据，结合点为线段靠近点的三等分点，列出方程，即可求解；（2）（i）根据题意得到，即可求解；（ii）对任意正整数，得到，，进而得到，，…,分为奇数和为偶数，两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】解：因为，而点为线段靠近点的三等分点，所以，所以，所以.【小问2详解】解：（i）由题意得，,, ,,所以.所以.（ii）对任意正整数，且，，,由，，所以，所以，，，当为奇数时，，当为偶数时，所以，，.所以