北京市顺义区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022—2023学年度第二学期期中试卷高一数学2023.4考生须知1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束后，请将答题卡上交.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数对应的点确定正确答案.【详解】复数对应点为，在第一象限.故选：A2.在平行四边形中，等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量减法的三角形法则计算.【详解】由平面向量减法的三角形法则，可得.故选：B3.若且，则角所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的正负，确定角所在的象限.【详解】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，所以满足且，角在第四象限.故选：D4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可.【详解】对于A，向左平移个单位长度得，故A错误；对于B，向右平移个单位长度得，故B错误；对于C，向左平移个单位长度得，故C正确；对于D，向右平移个单位长度得，故D错误；故选：C.5.在中，若，，，则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理列式计算即可.【详解】由正弦定理可得，，所以，解得.故选：A6.已知向量，，若，则实数（）A.3B.6C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量共线的条件即可求解.【详解】由题意，因为，所以，解得.故选：D.7.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据图象，先确定以及周期，进而得出，分类讨论，结合求出，从而求得函数解析式.【详解】因为，根据图像易得，因为，所以，所以，则，当时，，由得，所以，即，，因为，所以，所以；当时，，由得，所以，即，，因为，所以，所以；综上：，故A正确.故选：A8.若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式及其运算法则即可得解． 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，所以，所以，，，故，又，则.故选：C.9.已知函数，如果存在实数，使得对任意实数x，都有，那么的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小值为半个周期，由此得解.【详解】因为的周期，又由题意可知为的最小值，为的最大值，所以的最小值为.故选：B.10.已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是（）A.3B.2C.D.【答案】D【解析】 【分析】由所以，再利用数量积的几何意义求解.【详解】解：因为，，，所以，，所以的最大值是-3，故选：D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11.______.【答案】##【解析】【分析】利用正弦函数的倍角公式计算即可.【详解】.故答案为：.12.在平面直角坐标系中，，则向量______；______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用平面向量运算与模的坐标表示求解即可.【详解】因为，所以，则.故答案为：；.13.若实数b满足，则______.【答案】 【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简，根据复数相等即可求解.【详解】,所以，即.故答案为:.14.如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么______.【答案】1【解析】【分析】可作单位向量，从而可用表示向量，根据平面向量基本定理即可得出关于的方程组，求解即可.【详解】如图所示，作单位向量,则，，所以.又，所以,所以，解得， 所以.故答案为:1.15.已知，.有下列四个说法：①的一个正周期为；②在上单增；③值域为；④图象关于对称.其中，所有正确说法的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.【详解】对于①，因为，所以①正确；对于②，当时，，此时，又，所以在单调递增，因为，为偶函数，所以在单调递减，故②错误；对于③，因为，所以值域，故③正确；对于④，因为，所以图象关于对称.故答案为:①③④.三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知复数（i为虚数单位）. （1）求复数的模；（2）求复数的共轭复数；（3）若是关于方程一个虚根，求实数的值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据复数的模长公式计算；（2）根据共轭复数的定义即可得答案；（3）根据题意，将复数代入方程可得，化简计算即可得的值.【小问1详解】根据复数的模长公式可得，【小问2详解】根据共轭复数的定义，复数的共轭复数为【小问3详解】由题意，，则，得，所以实数的值为17.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递减区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用辅助角公式化简，再利用三角函数的周期公式即可得解；（2）利用整体代入法，结合三角函数的单调性即可得解. 【小问1详解】因为函数，所以，故的最小正周期为.【小问2详解】因为,在上单调递减，令，得，所以的单调递减区间为.18.已知向量.（1）求；（2）设夹角为，求的值；（3）若向量，求实数值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接利用坐标计算即可；（2）直接利用向量的夹角公式计算即可；（3）先求出的坐标，再由，得列方程求解即可.【小问1详解】 因为向量，所以，【小问2详解】因为向量，的夹角为，所以，【小问3详解】因为向量，所以，因为，所以，解得19.已知函数.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简，从而可得的值；（2）由得，从而结合正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】因为 ，所以.【小问2详解】由，可得，所以当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值.20.在中，，，.（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理列方程即可求解；（2）根据正弦定理求出，由同角三角函数的基本关系求出，在中求出，根据及三角形面积公式即可求解.【小问1详解】由余弦定理可得,化简可得,解得或（舍）.【小问2详解】 因为，所以,在中，由正弦定理可得,即,解得.易知为锐角，所以,，因为，所以在中，.根据三角形面积公式可得,,所以.21.对于函数，，，及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有“m关联”性质.（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；①，；，；②，；，；（2）若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意，有.求证：与不具有“4关联”性质.【答案】（1）①有；②没有；（2）；（3）证明过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据具有关系“2关联”性质的定义判断即可.（2）求解的值域即可得出结果.（3）根据的性质求出其值域，结合三角函数的值域推理作答.【小问1详解】①存在，，使得，所以函数具有“2关联”性质；②，，而，，因此，，显然不存在，，使得，所以函数不具有“2关联”性质.【小问2详解】，，则，，所以m的取值范围是.【小问3详解】因为在上，当且仅当时，取得最大值1，又为定义在上的奇函数，则在上，当且仅当时，取得最小值，由对任意，有，即关于点对称，又，于是函数的周期为，因此的值域为；，①当时，，而时，，若，则时，有；②当时，，而时，，若，则时，有，显然，因此，即不存在，使得 ，所以与不具有“4关联”性质.