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北京市顺义区牛栏山一中2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷(Word版附解析)

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牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由并集的定义直接求解.【详解】,,∴.故选:C2.设,,,则()A.B.C.5D.【答案】B【解析】【详解】根据平面向量数量积坐标运算求解即可.【点睛】因为,,,所以.故选:B3.下列每组双曲线中渐近线都为是()A.,B.,C.,D.,【答案】A【解析】 【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的焦点在轴上,,,其渐近线方程为,且双曲线的焦点在轴上,,,其渐近线方程为,所以选项A正确;因为双曲线的焦点在轴上,,,其渐近线方程为,但双曲线的焦点在轴上,,,其渐近线方程为,所以选项B错误;因为双曲线的焦点在轴上,,,其渐近线方程为,但双曲线的焦点在轴上,,,其渐近线方程为,所以选项C错误;因为双曲线的焦点在轴上,,,其渐近线方程为,但双曲线的焦点在轴上,,其渐近线方程为,所以选项D错误. 故选:A.4.抛物线的准线过双曲线的左焦点,则双曲线的虚轴长为()A.8B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的准线,从而可得双曲线的,根据的关系可得答案.【详解】因为抛物线的准线为,所以由题意可知双曲线的左焦点为,因为,所以,所以双曲线的虚轴长为.故选:B5.给出三个等式:,,.下列函数中不满足任何一个等式的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对于A,利用对数的运算法则检验即可;对于B,利用指数的运算法则检验即可;对于C,利用三角函数诱导公式检验即可;对于D,举反例逐一判断三个等式即可.【详解】对于A,因为,所以,故A不满足题意;对于B,因为,所以,故B不满足题意;对于C,因为,所以,故C不满足题意; 对于D,因为,所以令,则,故;令,则,故;令,则,故;综上:不满足任何一个等式,故D满足题意.故选:D.6.已知和是两个互相垂直的单位向量,,则是和夹角为的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量公式表示出和夹角的余弦值,再讨论夹角为时的取值,最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.【详解】,,,当时,,即和夹角为,故是和夹角为的充分不必要条件故选:A7.圆上的点到直线的距离为,点和在变化过程中,的最小值为()A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】【分析】设出点坐标,并利用点在圆上得出,根据点到直线距离公式表达出距离,利用辅助角公式化简,进而得出的最小值.【详解】解:由题意,在圆中,圆心,半径,点到直线的距离为设,,,解得:在中,,其中,∴当时,d最小,.故选:C.8.在平行四边形中,是边的中点,与交于点.若,,则()A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】设,根据三点共线,即共线,可设,用表示出关系,即可解出结果.【详解】.设,则,又,且三点共线,则共线,即,使得,即,又不共线,则有,解得,所以,.故选:D.9.函数图象上存在两点,满足,则下列结论成立的是()A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据,在上,可得出,再根联立,得到的值,根据缩小的取值范围,进而代入求值即可.【详解】解:由题知,,均在上,,,,故有:,两等式联立有,解得,,,,,综上选项B正确.故选:B10.已知曲线,则下列说法正确的有几个()(1)关于原点对称;(2)只有两条对称轴;(3)曲线上点到原点最大距离是1; (4)曲线所围成图形的总面积小于;A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】对于(1)(2),代入即可判断曲线的对称情况;对于(3),利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断;对于(4),利用(3)中的结论容易判断.【详解】对于(1),不妨设点在曲线上,则也在该曲线上,所以曲线关于原点对称,故(1)正确;对于(2),易知也都在该曲线上,所以曲线关于轴、轴、对称,故(2)错误;对于(3),因为,所以,即,所以曲线上点到原点最大距离是1,故(3)正确;对于(4),由(3)得,曲线所围成的图形落在圆内,且显然是圆内的部分图形,而圆的面积为,所以曲线所围成图形的总面积小于,故(4)正确;综上:(1)(3)(4)正确,(2)错误,故说法正确的有3个.故选:C.二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.,,若,则______.【答案】1【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.【详解】由题意,得,则.故答案为:1.12.如图,正六边形的边长为1,______. 【答案】-1【解析】【分析】由正六边形性质,结合向量线性运算及数量积运算即可【详解】由正六边形性质,,.故答案为:-1.13.若是奇函数,则有序实数对可以是______.(写出你认为正确的一组数即可).【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理,然后根据奇函数的定义得到参数,应该满足的条件,按等式关系选取答案即可.【详解】已知,,若是奇函数,则即可,可以取,.故答案为:(答案不唯一)14.若函数满足存在使有两个不同的零点,则的取值范围是______. 【答案】【解析】【分析】画出函数的图象,观察图象即可得到答案.【详解】如图所示,画出函数的图象.结合图象可知,故答案为:.15.已知圆和定点,动点在圆上,为中点,为坐标原点.则下面说法正确的是______.①点到原点的最大距离是4;②若是等腰三角形,则其周长为10;③点的轨迹是一个圆;④的最大值是.【答案】②③④【解析】【分析】利用求轨迹方程的方法求出点的轨迹,再根据点和圆的位置关系确定点到原点的最大距离,再根据几何关系确定的周长,利用余弦定理结合基本不等式得到即可求出的最大值. 【详解】设由中点坐标公式得,所以,因为在圆上,所以,即,即,所以点的轨迹是一个圆,方程为,是以为圆心,为半径的圆,所以点到原点的最大距离是,故①错误;因为,所以,若为等腰三角形,若,则,此时三点共线,不满足题意,若,则,满足题意,所以的周长等于,故②正确;由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为,所以③正确; 设,当时,,不是最大角,不为时,中,,当且仅当,即时取得等号,所以,故④正确.故答案为:②③④.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知函数.(1)求函数的单调增区间;(2)若在上的值域为,求值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式,化简函数为一个角的三角函数形式,然后结合正弦函数的性质求解;(2)求出的范围,结合正弦函数的性质可求值.【小问1详解】解:已知 增区间为:所以,函数的单调增区间为.【小问2详解】解:已知,,即,因为,值域为,.17.设的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有(1)求角的大小;(2)从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知,使唯一确定,并求的面积.条件①:边上的高为;条件②:,;条件③:,.【答案】(1)(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)注意到已知等式右边为,可得.(2)若选择①,结合(1)只能求得b.若选择②,结合(1)和正弦定理,可求得. 若选择③,结合(1)和正,余弦定理,可求得b,c.【小问1详解】由题,因.则,因A为三角形内角,所以A.【小问2详解】若选择①,设边上的高为,则,得.因题目条件不足,故无法唯一确定.若选择②,由正弦定理及(1),有.因,又题目条件不足,故无法判断B为钝角还是锐角,则无法唯一确定.若选择③,由正弦定理,及,则又由余弦定理及(1),有,得,.此时唯一确定,.综上选择③时,唯一确定,此时的面积为18.椭圆.(1)点是椭圆上任意一点,求点与点两点之间距离的最大值和最小值;(2)和分别为椭圆的右顶点和上顶点.为椭圆上第三象限点.直线与轴交于点,直线与轴交于点.求. 【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)设,,计算得到,根据二次函数的性质得到最值.(2)过点作轴于,过点作轴于,设,利用相似计算得到答案.【小问1详解】设,,则,,当时,,当时,.【小问2详解】如图所示:过点作轴于,过点作轴于,设,19.已知椭圆的焦点在轴上,且经过点,左顶点为,右 焦点为.(1)求椭圆的离心率和的面积;(2)已知直线与椭圆交于A,B两点.过点作直线的垂线,垂足为.判断直线是否经过定点?若存在,求出这个定点;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)直线经过定点,理由见详解.【解析】【分析】(1)由椭圆经过点,代入椭圆方程求得,结合,解得的值,进而求得离心率和的面积;(2)由直线与椭圆交于A,B两点,则说明斜率存在,所以分,,进行讨论找出直线过得点.【小问1详解】由题意,椭圆经过点,可得,解得,即椭圆,因为,即,所以椭圆的离心率为,又由左顶点为,右焦点为,所以,所以的面积为【小问2详解】由直线与椭圆交于A,B两点所以当时,直线为与椭圆交于A,B两点 由解得:令,此时所以所以直线即,令所以直线是经过定点同理若,则令所以直线是经过定点当时,由直线与椭圆交于A,B两点设联立方程组,整理得,则,所以设点,所以的方程为, 令,可得,所以直线经过定点,综上可得,直线经过定点.20.已知是函数的一个极值点.(1)求值;(2)判断的单调性;(3)是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围.【答案】(1)(2)函数在上单调递增,在上单调递减.(3)存在,【解析】【分析】(1)求导得到导函数,根据计算得到答案.(2)求导得到,根据导数的正负得到单调区间.(3)先证明,,计算得到,且,得到答案. 【小问1详解】,则,,解得.,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.故是函数的极大值点,满足.【小问2详解】,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.【小问3详解】,当,易知,,故.故,满足条件.当时,设,故,故,即,当时,设,, 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;故,故.,即可以无限接近.综上所述:.【点睛】本题考查了根据极值点求参数,利用导数求函数的单调区间,不等式恒成立问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中放缩的思想是解题的关键.21.已知有限数列A:,,…,(且)各项均为整数,且满足对任意,3,…,N成立.记.(1)若,,求能取到的最大值;(2)若,求证:;(3)若(这里是数列的项数),求证:数列A中存在使得.【答案】(1)33(2)证明见详解(3)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解;(2)根据(1)中结论,结合数的奇偶性分析证明;(3)令,根据题意利用反证法证明.【小问1详解】∵,则或,设,即, 当时,则,故,若能取到最大值,则,此时,若,,则能取到的最大值为.【小问2详解】若,则由(1)可得:,记满足中的i依次为,则,∵均为整数,则为偶数,为奇数,∴为奇数,故.小问3详解】记,则有限数列B:,,…,满足对任意,3,…,N成立,则,∵,则对,均有,即数列不是常数列,设数列的最大项为,最小项,则,反证:假设对,设满足中的i依次为,则必存在,使得或 ,当时,∵,则,这与相矛盾,当时,∵,则,这与相矛盾,故假设不成立,即数列B中存在使得,故数列A中存在使得.【点睛】思路点睛:数列与函数的综合问题主要有以下两类:①已知不等式条件,解决数列问题,此类问题一般利用不等式性质研究数列问题;②已知数列条件,解决不等式问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-13 10:25:01 页数:22
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文章作者:随遇而安

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