天津市五所重点校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022～2023学年度第二学期期中重点校联考高一数学一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分）1.已知，其中为虚数单位，则（）A.B.5C.2D.【答案】A【解析】【分析】应用复数除法求得复数，再求其模.【详解】由，故.故选：A2.已知向量，，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的平行的坐标表示，即可求解.【详解】因为，则，得.故选：D3.已知，是夹角为60°的单位向量，则（）A.7B.13C.D.【答案】C【解析】【分析】对表达式直接平方，结合数量积的运算进行求解.【详解】，于是.故选：C4.已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C若，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.【详解】对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，，则或与相交，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误.故选：C.5.在中，已知，那么一定是（）A等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】C【解析】【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到为等腰三角形.【详解】因为，，所以，所以由正弦定理和余弦定理得，化简得，所以，所以为等腰三角形.故选：C6.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在上的投影向量. 【详解】在上的投影向量为，，所以，在上的投影向量为.故选：B7.在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（）A.B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角的大小.【详解】由，则，而，故或，显然，所得角均满足.故选：B8.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为，则外接球的直径为正方体的体对角线，从而可得球的半径，利用公式求出两者的表面积后可得它们的比值．【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，故球的表面积为，而正方体的表面积为，故正方体与这个球的表面积之比为．故选：C． 【点睛】本题考查正方体和其外接球的表面积的计算，注意弄清楚球的半径与正方体的棱长的关系，本题属于基础题．9.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三点共线，结合向量的线性运算将用表示，根据共线的条件得出参数值，然后对等式两边同时平方即可.【详解】，又，即，由三点共线可知，，即，故.由题知，，.将上式两边平方可得，，即.故选：B二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）10.若复数z满足，则z虚部是______【答案】【解析】【分析】应用复数的减法运算求复数，即可确定其虚部.【详解】由题设，故虚部为.故答案为：11.已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为___________. 【答案】##【解析】【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，又，所以圆锥的母线长，所以圆锥的高，所以圆锥的体积，故答案为：.12.若一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比为，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高与圆锥的高的比为______.【答案】##【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，结合题意得到，结合圆柱和圆锥的体积公式，求得的值，即可求解.【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为，圆锥的底面圆的半径为，高为，因为圆柱和圆锥的底面周长之比为，可得，所以，又因为圆柱的体积是圆锥体积的2倍，可得，解得，即圆柱的高与圆锥的高的比为.故答案为：.13.在中，分别为内角所对的边，若，，则的面积是 ______.【答案】##【解析】【分析】根据题意求得，再由余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】因为，可得，即，又因为，由余弦定理可得，解得，所以的面积为.故答案为：14.一艘轮船沿北偏东方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为______海里.【答案】2【解析】【分析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．由余弦定理得，所以，化简得，解得或（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故答案为：2. 15.如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点（不与、重合），则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.【详解】延长交于点，因为，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，则 ，设，，所以时，.，则的范围是.故答案为：.三、解答题（本大题共4小题，共60分）16.已知，.（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求实数的值；（3）若，，且、、三点共线，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算和夹角公式即可得出； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，解得即可；（3）首先求出，的坐标，依题意可得，根据向量共线的坐标表示计算可得．【小问1详解】，．，，．．【小问2详解】，，即，整理得，解得．【小问3详解】因为，，因为、、三点共线，所以，即，解得.17.在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，.（1）求的值；（2）求的周长；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，根据，解得．（2）由余弦定理，建立方程，根据，，互不相等，求得，即可求出周长．（3）由，得，应用二倍角的三角函数求得，应用两角和差的三角函数求.【小问1详解】在中，由正弦定理，，，可得，因为，所以，即，显然，解得．【小问2详解】在中，由余弦定理，得，解得或．由已知，，互不相等，所以，所以．【小问3详解】因为，所以，所以，，所以.18.如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面；（3）若为的中点，求证：平面平面.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可；（2）根据线面平行的判定进行证明；（3）根据面面平行的判定进行证明.【小问1详解】显然平面，于是.【小问2详解】设，连接，在正方体中，四边形是正方形，是中点，是的中点，，平面平面 平面；【小问3详解】为的中点，为的中点，，四边形为平行四边形，，又平面平面平面，由（2）知平面平面平面，平面平面.19.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，求出角；（2）由三角函数和差公式求出，由,求出取值范围.【小问1详解】因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得， 因为，所以.【小问2详解】在中，因为，三角形是锐角三角形，,所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.