辽宁省沈阳市五校2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年度（下）沈阳市五校协作体期中考试高一年级数学试卷考试时间：120分钟分数：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数诱导公式和同角三角函数基本关系即可求得的值.【详解】又，则，则故选：D2.圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求弧长，再根据圆心角公式，即可求解. 【详解】设圆的半径为r，由于圆内接正六边形每条边长对应的圆心角为，则圆内接正六边形的边长为r，所以这条弧长所对的圆心角为.故选：A3.已知，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：考点：同角间三角函数关系4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解.【详解】，所以，故选：B 5.在中，若O为外接圆的圆心，则的值为（）A.-16B.-8C.8D.16【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合圆的性质计算作答.【详解】取AB，AC的中点D，E，连接，如图，当圆心O与点E不重合时，则OD⊥AB，OE⊥AC，，则＝，当圆心O与点E重合时，，，所以.故选：D.6.已知，，，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得，然后利用两角和与差的正弦公式展开化简可得，由可得， 代入化简得，由题意可知，所以，再结合的范围可求得结果【详解】由题意可知，，可化为，展开得，则，因为，，且，所以，则，且，所以，当时不满足题意，所，因为，，所以，则，故选：A.7.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期是B.值域是C.直线是函数图像的一条对称轴D.的递减区间是，【答案】D【解析】 【分析】根据函数的解析式，得到其最小正周期，值域，对称轴和递减区间，然后对四个选项分别进行判断，得到答案.【详解】函数所以函数的最小正周期，所以选项A错误；由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；当时，，，不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.令，，可得，，的递减区间是，，所以选项D正确.故选：D.【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称性和单调区间，属于简单题.8.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（）（参考数据：）A.B.若，扇形的半径，则 C.若扇面为“美观扇面”，则D.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【答案】D【解析】【分析】求得判断选项A；求得满足条件的的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D.【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，选项A：.故A正确；选项B：由，可得，解得，又扇形的半径，则.故B正确；选项C：若扇面为“美观扇面”，则，解得.故C正确；选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，则此时的扇形面积为.故D错误.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各式的值等于的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式分析A；利用二倍角的余弦公式的变形式分析BC；利用二倍角的正切公式分析D.【详解】因为，故A的值等于；因为，故B的值不等于；因为，故C的值等于；因为，故D的值不等于，故选：AC.10.已知，则下列命题正确的有（）A.若，则B.的最大值为2C.存在，使D.的最大值为3【答案】BCD【解析】【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB，当同向时，则有，将转化为三角函数的最值问题即可求解.【详解】依题意，对于A：，即，所以，故A错误；对于B：由A知，所以当时，有最大值2，故B正确； 对于C：当时，，，所以，，所以，故C正确；对于D：，所以，当，即时，取得最大值9，所以的最大值为3，故D正确.故选：BCD.11.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称 B.的图像关于直线对称C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据图中的信息求出，再根据正弦函数的性质逐项分析.【详解】由图可知：，的周期，当时，，，；对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，将向右平移：，正确；对于D，的大致图像如下：欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；故选：BCD. 12.平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（）A.与的夹角为B.为定值C.的最小值为D.在上的投影向量为【答案】AD【解析】【分析】由题意可得：与的夹角，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.【详解】设平面向量与的夹角为，因为对任意的实数t，恒成立，即恒成立，又，也即对任意的实数恒成立，所以，则，所以，故选项正确；对于，因为随的变化而变化，故选项错误；对于，因为，由二次函数的性质可知：当时，取最小值，故选项错误；对于，向量上的一个单位向量，由向量夹角公式可得：，由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为，故选项正确， 故选：.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据与的夹角为钝角，由，且与的不共线求解.【详解】解：由，得．又与的夹角为钝角，∴，得，若，则，即．当时，与共线且反向，不合题意．综上，k的取值范围为，故答案：．14.若时，函数取得最小值，则____．【答案】##【解析】【分析】利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值.【详解】（）时，函数取得最小值，则，则， 则，解之得故答案为：15.一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面1.8米．已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为____．【答案】【解析】【分析】先设P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为，再利用题给条件求得各参数值，即可得到该解析式.【详解】P点离开水面高度h关于时间t的函数解析式可设为由题给条件可得，，解之得水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，则运动周期为60秒，则，又，，则则 故答案为：16.如图所示,正方形边长为6,圆的半径为1,是圆上任意一点,则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】以为原点建立直角坐标系,然后结合三角函数的定义将所求向量坐标化,就可以求出最值.【详解】如图以为原点坐标,为轴,为轴建立直角坐标系:则,,设,,则,当且仅当即时等号成立.∴的最小值为.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量与的夹角，且，．（1）求； （2）与的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.【小问1详解】已知向量与的夹角，且，，则，所以；【小问2详解】由（1）知：，所以，所以与的夹角的余弦值为.18.已知、是方程的两个实数根.（1）求实数的值；（2）求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得； （2）根据同角关系式化简即得；（3）由题可得，然后利用二倍角公式即得.【小问1详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理得，由，则，所以；【小问2详解】；小问3详解】因为，所以  ，所以，因为 ， 所以，，，所以.19.已知，，，，求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【小问1详解】因为，，所以，，所以，，所以 .【小问2详解】因为，，所以，所以，所以.20.已知，函数．（1）求的对称轴方程；（2）求使成立的x的取值集合；（3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由向量的数量积的运算公式及三角恒等变换，化简得，利用三角函数的性质，即可求解函数的对称轴方程；（2）由，得到，即可求得x的取值集合；（3）由,则，利用三角函数的性质，求得函数的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，向量，可得，令，解得，所以函数的对称轴方程为.（2）由，可得，即，故，解得，所以x的取值集合为.（3）因为,则，又因为在上是增函数，则，又因为所以在时的最大值是，又由恒成立，可得，即，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答熟记向量的数量积的运算求得函数的解析，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.21.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于BC），点在线段AB上，且满足．已知，，设．（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当 为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果，并求最大值；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．【答案】（1），的最大值为（2），达到最大值【解析】【分析】（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.（2）计算，得到，得最值.【小问1详解】设，则在直角中，，.在直角中，，.，，所以当，即，的最大值为.【小问2详解】在直角中，由，可得.在直角中，，所以，，所以 ，所以当，达到最大值.22.已知函数，其中常数．（1）在上单调递增，求的取值范围；（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围【详解】解（1）由题意，有，又则最小正周期由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值∴是函数的一个单调递增区间若函数在上单调递增，则且 解得（2）∵由（1）：∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象∵的图象过．∴，可得：，解得：，，即：，，∵∴，可得的解析式为：∴的周期为在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，即在上至少有30个解．∴有或解得：或分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值即，在所有满足上述条件的中的最小值为（3），设，∵即可只需要解得综上所述 【点睛】本题考查了三角函数的图象及性质，1、应用二倍角正弦公式化简，结合正弦函数的单调性求参数范围；2、根据函数图象平移得到新函数的解析式，由函数的零点个数求最值；3、将不等式恒成立转化为函数的最值情况下不等式成立，进而求参数范围