辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年度（下）沈阳市五校协作体期中考试高二年级数学试卷考试时间：120分钟满分：150分试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-12题60分）第二部分：非选择题型（13-22题90分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题1.等差数列的前n项和为．若（）A.12B.10C.8D.6【答案】C【解析】【分析】利用等差数列定义，先求出，再求出，最后得到.【详解】设等差数列的公差为,则，,故选：C.2.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为，故选D．3.现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（）匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）（）A.7750里B.7752里C.7754里D.7756里【答案】B【解析】【分析】由等比数列的前项和公式计算.【详解】，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为（里）．故选：B.4.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　）A.E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B.E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C.E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D.E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【答案】A【解析】【分析】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出，；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出，，即可得解．【详解】当时，ξ的可能取值为1，2，3，，，， ∴，；当时，η可取1，2，3，4，，，，，∴，；∴，．故选：A．【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.5.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.【详解】，则，所以，所以.故选：C.6.32名业余棋手组队与甲、乙2 名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（）A.24B.25C.26D.27【答案】A【解析】【分析】由二项分布及其期望计算即可.【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．X所有可能取值为0，1，2，，n，则，；Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，，所以获胜的业余棋手总人数的期望，解得．故选：A．7.已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数结合题意可知，在上单调递减，又，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由可得. 而，∴，∴在上单调递减，又，则，所以，则，故不等式的解集为．故选：D．8.若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解.【详解】令，则，当或时，，当时，，所以在和上递减，在上递增，当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，所以，解得，此时在上递增，则恒成立，当时，减函数，且函数在区间内单调递增， 所以，无解，综上所述，的取值范围是.故选：A.二、多选题9.以下说法正确的是（）A.89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95B.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点C.相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强D.已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：结合百分位数定义即可求解；对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；对于B选项：线性回归方程不一定经过点，，，中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即，所以B选项错误；对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于，所以C选项正确；对于D选项：因为，则，则事件与相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；故选：ACD. 10.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A.B.C.是数列中的最大值D.若，则n最大为4038．【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，判断D即可.【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列，∴，，∴，因为，∴，故A正确；对B，∵，∴，故B正确；对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．故选：ABD．11.已知函数，则下列结论错误的是（）．A.有两个极值点B.有一个零点 C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线【答案】BD【解析】【分析】对于A选项，对求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造，判断的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接求出切点坐标即可判断结果；【详解】对于A选项，由，定义域为，可得，令，可得，因为，得或，，得，所以，在单调递减，在，单调递增，所以，是有极大值点，是有极小值点，故A选项正确；对于B选项，由A可知极大值为，极小值，，所以，根据的单调性和零点存在定理可知，在，，各存在1个零点，即函数有3个零点，故B错误；对于C选项，可设，得，则为奇函数，所以图象关于对称，将向上平移1个单位可得，故函数关于对称，故C选项正确； 对于D选项，由A知，令，解得，则，，由于切点，均不满足，故D选项错误；故选：BD12.如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（）A.数列{}是首项为3，公比为4的等比数列B.数列{}是首项为3，公比为的等比数列C.数列是首项为，公比为的等比数列D.当n无限增大时，趋近于定值【答案】ABD【解析】【分析】结合图形规律得，即可判断A,根据第个图形的边长为，即可判断B，根据，利用累加法及等比数列的前项和公式求出． 【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且故A正确，第个图形的边长为，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确，因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是，同理，对是在每条边上再生出一个小正三角形，于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积，即，于是可以利用累加的方法得到将上面式子累加得当时，，故C错误，D正确，故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题13.记为数列的前项和，若，则_______．【答案】【解析】【分析】对和分类讨论，结合，，计算得出数列是等比数列，并写出通项公式，得到，即可得出.【详解】当时，当时所以数列是首项为，公比为2的等比数列则即故【点睛】形如，常用构造等比数列：对变形得（其中），则是公比为的等比数列，利用它可求出．14.随机变量的分布列如下表所示，则方差的取值范围是_________.012【答案】【解析】 【分析】结合概率之和为1求出与之间的关系，进而用表示出期望公式和方差公式，最后结合二次函数性质即可求解.【详解】由题意可知，，则，，故随机变量的数学期望，从而，因为，所以由二次函数性质可知，，故方差的取值范围是.15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数ξ，使得，其中ξ称为拉格朗日中值.则在区间上的拉格朗日中值ξ=___________.【答案】【解析】【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可.【详解】，则由拉格朗日中值的定义可知，函数在区间上的拉格朗日中值满足，所以，所以，则故答案为：16.在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________． 【答案】##【解析】【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得.【详解】至少射击4次合格通过的概率为，所以，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，当时得最大值，故．故答案为：【点睛】关键点点睛：用表示至少射击4次合格通过的概率，并利用导数研究在上的最值即可.四、解答题17.已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可解；（2）利用错位相减法求数列前项和【小问1详解】 由题可知.因为，所以，得.设等比数列的公比为，则，所以，，即的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，则，，两式相减得故.18.设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.（1）求的单调区间；（2）若在闭区间上的最大值为10，求的值.【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是（2）4 【解析】【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.【小问1详解】，由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函数的极大值点，符合题意，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.【小问2详解】由（1）知，因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，又，所以的最大值为，解得.19.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）； （2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：；；.α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）476人（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.【小问1详解】由频数分布表知，则，， ，，参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.【小问2详解】由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：列联表如下：性别活动天数合计男生203050女生321850合计5248100零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.20.已知数列和满足，数列的前项和分别记作，且. （1）求和；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定，再根据解得答案.（2）计算，得到，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.【小问1详解】，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以其前项和，又因为，所以，，【小问2详解】当时，.当时，也适合通项公式，故.所以，所以.21.已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成在有唯一实数解.构造函数，和利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【小问1详解】当时，，且，函数在点处的切线方程，即.【小问2详解】在其定义域上有唯一零点，方程，即在有唯一实数解.设，则.令，即的两个根分别为（舍去），.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 当时，取最小值，要使在有唯一零点，则须即设函数当时是增函数，至多有一解.方程的解为，即，解得，实数的值为.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.（1）求的分布列；（2）求数列的通项公式；（3）求的期望.【答案】（1）答案见解析（2）（3）1【解析】【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以 为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出.【小问1详解】（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012【小问2详解】由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以， 即：.【小问3详解】由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.