安徽省十校联考2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022~2023学年度第二学期期中联考高一数学命题单位：蚌埠第二中学校审单位：合肥一六八中学特别鸣谢联考学校：（排名不分先后）合肥一六八中学、阜阳一中、蚌埠二中、明光中学、邱一中、蒙城一中、临泉一中、天长中学、长丰一中考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合，再求交集即可.【详解】∵集合，，则故选：A.2.已知i是虚数单位，若，则实数a=（）A.2B.2C.-2D.±2【答案】D【解析】 【分析】根据复数模的概念求解即可.【详解】，，解得，故选：D3.若向量，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.（，）C.（，）D.（4，2）【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积及向量在向量上的投影向量计算即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，故选：B4.“，”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若，则，若，则，不能推出故“”是“”的充分不必要条件，故选：A. 5.计算：（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式求解.【详解】因为故选：B.6.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得曲边三角形的面积为3个扇形面积减去2个三角形的面积．【详解】因为勒洛三角形ABC的周长为π，所以每段圆弧长为，解得，即正三角形的边长为1，由题意可得， 故选：C7.已知函数的部分图象如图所示，，为f（x）的零点，在已知的条件下，下列选项中可以确定其值的量为（）A.AsinφB.C.D.φ【答案】D【解析】【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的，由图可知，利用整体代换可得，所以，若为已知，则可求得.故选：D.8.锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若，则sinA的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.【详解】由，得，由余弦定理得，∴，即， 由正弦定理得，∵，∴，即.∵，∴，∴，又为锐角三角形，∴，∴，解得，又，，，∴，∴.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题正确的是（）A.设是非零向量，则B.若，是复数，则C.设是非零向量，若，则D.设，是复数，若，则【答案】BC【解析】【分析】根据向量数量积公式，判断AC；根据复数的四则运算，以及复数模的公式，判断BD.【详解】A.设是非零向量，则，只有当时，，，其他情况不相等，故A错误；B.设，， ，，，所以，故B正确；C.设是非零向量，若，两边平方后得，故C正确；D.设，，，，，，若，则，又，不能推出，故D错误.故选：BC10.已知正实数、满足，则下列结论正确的是（）A.B.CD.【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项.【详解】因为正实数、满足，对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，因为，则，当且仅当时，等号成立，B错；对于C选项，当，时，，C错；对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，D对.故选：AD.11.中，角、、所对的边分别为、、，则“是直角三角形”的充分条件是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用正弦函数的单调性可判断A选项；利用两角和与差的正弦公式可判断B选项；利用余弦定理可判断CD选项.【详解】对于A选项，因为且、，则，若为锐角，则，且，此时，即；若为钝角，则，且，此时，即.综上所述，为直角三角形或钝角三角形，A不满足条件；对于B选项，因为，即，即，因为，则，所以，，即，所以，，所以，或，因、，则或为直角，故为直角三角形，B满足条件； 对于C选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，C不满足条件；对于D选项，因为，整理可得，所以，为直角三角形，D满足条件.故选：BD.12.已知，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断A选项；利用辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断BD选项；利用零点存在定理结合诱导公式可判断C选项.【详解】当时，，，对于A选项，，且，所以，，因为函数在上为增函数，故，A对；对于B选项，因为，则，因为，即，因为函数在上为增函数，则，B对；对于C选项，因为函数在上单调递增， 且，，所以，存在，使得，则，此时，，C错；对于D选项，因为，则，因，即，因为函数在上为增函数，则，D对.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则实数___________.【答案】【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示直接解即可.【详解】由题意得，，因，所以，得.故答案为：.14.求值：___________.【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算法则、换底公式求解．【详解】 故答案为：1.15.已知，则tanβ=___________.【答案】【解析】【分析】由得，根据倍角正切公式求得，而，利用差角正切公式即可求解.【详解】由得，所以，．故答案为：16.中，，点P为所在平面内一点且，则C=___________，若，则的最大值为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由得，从而得到，由可得，从而得到是等腰直接三角形，建立直角坐标系，令，设，由得到点的轨迹是以为直径的圆，从而得到，由圆方程确定，从而求解.【详解】因为，所以，即，所以，即， 又因为，所以，由正弦定理可得，所以，所以是等腰直角三角形，令，则，如图，以点为原点，以为轴，轴建立直角坐标系，设，则，，，，因为，所以，即.因为，则点的轨迹是以为直径的圆，所以点的轨迹方程为所以，即，所以当时，有最大值，最大值为.故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题（1）若______，求实数t的值； （2）若向量，且，求.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）选①，由向量垂直的坐标表示求解；选②由模的坐标表示求解；（2）由向量相等的坐标运算列方程组求得值，然后由模的坐标表示计算．【小问1详解】选①：由，得，即解得或选②：由，得，即所以.【小问2详解】所以，解得，所以．18.已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位.（1）求复数z的共轭复数；（2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）设，分别代入和，再根据两者均为实数可求得，，进而可求得复数z的共轭复数；（2）化简，再根据复数对应的点在第三象限可建立不等式组，求解即可.【小问1详解】设，则由为实数，则，所以，由为实数，则，所以则，复数z的共轭复数.【小问2详解】由（1）可知，由对应的点在第三象限，得，即，解得故实数m的取值范围为19.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据，，三个直接的关系，可得.（2）由可得【小问1详解】由三角函数的定义，，，两边平方，得则，，，所以，.【小问2详解】由（1）知，，.20.设函数．其中．（1）求的最小正周期；（2）当时，求实数的值，使函数的值域恰为，并求此时在上的对称中心．【答案】（1）（2），对称中心为，.【解析】【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简，进而求其最小正周期；（2）根据正弦型函数性质求值域，结合已知确定m值，整体法求其对称中心即可.【小问1详解】 由题设，所以，最小正周期.【小问2详解】当，则，故，所以，故时满足的值域恰为，此时，令，，则，，所以在上的对称中心为，.21.如图，两个直角三角板拼在一起，，.（1）若记，试用表示向量，；（2）若，求【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解；（2）由平行线分线段成比例可得，再由向量的数量积运算及性质求解即可.【小问1详解】由条件，得，，因为，， 所以，可得，，.【小问2详解】由条件，得，，因为，所以，则，，则，而所以.22.某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道，，，以及两条排水沟，，其中，，分别为边，，中点．（1）若，求排水沟的长；（2）当变化时，求4条人行道总长度的最大值． 【答案】（1）（百米）；（2）（百米）．【解析】【分析】（1）结合已知图形中角的关系，在和中，分别利用余弦定理表示可求；（2）先设，，，然后由余弦定理可表示，再在中，由正弦定理：，可得，然后结合三角关系及余弦定理表示出四条道路的长度关系式，结合函数的单调性可求最大值．【详解】解：（1）因为，，，所以，所以，因为，所以：，可得：，在中：，在中：，解得：，即排水沟的长为百米；（2）设，，，由余弦定理得：．在中，由正弦定理：，得，连接，在中，，，由余弦定理：，同理：，设，，则， 所以，该函数单调递增，所以时，最大值为，所以4条走道总长度的最大值为百米．