天津市河北区2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

河北区2022—2023学年度第二学期期中高一年级质量检测数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中正确的是（）A.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同B.零向量是最小的向量C.若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行D.单位向量的长度为1【答案】D【解析】【分析】利用向量的定义与性质即可判断AB，利用零向量的特殊性即可判断C，根据单位向量的定义即可判断D.【详解】对A，若向量方向不同，则终点不同，故A错误；对B，向量无大小之分，故B错误；对C，若，根据零向量与任何向量共线，则与可能不平行，故C错误；对D，根据单位向量的定义知，单位向量的长度为1，故D正确.故选：D.2.若复数满足，则的虚部是（）A.3B.-3C.D.【答案】B【解析】【分析】根据虚部的定义直接得到答案.【详解】复数满足，则虚部是.故选：B3.已知，且点，则点B的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设点B的坐标为，化简即得解.【详解】解：设点B的坐标为，则，所以，即点B的坐标为．故选：B4.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥【答案】D【解析】【分析】根据棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念即可判断．【详解】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．故选：D．【点睛】本题主要考查棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念的理解，属于基础题．5.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A.B.8C.6D. 【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长．【详解】由题意，所以原平面图形四边形中，，，，所以，所以四边形的周长为：．故选：B．6.在中，，则（）A.B.2C.D.3【答案】B【解析】【分析】根据三角形内角和先求出角，再根据正弦定理即得．【详解】因为，所以，由正弦定理可得，，即，解得．故选：B．7.已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（）A.1B.C.1或D.或【答案】B【解析】【分析】利用向量共线的充要条件，再根据题设条件建立方程组，求出结果. 【详解】由于与反向共线，则存在实数k，使得，则有，即，又向量，不共线，所以，消整理得，解得或，又因为，所以，故.故选：B.8.在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理将边化角得到，再由诱导公式及两角和的正弦公式判断即可．【详解】解：在中，，由正弦定理得，又，，即，，在中，，，又，．是直角三角形．故选：B．9.某人向东偏北60°方向走50步，记为向量；向北偏西60°方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，则，，，由可得，解得，所以，故选：A10.“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可求出内、外侧圆柱的高分别为，底面半径为则模型的体积为.【详解】内层圆柱的底面半径，外层圆柱底面半径， 内外层的底面圆周都在一个直径为的球上，球的半径，如图，以内层圆柱为例，∵内层圆柱的底面圆周在球面上，∴球心与内层圆柱底面圆心的连线垂直于底面圆，则，∴，根据球的对称性可得，内层圆柱的高为，同理可得，外层圆柱的高为，故此模型的体积为：.故选：C.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.11.已知i是虚数单位，化简的结果为______；的值为______.【答案】①.##②.【解析】【分析】空1：利用复数的除法计算即可；空2：根据复数模的定义即可得到答案.【详解】，则.故答案为：；.12.一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是______；与“你”字相对的字是______. 【答案】①.前②.程【解析】【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案.【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”.故答案为：前；程.13若向量满足，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.14.已知是关于的方程的一个根，则______.【答案】18【解析】【分析】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可.【详解】将代入方程得，即，则，解得，故，故答案为：18.15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为 ____________【答案】【解析】【分析】利用计算即可.【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以故答案为：【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知复数，.（1）若是实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据虚部零列方程求解；（2）根据实部为零，虚部不为零列方程求解；（3）根据实部大于零，虚部小于零列不等式求解；【小问1详解】解：，且是实数，， 解得或；小问2详解】解：是纯虚数，，解得；【小问3详解】解：在复平面内对应的点在第四象限，，解得.17.已知向量，.（1）求的值；（2）求及向量在向量上的投影向量的坐标；（3）若，求实数的值.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）求出的坐标，进而可得模；（2）直接利用数量积的坐标运算求，至于投影向量也直接用公式求解即可；（3）求出的坐标，然后利用求解实数的值即可.【小问1详解】，，，；【小问2详解】 ，，，向量在向量上的投影向量为；【小问3详解】由已知，，，解得.18.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.（1）用，表示，.（2）如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.【答案】（1）；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解；（2）证明即可判断EF⊥EG.【小问1详解】；.【小问2详解】.证明如下： 由（1）知，，，.，.19.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且.（1）求角；（2）若，，求边及的面积；（3）在（2）的条件下，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.（3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可.【小问1详解】因为向量，，且所以，由正弦定理得，又，则，显然，则，又，所以.【小问2详解】 由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面积.【小问3详解】由正弦定理得，即，解得，因为，故角为锐角，故，，，.