天津市部分区2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

天津市部分区2022～2023学年度第二学期期中练习高一数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时10分钟．第Ⅰ卷参考公式：·圆柱的体积公式，其中S表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高．·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．·球的表面积公式，其中表示球的半径．一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量减法的坐标公式计算即可.【详解】故选：C2.已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A.πB.2πC.4πD.12π【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，球直径为正方体的体对角线，求出求半径，代入球的表面积公式即可求解.【详解】设该球的半径为，由题意可知，该球的直径为棱长为2的正方体的体对角线，则，所以， 则该球的表面积，故选：D.3.在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理即可求得答案.【详解】由余弦定理可得，由于，故，故选：A4.已知点，，向量，若，则实数的值为（）A.B.C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据向量坐标表示及向量数量积的坐标表示即得.【详解】由，，可得，又，所以，所以．故选：C．5.在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（）A.B.C.D.或【答案】A【解析】分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果．【详解】∵，∴由正弦定理可得：， ，，.故选：A．6.已知向量，，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意向量，，故，则在上的投影向量为，故选：D7.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（）A.πB.2πC.D.【答案】C【解析】【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：C8.已知向量，，若与方向相反，则（） AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求得m的值，再根据向量模的坐标计算，可得答案.【详解】由题意向量，，与方向相反，则且，故，所以，，所以，故选：B9.在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（）A.2B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】由及面积公式与正弦定理求得，由得，由平方结合二次函数求的最小值.【详解】，，由正弦定理得，，，，，.，，当且仅当时取等号.， ..故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．10.i是虚数单位，复数______．【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】复数，故答案为：.11.直线上所有点都在平面α内，可以用符号表示为______．【答案】【解析】【分析】根据线面位置关系的符号表示，可得答案.【详解】由题意直线上所有点都在平面α内，则直线l在平面α内，故用符号表示为，故答案为：12.若、、三点共线，则______．【答案】【解析】【分析】分析可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值.【详解】因为、、三点共线，则，且，，所以，，整理可得.故答案为：. 13.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】##【解析】【分析】以点D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，以点D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，则，，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.14.在中，角，，所对边分别为，，．已知，则______，若，则外接圆的半径为______．【答案】①②.【解析】【分析】根据余弦定理求出角；利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.【详解】因为，在中，由余弦定理可得，，因为，所以； 若，设外接圆的半径为，在中，由正弦定理可得，，解得，故答案为：；.15.如图，在边长为1的正方形ABCD中，，则______；若为线段上的动点，则的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得的坐标，根据数量积的坐标运算，求得；设，表示出的表达式，结合二次函数性质求得的最小值.【详解】如图，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，∴，∵E是对角线上一点，且，可得，∴，， ∴；因为点F为线段（含端点）上的动点，则设,故，所以，，故，由于，所以时，取到最小值，即的最小值为，故答案为：；三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知向量，满足，，与的夹角为．（1）求的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将平方求模长；（2）根据垂直关系的向量表示求解.【小问1详解】，，.【小问2详解】由得，解得：. 17.如图，三棱锥的底面的侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）证明平面，求得的长，根据三棱锥的体积公式即可求得答案.【小问1详解】因为分别是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】因为是等边三角形，D是的中点，所以，因为，又平面，所以平面，因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，所以，，所以.18.在中，角、、所对的边分别为、、．已知，，． （1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出的值，分析可知为锐角，即可求得角的值；（2）求出的值，利用正弦定理可求得的值.【小问1详解】解：在中，，，，由正弦定理可得，因为，则为锐角，故.【小问2详解】解：由（1）可知，，所以，，由正弦定理可得.19.如图，在长方形中，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】（1）根据长方体的性质得到平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质进而得证；（2）记交于点，连接，得到为与平面所成的角，在直角三角形中进行求解即可.【小问1详解】在长方体中，,,，平面，平面，平面，，又，可得,，平面，平面.平面，.【小问2详解】记交于点，连接，由（1）得平面，所以为斜线在平面上的射影，为与平面所成的角.在长方体中，,， 在中，，，.直线与平面所成角的正弦值为.20.在中，角，，所对的分别为，，．向量，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案；（2）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案.【小问1详解】因为，，且，所以，由正弦定理，得，又，，从而，因为，所以.【小问2详解】由余弦定理，得，而,,，得，即，因为，所以， 故的面积.